Теорема Ляпунова о корнях характеристических уравнений сопряженных систем.
Рассмотрим какую-нибудь систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами:
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=a_{s 1} y_{1}+\ldots+a_{s n} y_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]
Составим ее характеристическое уравнение:
Но система уравнений (55.1) может быть рассматриваема как частный случай системы уравнений с периодическими коэффициентами произвольного периода $\omega$, и, следовательно, для нее может быть построено характеристическое уравнение в смысле § 50. Это уравнение будет отличаться от уравнения (55.2). Поэтому во избежание путаницы мы будем в дальнейшем, где эта путаница возможна, называть уравнение (55.2) определяющим уравнением.
В предыдущем параграфе мы показали, что систему уравнений с периодическими коэффициентами (50.1) можно неособенной линейной подстановкой с периодическими коэффициентами преобразовать в систему уравнений с постоянными коэффициентами (54.6). Так как при таком преобразовании корни характеристического уравнения не изменяются, то корни характеристического уравнения системы (50.1) совпадают с корнями ха ракте рист ического уравнения системы (54.6). Найдем корни этого последнего уравнения.
1) Подробное исследование приводимых систем содержится в работе: ЕругинН. П., Приводимые системы. Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова, т. XIII, 1946 .
С этой целью заметим, что уравнения (54.6) допускают, очевидно, фундаментальную систему решений, распадающихся на $m$ групп, таких, что первое решение в какой-нибудь $p$-й группе имеет вид
\[
\begin{array}{c}
z_{11}^{(p)}=e^{-a_{p} t} \\
z_{21}^{(p)}=-t e^{-a_{p} t} \\
\cdot \cdots \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
z_{n_{p} 1}^{(p)}=\frac{(-t)^{n} p^{-1}}{\left(n_{p}-1\right) !} \bar{e}^{\alpha_{p} t} \\
z_{11}^{(k)}=z_{21}^{(k)}=\cdots=z_{n_{k} 1}^{(k)}=0 \\
(k=1,2, \ldots, p-1, p+1, \ldots, m),
\end{array}
\]
а остальные решения этой группы могут быть получены из первого последовательным применением оператора $\frac{D}{D t}$ к коэффициентам при $e^{-\alpha_{p} t}$. Так, например, второе решение указанной группы имеет вид
\[
\begin{array}{c}
z_{12}^{(p)}=0 \\
z_{22}^{(p)}=-e^{\alpha_{p} t} \\
\cdot \cdots \cdot \cdots \cdot \\
z_{n_{p}{ }^{2}}^{(p)}=\frac{(-t)^{n} p^{-2}}{\left(n_{p}-2\right) !} e^{-\alpha_{p} t} \\
z_{12}^{(k)}=z_{22}^{(k)}=\ldots=z_{n_{k}}^{(k)}=0 \\
(k=1,2, \ldots, p-1, p+1, \ldots, m) .
\end{array}
\]
Всего решении в $p$-й группе будет $n_{p}$. Таким образом, для каждой величины – $\alpha_{p}$ получается группа с $n_{p}$ решениями. При этом среди величин $-\alpha_{1}, \ldots,-\alpha_{m}$ могут быть и одинаковые, так как по условию каждая из величин $\alpha_{p}$ выписывается столько раз, сколько групп решений соответствует корню $\rho_{k}$ характеристического уравнения системы (54.1).
Полученные решения системы (54.6) будут как раз такими, какие фигурируют в предложении, установленном в § 53. Поэтому на основании этого предложения мы можем утверждать, что величины – $\alpha_{p}$ являются характеристическими показателями и, следовательно, величины $\frac{1}{\rho_{k}}$ – корнями характеристического уравнения системы (54.6) и эквивалентной еи системы (50.1). Кроме того, из предложения $\S 53$ вытекает также, что корень $\frac{1}{\rho_{k}}$ характеристического уравнения системы (50.1) имеет такую же кратность, как и корень $\rho_{k}$ характеристического уравнения системы (54.1), и что этим корням в обеих системах отвечает одинаковое число групп с одинаковым числом решений в каждой группе. Мы приходим, таким образом, к следующей теореме, установленной А. М. Ляпуновым.
Теорема. Если $\rho_{k}$ – корень ха рактеристического у равнения системы линсйны х уравнений с периодическими коэффыицентами, то величина $\frac{1}{\rho_{k}}$ будет корнем характеристического уравнения сопряженной системы. При этом кратности обоих корней, числа групп решений, им соответствующие, и числа решений в соответствующих группах одинаковы.
Рассмотрим теперь определяющее уравнение системы (54.6). Оно, очевидно, имеет вид
\[
D(\lambda)=\left|\begin{array}{cc}
\frac{M_{1} \mid}{\left|M_{2}\right|} & \\
\cdot & \\
& \mid \overline{M_{m}}
\end{array}\right|=0,
\]
где
Отсюда непосредственно убеждаемся в справедливости следующей теоремы.
Теорема. При преоб разовании системы линейных уравнений с периодическими коэфбициентами в систему уравнений с постоянными коэбфициентами корни определяющего уравнения проб разованной системы являются характе ристическими показателями исходной системы.
