В предыдущем параграфе мы рассмотрели систему (40.1) при некоторых частных предположениях. Чтобы решить задачу в общем случае, преобразуем эту систему к такому виду, чтобы для нее выполнялись ограничения предыдущего параграфа. Для этого необходимо систему преобразовать так, чтобы она сохранила вид (40.1), но чтобы разложения правых частей уравнений, соответствующих некритическим переменным, после того как в них отбросить все члены, содержащие эти переменные, начинались членами достаточно высокого порядка.

С этой целью введем в уравнениях (40.1) новые переменные $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$ вместо переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ при помощи подстановки
\[
\xi_{s}=x_{s}-v_{s}(x, y) \quad(s=1, \ldots, n),
\]

где $v_{s}(x, y)$-аналитические функции переменных $x$ и $y$, обращающиеся в нуль при $x=y=0$. Преобразованные уравнения будут
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d x}{d t} & =-\lambda y+\bar{X}\left(x, y, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)= \\
& =-\lambda y+X\left(x, y, \xi_{1}+v_{1}, \ldots, \xi_{n}+v_{n}\right) \\
\frac{d y}{d t} & =\lambda x+\bar{Y}\left(x, y, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)= \\
& =\lambda x+Y\left(x, y, \xi_{1}+v_{1}, \ldots, \xi_{n}+v_{n}\right) \\
\frac{d \xi_{s}}{d t} & =\Xi_{s}\left(x, y, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)=p_{s 1} \xi_{1}+\ldots+p_{s n} \xi_{n}+ \\
& +p_{s} x+q_{s} y+X_{s}\left(x, y, \xi_{1}+v_{1}, \ldots, \xi_{n}+v_{n}\right)- \\
-\left[\frac{\partial v_{s}}{\partial x}(-\lambda y+\bar{X})+\frac{\partial v_{s}}{\partial y}(\lambda x+\bar{Y})\right]+p_{s 1} v_{1}+\ldots+p_{s n} v_{n} .
\end{array}\right\}
\]

Обозначим через $\Xi_{s}^{(0)}(x, y)$ совокупность всех членов в функциях $\Xi_{s}$, не зависящих от некритических переменных $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$.

Будем, очевидно, иметь:
\[
\begin{array}{l}
\Xi_{s}^{(0)}(x, y)=\left[p_{s 1} v_{1}+\ldots+p_{s n} v_{n}+p_{s} x+q_{s} y+\right. \\
+X_{s}\left(x, y, v_{1}, \ldots, v_{n}\right)-\left\{\frac{\partial v_{s}}{\partial x}\left[-\lambda y+X\left(x, y, v_{1}, \ldots, v_{n}\right)\right]+\right. \\
\left.+\frac{\partial v_{s}}{\partial y}\left[\lambda x+Y\left(x, y, v_{1}, \ldots, v_{n}\right)\right]\right\}
\end{array}
\]

Подберем теперь функции $v_{1}, \ldots, v_{n}$ таким образом, чтобы разложения функции $\Xi_{s}^{(0)}$ начинались членами не ниже $m$-го порядка, где $m$ – достаточно большое число. Тогда система (41.2) будет иметь желаемый вид и для решения задачи устоичивости отбросим в первых двух уравнениях этой системы все члены, содержащие $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$, и рассмотрим полученную таким образом систему второго порядка
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-\lambda y+X\left(x, y, v_{1}(x, y), \ldots, v_{n}(x, y)\right), \\
\frac{d y}{d t}=\lambda x+Y\left(x, y, v_{1}(x, y), \ldots, v_{n}(x, y)\right) .
\end{array}\right\}
\]

Может случиться, что как бы велико ни было число $m$, задача устойчивости для системы (41.4) не решается членами порядка ниже $m$. Этот случай будет исключительным, особенным, и мы его рассмотрим в $\$ 43$.

Но может, однако, случиться, и это будет общим случаем, что при $m$ достаточно большом задача устойчивости для системы (41.4) решается членами не выше $m$-го порядка ( $m$ при этом будет обязательно нечетным), так что члены порядка выше $m$ на решении задачи не скажутся. В этом случає задача устойивости и для исходной системы $(n+2)$-го порядка (40.1) решается системой второго порядка (41.4), а именно, если для системы (41.4) имеет место неустойчивость, то и для системы (40.1) имеет место неустойчивость, и если для системы (41.4) получается асимптотическая устоиччивость, то и для системы (40.1) получится асимптотическая устойчивость.

Действительно, так как по условию задача устойчивости для системы (41.4) решается членами порядка не выше $m$ и разложения функций (41.3) начинаются членами не ниже $m$-го порядка, то система (41.2) удовлетворяет всем ограничениям предыдущего параграфа. Согласно полученным там результатам система (41.4) полностью решает задачу устойивости для системы (41.2) и, следовательно, для эквивалентной ей системы (40.1).

Остается показать, как определить функиии $v_{\mathrm{s}}(x, y)$, обращающие в нуль в выражениях (41.3) все члены до порядка $m-1$ включительно. С этой нелью положим:
\[
v_{s}(x, y)=v_{s}^{(1)}(x, y)+v_{s}^{(2)}(x, y)+\ldots \quad(s=1,2, \ldots, n) \text {, }
\]

где $v_{s}^{(k)}(x, y)$ – формы $k$-го порядка переменных $x$ и $y$. Тогда члены первого порядка в (41.3) будут
\[
\begin{array}{c}
\Xi_{s 1}^{(0)}=-\lambda\left(\frac{\partial v_{s}^{(1)}}{\partial y} x-\frac{\partial v_{s}^{(1)}}{\partial x} y\right)+p_{s 1} v_{1}^{(1)}+\ldots+p_{s n} v_{n}^{(1)}+p_{s} x+q_{s} y \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

а совокупность членов какого-нибудь $k$-го порядка имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\Xi_{s k}^{(0)}=-\lambda\left(\frac{\partial v_{s}^{(k)}}{\partial y} x-\frac{\partial v_{s}^{(k)}}{\partial x} y\right)+p_{s 1} v_{1}^{(k)}+\ldots+p_{s n} v_{n}^{(k)}+u_{s}^{(k)}(x, y) \\
(s=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Здесь $u_{s}^{(k)}(x, y)$ – формы $k$-го порядка, зависящие от форм $v_{s}^{(1)}, \ldots, v_{s}^{(k-1)}$.

Для того чтобы в функциях (41.3) не было членов первого порядка, необходимо линейные формы $v_{s}^{(1)}(x, y)$ выбрать так, чтобы удовлетворялись уравнения $\Xi_{s 1}^{(0)}=0$, а для того чтобы разложения функций (41.3) начинались членами не ниже $m$-го порядка, необходимо, чтобы выполнялись уравнения
\[
\begin{array}{c}
\lambda\left(\frac{\partial v_{s}^{(k)}}{\partial y} x-\frac{\partial v_{s}^{(k)}}{\partial x} y\right)=p_{s 1} v_{1}^{(k)}-\ldots+p_{s n} v_{n}^{(k)}+u_{s}^{(k)}(x, y) \\
(s=1,2, \ldots, n ; \quad k=1,2, \ldots, m-1) .
\end{array}
\]

Так как функции $u_{s}^{(k)}$ зависяг только от тех $v_{s}^{(j)}$, для которых $j<k$, то уравнения (41.8) дают возможность последовательно определять формы $v_{s}^{(k)}$, начиная с $k=1$, причем для определения $v_{s}^{(1)}$ получаются уравнения с известными правыми частями, так как на основании (41.6) $u_{s}^{(1)}=p_{s} x+q_{s}$. Всего в рядах (41.5) нужно определить члены до ( $m-1$ )-го порядка, если мы желаем, чтобы разложения (41.3) начинались членами не ниже $m$-го порядка.

Допустим, что все функции $v_{s}^{(1)}, v_{s}^{(2)}, \ldots, v_{s}^{(k-1)}$ уже определены. Тогда для нахождения $v_{s}^{(k)}$ мы получим уравнения (41.8) с известными правыми частями. Уравнения (41.8) имеют вид уравнений (39.1), рассмотренных нами в § 39. Корнями уравнения (39.2) ввляются сейчас величины $\pm \lambda l$, а корнями уравнения (39.3) Һорни $\rho_{1}, \ldots \rho_{n}$ уравнения (40.2). Соотношение (39.4) принимает сейчас вид
\[
\left(m_{1}-m_{2}\right) \lambda l=\rho_{j},
\]

и так как оно не выполняется ни при каких целых неотрицательных $m_{1}, m_{2}$, то на основании теоремы § 39 система ( 41.8 ) имеет решение для $v_{s}^{(k)}$, каков бы ни был индекс $k$. Это решение нужно искать в виде форм с неопределенными коэффициентами, для определения которых получатся линейные неоднородные алгебраические уравнения.

Выясним теперь, сколько членов нужно определить в рядах (41.5) при практическом решении задачи. Для этого вспомним, что если задача устоичивости для системы второго порядка решается членами не свыше какого-нибудь конечного порядка, то этот порядок всегда нечетный. В простейшем случае, который на практике и будет наиболее частым, задача решается членами третьего порядка. Следовательно, нужно, чтобы в разложениях (41.3) отсутствовали члены первого и второго порядков, для чего в функциях $v_{s}$ нужно взять лишь линейные члены $v_{s}^{(1)}(x, y)$ и члены второго порядка $v_{s}^{(2)}(x, y)$. Определив эти члены, подставим полученные таким образом функции $v_{s}$ в уравнения (41.4) и решаем для них задачу устойчивости. Если при этом окажется, чго задача членами третьего порядка не решается и требует, следовательно, рассмотрения членов, по крайней мере, четвертого и пятого порядка, то придется определить также формы $v_{s}^{(3)}$ и $v_{s}^{(4)}$, а может быть и формы более высоких порядков, если окажется, что и члены пятого порядка не решают задачи устоичивости для системы (41.4).

Заметим, наконец, что уравнения (41.4) получаются из первых двух уравнений (40.1) заменон переменных $x_{s}$ функциями $v_{s}(x, y)$, а уравнения (41.8) мы получим, если попытаемся найти решение системы уравнений с частными прозводными
$\frac{\partial v_{s}}{\partial x}\left(-\lambda y+X\left(x, y, v_{1}, \ldots, v_{n}\right)\right)+\frac{\partial v_{s}}{\partial y}\left(\lambda x+Y\left(x, y, v_{1}, \ldots, v_{n}\right)\right)=$
\[
=p_{s 1} v_{1}+\ldots+p_{s n} v_{n}+p_{s} x+q_{s} y+X_{s}\left(x, y, v_{1}, \ldots, v_{n}\right)
\]

в виде рядов (41.5). Поэтому все вышесказанное приводит нас к следующему правилу.

Для того чтобы решить задачу устойчивости для системы (40.1), составляем систему уравнений $і$ частными производными (41.9), которой стараемся удовлетворить рядами (41.5). Такие ряды (формальные) всегда найдутся и будут единственными. Этими рядами заменяем величины $x_{s}$ в первых гвух уравнениях (40.1), после чего получим систему второго порядка (41.4). Допустим, что задача устойчивости для этой системы решается конечным числом членов. Тогда если для системы (41.4) получается неустойчивость, то и для системы (40.1) будет иметь место неустоћчивость, а если для системы (41.4) получится асимптотическая устойчивость, то и для системы (40.1) будет иметь место асимптотическая устоиччивость.

О количестве членов, которые необходимо взять в рядах (41.5) для решения задачи устойчивости, мы уже говорили выше ${ }^{1}$ ). Поясним выкладки примерами.
Пример 1. Пусть предложена система:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-y+\alpha x z, \frac{d y}{d t}=x+\alpha y z, \\
\frac{d z}{d t}=-z+x^{2}+y^{2}+f(x, y, z),
\end{array}\right\}
\]

где разложение функции $f(x, y, z)$ начинается членами не ниже третьего порядка. Составим уравнение с частными производными
\[
(-y+\alpha x v) \frac{\partial v}{\partial x}+(x+\alpha y v) \frac{\partial v}{\partial y}=-v+x^{2}+y^{2}+f(x, y, v),
\]

которому стараемся удовлетворить рядом
\[
v=v_{1}(x, y)+v_{2}(x, y)+\ldots,
\]

где $v_{j}(x, y)$ – формы $j$-го порядка. Сначала определим формы $v_{1}$ и $v_{2}$. Формы более высоких порядков будем определять лишь в том случае, если в этом будет необходимость. Для $v_{1}$ и $v_{2}$ имеем уравнения
\[
\begin{array}{l}
-y \frac{\partial v_{1}}{\partial x}+x \frac{\partial v_{1}}{\partial y}=-v_{1}, \\
-y \frac{\partial v_{2}}{\partial x}+x \frac{\partial v_{2}}{\partial y}=-v_{2}+x^{2}+y^{2}-\alpha y v_{1} \frac{\partial v_{1}}{\partial y}-\alpha x v_{1} \frac{\partial v_{1}}{\partial x} .
\end{array}
\]

Первое уравнение дает $v_{1}=0$, после чего второе уравнение принимает вид
\[
-y \frac{\partial v_{2}}{\partial x}+x \frac{\partial v_{2}}{\partial y}=-v_{2}+x^{2}+y^{2} .
\]

Полагая
\[
v_{2}=A x^{2}+2 B x y+C y^{2},
\]

мы получим из (41.11) уравнения
\[
-A+B+C=0, \quad A+2 B=1, \quad-2 B+C=1,
\]

откуда находим, что $v_{2}=x^{2}+y^{2}$.
1) Решение задачи устойчивости в критическом случае пары чисто мнимых корней, а также в случае одного нулевого корня, когда угавнения возмущенного движения не аналитичны, дано в работе: В едров В. С., $О 6$ устойчивости движения. Труды ЦАГИ, вып. 327, 1937.

Подставляя теперь в первые два уравнения (41.10) вместо $z$ величину $v=v_{1}+v_{2}+\ldots$, получим систему второго порядка
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-y+\alpha x\left(x^{2}+y^{2}\right)+\varphi(x, y), \\
\frac{d y}{d t}=x+\alpha y\left(x^{2}+y^{2}\right)+\psi(x, y),
\end{array}\right\}
\]

где разложения $\varphi$ и $\psi$ начинаются членами не ниже четвертого порядка. Будем теперь решать задачу устойчивости для системы (41.12). Здесь лучше всего воспользоваться методом § 37. При этом сразу видно, что система (41.12) допускает функцию Ляпунова $2 V=x^{2}+y^{2}$, производная которой, имеющая вид
\[
\frac{d V}{d t}=\alpha\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+x \varphi+y \psi,
\]

будет функцией знакоопределенной, если только $\alpha
eq 0$. Невозмущенное движение для системы (41.12), а вместе с ней и для системы (41.10) будет неустоичиво при $\alpha>0$ и асимптотически устойчиво при $\alpha<0$.

При $\alpha=0$ задача устоћчивости для системы (41.12) членами третьего порядка не решается. Однако вычисление форм $v_{3}, v_{4}$ и членов более высоких порядков в разложении функции $v$ излишне, так как при $\alpha=0$ первые два уравнения (41.10) не содержат переменной $z$. Этот случай, очевидно, принадлежит к числу особенных.

Пример 2. В качестве второго примера рассмотрим одну из задач устойчивости систем автоматического регулирования, исследованную А. И. Лурье ${ }^{1}$ ).

Допустим, что дифференциальные уравнения движения системы (регулируемого объекта, измерительных органов, сервоприводов и т. д.) имеют вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d \eta_{i}}{d t} & =\sum_{\alpha=1}^{n+2} b_{i a} \eta_{\alpha}+h_{i} f(\sigma), \\
\sigma & =\sum_{\alpha=1}^{n+2} j_{\alpha} \eta_{\mathrm{c}} \\
(i & =1,2, \ldots, n+2),
\end{array}\right\}
\]

где $b_{l \alpha}, h_{i}, j_{\alpha}$ – постоянные, а $f(\sigma)$ – некоторая нелинеиная функция, обращающаяся в нуль при $\sigma=0$. Рассмотренные нами ранее в $\S 12$ и 26 уравнения систем регулирования являются, очевидно, частным случаем системы (41.13).
1) Лурье А. И., О характере границ области устойчивос ти регулируемых систем. ПММ, т. XV, вып. 2, 1951.

Предположим, что $f(\sigma)$ является аналитической функцией $\sigma$ и имеет вид
\[
f(\sigma)=c \sigma+\psi_{2} \sigma^{2}+\psi_{3} \sigma^{3}+\ldots
\]

Рассмотрим систему первого приближения
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \eta_{i}}{d t}=\sum_{\alpha=1}^{n+2} a_{i \alpha} \eta_{\alpha}, \quad a_{i \alpha}=b_{i \alpha}+h_{i} j_{\alpha} c \\
(i=1,2, \ldots, n+2) .
\end{array}
\]

Для того чтобы положение равновесия $\eta_{1}=\ldots=\eta_{n+2}=0$ рассматриваемой системы было устойчивым, достаточно, чтобы вещественные части всех корней уравнения

имели отрицательные вещественные части. При этом величина области устойчивости, как это легко усмогреть из рассуждений $\S 26$, зависит от величины этих вещественных частен. Если вещественные части хотя бы некоторых корнен уравнения (41.15) численно малы, то область устойчивости может оказаться слишком малой и с точки зрения практической исследуемое положение равновесия надо будет рассматривать как неустоћчивое. Как будет показано в § 44, вопрос о поведении системы в такого рода случаях будет зависеть от того, будет ли иметь место устоичивость или неустоћчивость в предельном случае, когда указанные вещественные части будут равны нулю. Таким образом, задача приводится к исследованию критических случаев. Мы рассмотрим эту задачу для системы (41.13) в предположении, что уравнение (41.15) имеет пару чисто мнимых корней $\pm \lambda_{i}$ при остальных корнях с отрицательными вещественными частями.

Допустим, что все корни $\rho_{1}, \ldots, \rho_{n+2}$ уравнения (41.15) являются простыми. Рассмотрим линейню подстановку
\[
x_{i}=A_{i 1} \eta_{1}+A_{i 2} \eta_{2}+\ldots+A_{i, n+2} \eta_{n+2}(l=1,2, \ldots, n+2) \text {, }
\]

где $A_{l j}$ определяются уравнениями
\[
\begin{array}{c}
a_{1 s} A_{i 1}+a_{2 s} A_{i 2}+\ldots+a_{n+2, s} A_{i, n+2}=\rho_{i} A_{i s} \\
(i=1,2, \ldots, n+2, s=1,2, \ldots, n+2)
\end{array}
\]

и, следовательно,
\[
A_{i j}=C_{i} \Delta_{i j}\left(\rho_{i}\right),
\]

где $\Delta_{\alpha \beta}$-алгебраическое дополнение элемента $\beta$-и строки и $\alpha$-го столбца определителя (41.15), а $C_{i}$– произвольные постоянные. Подстановка (41.16) преобразует уравнения (41.14) к виду
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\rho_{i} x_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n+2),
\]

а уравнения (41.13) – к виду
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\rho_{i} x_{i}+\psi_{2} \sigma^{2}+\psi_{3} \sigma^{3}+\ldots,
\]

если только постоянные $C_{i}$ выбраны согласно условиям
\[
\frac{1}{C_{i}}=\sum_{\alpha=1}^{n+2} \Delta_{1 \alpha}\left(\rho_{i}\right) h_{\alpha},
\]

что мы и будем предполагать. Переменная $\sigma$ примет при этом вид
\[
\sigma=\sum_{\alpha=1}^{n+2} a_{\alpha} x_{\alpha},
\]

где $a_{a}$ – некоторые постоянные, явное выражение которых мы здесь не приво цим.

Пусть $\rho_{n+1}=i \lambda, \rho_{n+2}=-i \lambda$, а остальные корни $\rho_{s}$ имеют отрицательные вещественные части. Тогда, полагая
\[
x_{n+1}=x+i y, \quad x_{n+2}=x-i y,
\]

мы приведем уравнения движения к следующему окончательному виду:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d x}{d t} & =-\lambda y+\psi_{2} \sigma^{2}+\psi_{3} \sigma^{3}+\ldots, \\
\frac{d y}{d t} & =\lambda x, \\
\frac{d x_{s}}{d t} & =\rho_{s} x_{s}+\psi_{2} \sigma^{2}+\psi_{3} \sigma^{3}+\ldots, \\
\sigma & =a x-b y+a_{1} x_{1}+\ldots+a_{n} x_{n},
\end{array}\right\}
\]

где $a$ и $b$-вещественная и мнимая части коэффициента $2 a_{n+1}$ (коэффициент $a_{n+2}$ будет, очевидно, комплексно сопряжен с $a_{n+1}$ ).
Составляя уравнения
\[
\begin{array}{c}
\lambda x \frac{\partial v_{s}}{\partial y}+\left(-\lambda y+\psi_{2} \sigma^{2}+\psi_{3} \sigma^{3}+\ldots\right) \frac{\partial v_{s}}{\partial x}=\rho_{s} v_{s}+\psi_{2} \sigma^{2}+\psi_{3} \sigma^{3}+\ldots \\
(s=1,2, \ldots n) .
\end{array}
\]

пытаемся им удовлетворить рядами
\[
v_{s}=v_{s}^{(1)}+v_{s}^{(2)}+\ldots \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]

Для функций $v_{s}^{(1)}$ получаем уравнения
\[
\lambda\left(x \frac{\partial v_{s}^{(1)}}{\partial y}-y \frac{\partial v_{s}^{(1)}}{\partial x}\right)=\rho_{s} v_{s}^{(1)},
\]

откуда $v_{s}^{(1)}=0$. Вследствие этого уравнения для $v_{s}^{(2)}$ имеют вид
\[
\lambda\left(x \frac{\partial v_{s}^{(2)}}{\partial y}-y \frac{\partial v_{s}^{(2)}}{\partial x}\right)=\rho_{s} v_{s}^{(2)}+\psi_{2}(a x-b y)^{2} .
\]

Полагая в этих уравнениях
\[
v_{s}^{(2)}=\frac{1}{2}\left(M_{s} x^{2}+2 P_{s} x y+N_{s} y^{2}\right),
\]

приравнивая коэффициенты при $x y, x^{2}, y^{2}$ и решая полученные таким образом уравнения, для $M_{s}, P_{s}, N_{s}$ найдем:
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} M_{s} & =-\frac{\psi_{2}}{4 \lambda^{2}+\rho_{s}^{2}}\left[-2 a b \lambda+\frac{1}{2} \rho_{s}\left(a^{2}-b^{2}\right)\right]-\frac{\psi_{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)}{2 \rho_{s}}, \\
P_{s} & =\frac{\psi_{2}}{4 \lambda^{2}+\rho_{s}^{2}}\left[2 \lambda\left(a^{2}-b^{2}\right)+2 a b \rho_{s}\right], \\
\frac{1}{2} N_{s} & =-\frac{\psi_{2}}{4 \lambda^{2}+\rho_{s}^{2}}\left[2 a b \lambda-\frac{1}{2} \rho_{s}\left(a^{2}-b^{2}\right)\right]-\frac{\psi_{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)}{2 \rho_{s}} .
\end{aligned}
\]

Имея в виду решать в дальнейшем задачу методом § 36 , положим в форме $v_{s}^{(2)} x=r \cos \vartheta, y=r \sin \vartheta$. Тогда, принимая во внимание значения коэффициентов $M_{s}, P_{s}, N_{s}$, получим:
\[
v_{s}^{(2)}=r^{2}\left(\alpha_{s}+\beta_{s} \cos 2 \vartheta+\gamma_{s} \sin 2 \vartheta\right),
\]

где
\[
\left.\begin{array}{l}
\alpha_{s}=-\frac{\psi_{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)}{2 \rho_{s}}, \\
\beta_{s}=-\frac{\psi_{2}\left[\rho_{s}\left(a^{2}-b^{2}\right)-4 \lambda a b\right]}{2\left(4 \lambda^{2}+\rho_{s}^{2}\right)}, \\
\gamma_{s}=\frac{\psi_{2}\left[2 \lambda\left(a^{2}-b^{2}\right)+2 a b \rho_{s}\right.}{2\left(4 \lambda^{2}+\rho_{s}^{2}\right)} .
\end{array}\right\}
\]

Подставляя в первые два уравнения (41.17) вместо $x_{s}$ ряды (41.18), переходя к полярным координатам и исключая $t$, получим:
\[
\frac{d r}{d \vartheta}=R_{2} r^{2}+R_{3} r^{3}+\ldots .
\]

где
\[
\begin{array}{l}
R_{2}=\frac{\psi_{2}}{\lambda}(a \cos \vartheta-b \sin \vartheta)^{2} \cos \vartheta . \\
R_{3}=\frac{\psi_{2}^{2}}{\lambda_{2}}(a \cos \vartheta-b \sin \vartheta)^{4} \sin \vartheta \cos \vartheta+ \\
+\frac{1}{\lambda}\left(2 \psi_{2}(a \cos \vartheta-b \sin \vartheta)(\alpha+\beta \cos 2 \vartheta+\gamma \sin 2 \vartheta)+\right. \\
\left.+\psi_{3}\left(a_{3} \cos \vartheta-b \sin \vartheta\right)^{3}\right\} \cos \vartheta . \\
\end{array}
\]

Здесь введены обозначения
\[
\alpha=\sum_{s=1}^{n} a_{s} \dot{\alpha}_{s}, \quad \beta=\sum_{s=1}^{n} a_{s} \beta_{s}, \quad \gamma=\sum_{s=1}^{n} a_{s} \gamma_{s}
\]

и, следовательно, на основании (41.19)
\[
\left.\begin{array}{l}
\alpha=-\frac{1}{2} \psi_{2}\left(a^{2}+b^{2}\right) S_{1}, \\
\beta=2 \lambda a b \psi_{2} S_{2}-\frac{1}{2}\left(a^{2}-b^{2}\right) \psi_{2} S_{3}, \\
\gamma=\lambda\left(a^{2}-b^{2}\right) \psi_{2} S_{2}+a b \psi_{2} S_{3},
\end{array}\right\}
\]

где
\[
S_{1}=\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{a_{\alpha}}{\rho_{\alpha}}, \quad S_{2}=\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{a_{\lambda}}{4 \lambda^{2}+\rho_{\alpha}^{2}}, \quad S_{3}=\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{a_{\alpha} \rho_{\alpha}}{4 \lambda^{2}+\rho_{\alpha}^{2}} .
\]

Полагая в (41.20)
\[
r=c+r_{2}(\vartheta) c^{2}+r_{3}(\vartheta) c^{3}+\ldots \cdot
\]

найдем:
\[
r_{2}=\int_{0}^{\theta} R_{2} d \vartheta, \quad r_{3}=\int_{0}^{\theta}\left(R_{3}+2 R_{2} r_{2}\right) d \vartheta .
\]

функция $r_{2}(\vartheta)$ получится, очевидно, периодической. Но тогда то же самое будет и для функции
\[
\int_{0}^{\theta} R_{2} r_{2} d \vartheta=\int_{0}^{\theta} r_{2} d r_{2}=\frac{1}{2} r_{2}^{2}
\]

Вследствие этого постоянная $g$, фигурирующая в соотношении $r_{3}=g \vartheta+$ периодическая функция,

определяется формулой
\[
g=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} R_{3} d \vartheta
\]

которая дает:
\[
g=-\frac{a b\left(a^{2}+b^{2}\right)}{4 \lambda^{2}} \psi_{2}^{2}+\frac{1}{2 \lambda}(2 a \alpha+a \beta-b \gamma) \psi_{2}+\frac{3\left(a^{2}+b^{2}\right)}{8 \lambda} \psi_{3},
\]

или, принимая во внимание (41.21),
\[
g=\frac{a^{2}+b^{2}}{4 \lambda^{2}}\left[\psi_{2}^{2}\left(-a b-2 \lambda a S_{1}+2 \lambda^{2} b S_{2}-a \lambda S_{3}\right)-\frac{3}{2} a \lambda \psi_{3}\right] .
\]

Если теперь входящие сюда величины выразить через коэффициенты исходной системы (41.13) и опустить несущественный положительныи множитель $\frac{1}{2 \lambda}\left(a^{2}+b^{2}\right)$, то, как показал А. И. Лурье, получим:
\[
g=\operatorname{Re} \frac{D(i \lambda)}{\Delta^{\prime}(i \lambda)}\left\{\left(\frac{\psi_{2}}{c}\right)^{2}\left[\frac{D(2 i \omega)}{\Delta(2 i \omega)}-3+2 \frac{D(0)}{\Delta(0)}\right]+\frac{3}{2} \frac{\psi_{3}}{c}\right\},
\]

где $D(\rho)$ – значение определителя (41.15) при $c=0$.