Главная > ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ (И.Г.МАМКИЕ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

В качестве примера рассмотрим задачу о переводе точки, находящейся под действием центральной силы F, с некоторой эллиптической траектории на круговую орбиту, достаточно близкую к эллиптической. Эту задачу можно сформулировать как проб̈лему стабилизации невозмущенного движения, соответствующего заданнон орбите.

Будем полагать, что движение точки управляется реактивной силой R; тогда масса точки m является величиной переменной и ее движение будет описываться известным уравнением Мещерского)
mdvdt=F+R

где m(t)=m0+m1(t),m0= const, m1(t)0,R=dm1dt(av), v-скорость точки, a-скорость частицы dm1 в момент t+dt после ее отделения от точки, так что c=av есть относительная скорость отделяющейся частицы.

Если вектор реактивной силы R во все время движения точки остается в плоскости первоначальной траектории, то движение точки будет плоским и оно вполне будет определяться изменением ее полярных координат r и φ.

Дифференциальные уравнения, описывающие изменение r и φ, можно получить, если спроектировать векторное уравнение (108.1) на направление радиуса движущенся точки и перпендикулярное к нему направление. Известно 2 ), что проекции вектора ускорения w=dvdt на указанные направления вычисляются по формулам
wr=r¨rφ˙2,wφ=2r˙φ˙+rφ¨.

Тогда можно записать два дифференциальных уравнения, каждое из которых есть уравнение второго порядка относительно r и φ :
m(r¨rφ˙2)=F+Rr,md(r2φ˙)dt=rRφ.

где
Rr=crdm1dt,Rφ=cφdm1dt,

а cr и cφ — проекции относительной скорости отделяющенся частицы на направление радиуса и поперечное направление, соответственно.

Разделив оба уравнения на m(t) и полагая, что сила F есть сила всемирного тяготения, окончательно получим:
d2rdt2=μr2+rφ˙2+crdlnmdt,ddt(r2φ˙)=rcφdlnmdt.}

Здесь μ=fM,f — постоянная всемирного тяготения, M — масса притягивающего тела, которую иы считаем большой по сравнению с m и поэтому принимаем ее неподвижной.
1) Мещерски й И. В., Работы по механике тел переменной массы, Гостехиздат, 1949.
2) Суслов Г. К., Теоретическая механика, Гостехиздат, 1946.

Предположим теперь, что задана некоторая круговая орбита радиуса r0 и достаточно близкая к круговой эллиптическая траектория, по которой точка движется под деиствием только силы притяжения, пока реактивная сила отсутствует. Примем движение точки по круговой орбите за невозмущенное. Требуется определить закон изменения массы, следуя которому движение точки могло бы с течением времени неограниченно приблизиться к движению по круговой орбите.

Обозначая r0cΦdlnmdt=u,r=y1,r˙=y2 и вводя новую координату y3=r2φ˙, запишем уравнения (108.2) в нормальной форме:
dy1dt=y2,dy2dt=μy12+y32y13+bu,dy3dt=1r0y1u.}

Полагая величины |cr| и |cφ| постоянными во все время движения, т. е. считая, что выброс массы производится ориентированно относительно системы координат, связанной с точкой, имеем b=crcφr0= =kr0= const. Невозмущенное движение нашей точки определится, очевидно, соотношениями y1=r0,y2=0,y3=μr0, которые представляют собой частное решение системы (108.3) при u0, соответствующее движению по круговой орбите.

Положим x1=y1r0,x2=y2,x3=y3μr0 и, подставляя в (108.3), получим дифференциальные уравнения возмущенного движения:
dx1dt=x2,dx2dt=αx1+βx3+bu+f2(x1,x2,x3),dx3dt=a+f3(x1,x2,x3),}

где обозначено α=μr03,β=2μr0r03, а функции f2 и f3 раскладываются в некоторой окрестности точки x1=x2=x3=0 в ряды по степеням x1,x2,x3, начинающиеся членами не ниже второго порядка.

Итак, задачу, поставленную в начале параграфа, можно сформулировать следующим образом: найти функцию u=u(x1,x2,x3), обращающуюся в нуль при x1=x2=x3=0 и такую, чтобы тривиальное решение системы (108.4) было асимптотически устоћчивым при достаточно малых начальных возмущениях xi(t0)=xi0 ( i=1, 2,3 ). Эти возмущения определяются в момент t0 включения управляющего воздействия. Таким образом, получаем задачу I (о стабилизации). Очевидно, что решение этой задачи не является единственным.

Допустим, что к переходному процессу и управляющему воздеиствию u предъявлены некоторье требования. Например, требуется, чтобы переходный процесс, характеризующийся значениями x1(t), x2(t),x3(t) при t>t0, затухал достаточно быстро, и одновременно желательно, чтобы количество переменной массы, израсходованной на управление, было бы при этом не слишком велико. Для этого надо среди всех управляющих воздействий, решающих задачу I (допустимых управлений), определить такое управление u0(x1,x2,x3)-. оптимальное управление, — которое минимизирует некоторую цену качества, определяемую изложенными выше требованиями. Таким образом, получим задачу II (об оптимальной стабилизации).

Для нашего примера целесообразным критерием качества был бы интеграл
Iu(x10,x20,x30)=t0(μ1x12+μ2x22+μ3x32+γ|u|)dt,

где μ1,μ2,μ3 — некоторые положительные константы, а γ=1|cφ|r0. В самом деле, интеграл
Iu(1)=t1(μ1x12+μ2x22+μ3x32)dt

характеризует известным образом качество переходного процесса, оценивая малость величин xs(t), а интеграл
Iu(2)=t0γ|u|dt=t0dlnmdt=lnm0+m1(t0)m0

определяет запас переменной массы m1 в начальный момент управления t0. Итак, переход на круговую орбиту можно осуществить за счет минимальных управляющих ресурсов и вместе с тем при хорошем качестве переходного процесса, если удастся найти оптимальное управление u0, для которого
Iu0(x10,x20,x30)Iu(x10,x20,x30)

при любых xi0(i=1,2,3) и для всех u, решающих задачу I.

Однако два обстоятельства вынуждают отказаться от критерия (108.5), несмотря на всю его целесообразность.

Во-первых, неаналитичность подынтегральной функций приводит к трудоемким вычислениям при определении оптимального управляющего воздейстия, а в замкнутой форме найти решение вряд ли возможно. Во-вторых, по той же причине структура алгоритма управления получается весьма сложной, а потому технически трудно осуществимой.

Учитывая указанные обстоятельства, можно предложить вместо (108.5) в качестве критерия оптимальности интеграл
Iu(x10,x20,x30)=t0(μ1x12+μ2x22+μ3x32+γu2)dt,

которыи несущественно отличается от (108.5) лишь в части, характеризующей расход переменной массы, но зато позволяет найти оптимальное управление в замкнутой форме и простое по своей структуре.

Решение этой задачи будет приведено после изложения общей теории (см. §113).

1
Оглавление
email@scask.ru