Рассмотрим теперь систему
\[
\frac{d x}{d t}=a x+f(y), \quad \frac{d y}{d t}=b x+c y .
\]

Характеристическое уравнение соответствующей линеиной системы имеет теперь вид
\[
\rho^{2}-(a+c) \rho+a c-b h=0 .
\]

Следовательно, для того чтобы корни этого уравнения имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства
\[
a+c<0, \quad a c-b h>0 .
\]

Полагая $f(y)=y h(y)$, будем иметь
\[
a c-b h(y)>0 .
\]

Кроме того, предположим, что при достаточно больших значениях $|y|$ выполняется неравенство $a c-b h(y)>\varepsilon$.

В частности, если $b=0$, то функция $f(y)$ ничем не ограничена. Но при $b=0$, как это следует из (100.2), должно быть $a<0, c<0$ и непосредственное интегрирование системы (100.1) показывает, что равновесие асимптотически устойчиво при любом начальном возмущении и при любом выборе функции $f(y)$.
Допустим, что $b
eq 0$, и рассмотрим функцию
\[
\begin{aligned}
2 V & =-2 b \int_{0}^{y} f(y) d y+b^{2} x^{2}-2 a b x y+(a+c) a y^{2} \equiv \\
& \equiv 2 \int_{0}^{y}[a c-b h(y)] y d y+(b x-a y)^{2} .
\end{aligned}
\]

На основании (100.2) функция $V$ определенно-положительна. Составляя ее производную в силу уравнений (100.1), получим:
\[
\frac{d V}{d t}=a c(a+c) y^{2}-b(a+c) y f(y) .
\]

Полагая $f(y)=h y$, где $h=h(y)$ удовлетворяет условию (100.2), получим:
\[
\frac{d V}{d t}=(a+c)(a c-b h) y^{2}<0 \text { при } \quad y
eq 0 .
\]

Отсюда, так же как и в предыдущем параграфе, заключаем, что если в уравнениях (100.1) функция удовлетворяет условию (100.2), то равновесие будет асимптотически устойчиво при любом начальном возмущении.

Итак, для системы (100.1) ответ на вопрос М. А. Айзермана тоже получается всегда утвердительный.

Во всех наших рассуждениях не исключалась возможность, что кривая $z=f(x)$ касается при $x=0$ одной из прямых $z=\alpha x$ и $z=\beta x$. В этом случае характеристическое уравнение будет иметь корни с вещественной частью, равной нулю. Следовательно, линеаризованная система будет находиться на границе области устоћчивости. Так как при этом нелинейная система будет по доказанному устойчива, то по Н. Н. Баутину эта граница всегда является «безопаснон» ${ }^{1}$ ).

В заключение заметим, что предположение о дифференцируемости функции $f(x)$ не делалось и, следовательно, кривая $z=f(x)$ может не иметь в начале координат определенной касательной
1) $\mathrm{C}_{\mathrm{M}} . \S 44$.