В качестве примера рассмотрим задачу о переводе точки, находящейся под действием центральной силы $F$, с некоторой эллиптической траектории на круговую орбиту, достаточно близкую к эллиптической. Эту задачу можно сформулировать как проб̈лему стабилизации невозмущенного движения, соответствующего заданнон орбите.

Будем полагать, что движение точки управляется реактивной силой $R$; тогда масса точки $m$ является величиной переменной и ее движение будет описываться известным уравнением Мещерского)
\[
m \frac{d v}{d t}=F+R
\]

где $m(t)=m_{0}+m_{1}(t), \quad m_{0}=$ const, $m_{1}(t) \geqslant 0, \quad R=\frac{d m_{1}}{d t}(a-v)$, $v$-скорость точки, $a$-скорость частицы $d m_{1}$ в момент $t+d t$ после ее отделения от точки, так что $c=a-v$ есть относительная скорость отделяющейся частицы.

Если вектор реактивной силы $R$ во все время движения точки остается в плоскости первоначальной траектории, то движение точки будет плоским и оно вполне будет определяться изменением ее полярных координат $r$ и $\varphi$.

Дифференциальные уравнения, описывающие изменение $r$ и $\varphi$, можно получить, если спроектировать векторное уравнение (108.1) на направление радиуса движущенся точки и перпендикулярное к нему направление. Известно ${ }^{2}$ ), что проекции вектора ускорения $w=\frac{d v}{d t}$ на указанные направления вычисляются по формулам
\[
w_{r}=\ddot{r}-r \dot{\varphi}^{2}, \quad w_{\varphi}=2 \dot{r} \dot{\varphi}+r \ddot{\varphi} .
\]

Тогда можно записать два дифференциальных уравнения, каждое из которых есть уравнение второго порядка относительно $r$ и $\varphi$ :
\[
m\left(\ddot{\boldsymbol{r}}-r \dot{\varphi}^{2}\right)=F+R_{r}, \quad m \frac{d\left(r^{2} \dot{\varphi}\right)}{d t}=r R_{\varphi} .
\]

где
\[
R_{r}=c_{r} \frac{d m_{1}}{d t}, \quad R_{\varphi}=c_{\varphi} \frac{d m_{1}}{d t},
\]

а $c_{r}$ и $c_{\varphi}$ – проекции относительной скорости отделяющенся частицы на направление радиуса и поперечное направление, соответственно.

Разделив оба уравнения на $m(t)$ и полагая, что сила $F$ есть сила всемирного тяготения, окончательно получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d^{2} r}{d t^{2}} & =-\frac{\mu}{r^{2}}+r \dot{\varphi}^{2}+c_{r} \frac{d \ln m}{d t}, \\
\frac{d}{d t}\left(r^{2} \dot{\varphi}\right) & =r c_{\varphi} \frac{d \ln m}{d t} .
\end{array}\right\}
\]

Здесь $\mu=f M, f$ – постоянная всемирного тяготения, $M$ – масса притягивающего тела, которую иы считаем большой по сравнению с $m$ и поэтому принимаем ее неподвижной.
1) Мещерски й И. В., Работы по механике тел переменной массы, Гостехиздат, 1949.
2) Суслов Г. К., Теоретическая механика, Гостехиздат, 1946.

Предположим теперь, что задана некоторая круговая орбита радиуса $r_{0}$ и достаточно близкая к круговой эллиптическая траектория, по которой точка движется под деиствием только силы притяжения, пока реактивная сила отсутствует. Примем движение точки по круговой орбите за невозмущенное. Требуется определить закон изменения массы, следуя которому движение точки могло бы с течением времени неограниченно приблизиться к движению по круговой орбите.

Обозначая $r_{0} c_{\Phi} \frac{d \ln m}{d t}=u, r=y_{1}, \quad \dot{r}=y_{2}$ и вводя новую координату $y_{3}=r^{2} \dot{\varphi}$, запишем уравнения (108.2) в нормальной форме:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d y_{1}}{d t} & =y_{2}, \\
\frac{d y_{2}}{d t} & =-\frac{\mu}{y_{1}^{2}}+\frac{y_{3}^{2}}{y_{1}^{3}}+b u, \\
\frac{d y_{3}}{d t} & =\frac{1}{r_{0}} y_{1} u .
\end{array}\right\}
\]

Полагая величины $\left|c_{r}\right|$ и $\left|c_{\varphi}\right|$ постоянными во все время движения, т. е. считая, что выброс массы производится ориентированно относительно системы координат, связанной с точкой, имеем $b=\frac{c_{r}}{c_{\varphi} r_{0}}=$ $=\frac{k}{r_{0}}=$ const. Невозмущенное движение нашей точки определится, очевидно, соотношениями $y_{1}=r_{0}, \quad y_{2}=0, \quad y_{3}=\sqrt{\mu r_{0}}$, которые представляют собой частное решение системы (108.3) при $u \equiv 0$, соответствующее движению по круговой орбите.

Положим $x_{1}=y_{1}-r_{0}, \quad x_{2}=y_{2}, \quad x_{3}=y_{3}-\sqrt{\mu r_{0}}$ и, подставляя в (108.3), получим дифференциальные уравнения возмущенного движения:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d x_{1}}{d t} & =x_{2}, \\
\frac{d x_{2}}{d t} & =\alpha x_{1}+\beta x_{3}+b u+f_{2}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \\
\frac{d x_{3}}{d t} & =a+f_{3}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right),
\end{array}\right\}
\]

где обозначено $\alpha=-\frac{\mu}{r_{0}^{3}}, \beta=\frac{2 \sqrt{\mu r_{0}}}{r_{0}^{3}}$, а функции $f_{2}$ и $f_{3}$ раскладываются в некоторой окрестности точки $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$ в ряды по степеням $x_{1}, x_{2}, x_{3}$, начинающиеся членами не ниже второго порядка.

Итак, задачу, поставленную в начале параграфа, можно сформулировать следующим образом: найти функцию $u=u\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$, обращающуюся в нуль при $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$ и такую, чтобы тривиальное решение системы (108.4) было асимптотически устоћчивым при достаточно малых начальных возмущениях $x_{i}\left(t_{0}\right)=x_{i 0}$ ( $i=1$, 2,3 ). Эти возмущения определяются в момент $t_{0}$ включения управляющего воздействия. Таким образом, получаем задачу I (о стабилизации). Очевидно, что решение этой задачи не является единственным.

Допустим, что к переходному процессу и управляющему воздеиствию $u$ предъявлены некоторье требования. Например, требуется, чтобы переходный процесс, характеризующийся значениями $x_{1}(t)$, $x_{2}(t), x_{3}(t)$ при $t>t_{0}$, затухал достаточно быстро, и одновременно желательно, чтобы количество переменной массы, израсходованной на управление, было бы при этом не слишком велико. Для этого надо среди всех управляющих воздействий, решающих задачу I (допустимых управлений), определить такое управление $u^{0}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$-. оптимальное управление, – которое минимизирует некоторую цену качества, определяемую изложенными выше требованиями. Таким образом, получим задачу II (об оптимальной стабилизации).

Для нашего примера целесообразным критерием качества был бы интеграл
\[
I_{u}\left(x_{10}, x_{20}, x_{30}\right)=\int_{t_{0}}^{\infty}\left(\mu_{1} x_{1}^{2}+\mu_{2} x_{2}^{2}+\mu_{3} x_{3}^{2}+\gamma|u|\right) d t,
\]

где $\mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{3}$ – некоторые положительные константы, а $\gamma=\frac{1}{\left|c_{\varphi}\right| r_{0}}$. В самом деле, интеграл
\[
I_{u}^{(1)}=\int_{t_{1}}^{\infty}\left(\mu_{1} x_{1}^{2}+\mu_{2} x_{2}^{2}+\mu_{3} x_{3}^{2}\right) d t
\]

характеризует известным образом качество переходного процесса, оценивая малость величин $x_{s}(t)$, а интеграл
\[
I_{u}^{(2)}=\int_{t_{0}}^{\infty} \gamma|u| d t=-\int_{t_{0}}^{\infty} \frac{d \ln m}{d t}=\ln \frac{m_{0}+m_{1}\left(t_{0}\right)}{m_{0}}
\]

определяет запас переменной массы $m_{1}$ в начальный момент управления $t_{0}$. Итак, переход на круговую орбиту можно осуществить за счет минимальных управляющих ресурсов и вместе с тем при хорошем качестве переходного процесса, если удастся найти оптимальное управление $u^{0}$, для которого
\[
I_{u^{0}}\left(x_{10}, x_{20}, x_{30}\right) \leqslant I_{u}\left(x_{10}, x_{20}, x_{30}\right)
\]

при любых $x_{i 0}(i=1,2,3)$ и для всех $u$, решающих задачу $\mathrm{I}$.

Однако два обстоятельства вынуждают отказаться от критерия (108.5), несмотря на всю его целесообразность.

Во-первых, неаналитичность подынтегральной функций приводит к трудоемким вычислениям при определении оптимального управляющего воздейстия, а в замкнутой форме найти решение вряд ли возможно. Во-вторых, по той же причине структура алгоритма управления получается весьма сложной, а потому технически трудно осуществимой.

Учитывая указанные обстоятельства, можно предложить вместо (108.5) в качестве критерия оптимальности интеграл
\[
I_{u}\left(x_{10}, x_{20}, x_{30}\right)=\int_{t_{0}}^{\infty}\left(\mu_{1} x_{1}^{2}+\mu_{2} x_{2}^{2}+\mu_{3} x_{3}^{2}+\gamma u^{2}\right) d t,
\]

которыи несущественно отличается от (108.5) лишь в части, характеризующей расход переменной массы, но зато позволяет найти оптимальное управление в замкнутой форме и простое по своей структуре.

Решение этой задачи будет приведено после изложения общей теории (см. §113).