Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения ( $n+k$ )-го порядка следующего вида:
\[
\left.\begin{array}{r}
\frac{d y_{i}}{d t}=q_{i 1} y_{1}+\ldots+q_{i k} y_{k}+r_{i 1} x_{1}+\ldots+r_{i n} x_{n}+ \\
+Y_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(i=1,2, \ldots, k ; \quad s=1,2, \ldots, n) .
\end{array}\right\}
\]

Здесь $Y_{i}$ и $X_{s}$ – ряды по степеням переменных $y_{1}, \ldots, y_{k}$, $x_{1}, \ldots, x_{n}$, сходящиеся в области
\[
t \geqslant 0, \quad\left|x_{s}\right| \leqslant H, \quad\left|y_{i}\right| \leqslant H
\]

и начинающиеся членами не ниже второго порядка. Коэффициенты этих рядов, а также коэффициенты $q_{i j}, r_{i j}$ и $p_{s j}$ суть ограниченные и непрерывные функции времени. Коэффициенты $p_{s j}$ таковы, что для системы линейных уравнений (90.2) выполняются критерии устойчивости по первому приближению, установленные в § 88. Мы можем, следовательно, предположить, что существует определенно-положительная квадратичная форма $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$, коэффициенты которой являются ограниченными функциями времени, для которой
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial V}{\partial x_{s}}=-\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2} .
\]

Для самой же формы $V$ в силу ее знакоопределенности мы можем писать
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \geqslant a^{2} \sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2},
\]

где $a$-вещественная постоянная.
Рассмотрим далее «укороченную» систему
\[
\begin{array}{c}
\frac{d y_{i}}{d t}=q_{i 1} y_{1}+\ldots+q_{i k} y_{k}+Y_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, 0, \ldots, 0\right)= \\
=Y_{i}^{0}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \\
(i=1,2, \ldots, k)
\end{array}
\]

и докажем следующую теорему.
Теорема. Допустим, что невозмущенное движение $y_{1}=\ldots=$ $=y_{k}=0$ для «укороченной» системи устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво вне зависимости от членов порядка выше, чем N. Тогда, если разложения бункций $X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, 0, \ldots, 0\right)$ начинаются членами по рядка не ниже $N+1$, то и невозмущенное движение $y_{1}=\ldots=y_{k}=x_{1}=\ldots=$ $=x_{n}=0$ для полной системы (91.1) соответственно устойчиво, асимптотически устойчаво или неустойчиво ${ }^{1}$ ).

Доказательство. $1^{\circ}$. Для упрощения доказательства ${ }^{2}$ ) мы сделаем относительно уравнений (91.1) некоторые дополнительные ограничения. Мы предположим, прежде всего, что все коэффициенты $r_{i j}$
1) См. примечание в конце книги (стр. 529).
2) Это упрощение сделано В. Н. Постниковым (Постииков В. Н., К теории устойчивости движения в критических случаях. Диссертация, 1942). Он же исправил и неточность в формулировке теоремы, данной в работе автора (см. сноску ${ }^{2}$ ) на стр. 381), где вместо условия, что разложения функций $X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, 0, \ldots, 0\right)$ начннаются членами не ниже $(N+1)$-го порядка, указывалось, что это разложение должно начинаться членами не ниже $N$-го порядка.

равны нулю. Это ограничение не существенно, и его легко добиться простым преобразованием переменных. Второе ограничение заключается в следующем.
Так как коэффициенты $q_{i j}$ ограничены, то мы можем писать:
\[
\left|\sum_{i=1}^{k} y_{i}\left(q_{i 1} y_{1}+\ldots+q_{i k} y_{k}\right)\right| \leqslant b^{2}\left(y_{1}^{2}+\ldots+y_{k}^{2}\right),
\]

где $b$ – некоторая вещественная постоянная. Мы будем предполагать, что эта постоянная настолько мала, что квадратичная форма
\[
-\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}+2 N b^{2} V
\]

определенно-отрицательна. Как мы увидим ниже, во всех тех случаях, для которых мы будем применять теорему, это ограничение будет выполняться.
При этом ограничении, мы можем писать неравенство
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}-N x_{s} \frac{\sum_{i=1}^{k} y_{i}\left(q_{i 1} y_{1}+\ldots+q_{i k} y_{k}\right)}{y_{1}^{2}+\ldots+y_{k}^{2}}\right) \leqslant \\
\leqslant-\alpha^{2} \sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2},
\end{array}
\]

где $\alpha$-вещественная постоянная, справедливое при любых значениях $t \geqslant 0, y_{i}$ и $x_{s}$. Действительно, в силу (91.3) и (91.6) левая часть этого неравенства не превосходит формы (91.7), которая, по условию, определенно-отрицательна.
Сделаем теперь преобразование переменных ${ }^{1}$ )
\[
x_{s}=r^{N} \xi_{s}, \quad r=\sqrt{y_{1}^{2}+\cdots+y_{k}^{2}} .
\]

Тогда первая группа уравнений (91.1) примет вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d y_{i}}{d t}=Y_{i}^{0}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)+r^{N} \Psi_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right) \\
(i=1,2, \ldots, k),
\end{array}
\]

где функции $\Psi_{i}$ в силу сделанного предположения, что все коэффициенты $r_{i j}$ равны нулю, удовлетзоряют тождествам
\[
\Psi_{l}\left(t, 0, \ldots, 0, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right) \equiv 0 \quad(i=1,2, \ldots, k) . \quad(91.11)
\]
1) См. примечание в конце книги (стр. 529).

Для второй группы уравнений (91.1) имеем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \xi_{s}}{d t} r^{N}+N \xi_{s} r^{N-2} \sum_{i=1}^{n} y_{i} \frac{d y_{i}}{d t}= \\
\quad=r^{N}\left(p_{s 1} \xi_{1}+\ldots+p_{s n} \xi_{n}\right)+X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, \xi_{1} r^{N}, \ldots, \xi_{n} r^{N}\right)
\end{array}
\]

или, принимая во внимание, что разложения функций $X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots\right.$ $y_{k}, 0, \ldots, 0$ ) начинаются членами не ниже $(N+1)$-го порядка,
\[
\begin{aligned}
\frac{d \xi_{s}}{d t}=p_{s 1} \xi_{1}+\ldots+p_{s n} \xi_{n} & -N \xi_{s} \frac{\sum_{i=1}^{n} y_{i}\left(q_{i 1} y_{1}+\ldots+q_{i k} y_{k}\right.}{r^{2}}+ \\
& +\Xi_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right),
\end{aligned}
\]

где функции $\Xi_{s}$ также удовлетворяют тождествам
\[
\Xi_{s}\left(t, 0, \ldots, 0, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right) \equiv 0 \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]
$2^{\circ}$. Пусть $\varepsilon<H$ – производьное положительное число. Обозначим через $\xi$ наибольшую из величин $\left|\xi_{s}\right|$, а через $l(\varepsilon)$ – некоторое отличное от нуля положительное число, меньшее точного нижнего предела формы $V$ при условии $H>\xi \geqslant \varepsilon$. В силу (91.4) такое число $l(\varepsilon)$ существует. Итак,
\[
V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)>l(\varepsilon)>0 \text { при } H>\xi \geqslant \varepsilon .
\]

Рассмотрим теперь множество всевозможных значений переменных $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$, связанных соотношением
\[
V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)=l(\varepsilon) .
\]

Для этого множества выполняется, очевидно, неравенство $\left|\xi_{s}\right|<\varepsilon$. Кроме того, так как коэффициенты формы $V$ ограничены, то будет также выполняться условие
\[
\sum_{s=1}^{n} \xi_{s}^{2} \geqslant \lambda^{2}(\varepsilon) \text { при } V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)=l(\varepsilon),
\]

где $\lambda^{2}(\varepsilon)$ – достаточно положительное число.
Установив это, вычислим проиэводную от функции $V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)$ по времени в силу уравнений (91.12) при условии (91.15). Будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{d V}{d t}\right)_{V=l}=\left\{\frac{\partial V}{\partial t}+\right. \\
+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial \xi_{s}}\left(p_{s 1} \xi_{1}+\ldots+p_{s n} \xi_{n}-N \xi_{s} \frac{\sum_{l=1}^{k} y_{i}\left(q_{i 1} y_{1}+\ldots+q_{i k} y_{k}\right)}{r^{2}}+\right. \\
\left.\left.+\Xi_{s}\right)\right\}_{V=i} \text {. } \\
\end{array}
\]

Но на основании (91.8) и (91.16)
\[
\left(\frac{d V}{d t}\right)_{V=l} \leqslant-\alpha^{2} \lambda^{2}+\left\{\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial \xi_{s}} \Xi_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)\right\}_{V=l} .
\]

Поэтому, принимая во внимание тождества (91.13), мы видим, что всегда нандется такое положительное число $h(\varepsilon)$ (зависящее только от $\varepsilon$ ), что при всех значениях величин $\left|y_{i}\right|$, удовлетворяющих неравенствам $\left|y_{i}\right| \leqslant h(\varepsilon)$, выражение (91.17) будет отрицательным. Мы будем предполагать, что во всяком случае $h(\varepsilon)<\varepsilon$. Таким образом,
\[
\left(\frac{d V}{d t}\right)_{V=t}<0 \text { при }\left|y_{i}\right| \leqslant h(\varepsilon)<\varepsilon .
\]

Построенные в этом пункте области и поверхности, их ограничивающие:
\[
\begin{array}{c}
\xi=H, \xi=\varepsilon, \sum_{s=1}^{n} \xi_{s}^{2}=\lambda^{2}(\varepsilon), y=h(\varepsilon), V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)=l(\varepsilon), \\
\xi=\max \left(\left|\xi_{1}\right|, \ldots,\left|\xi_{n}\right|, \quad y=\max \left(\left|y_{1}\right|, \ldots,\left|y_{k}\right|\right),\right.
\end{array}
\]

для наглядности дальнеиших рассуждений полезно изобразить схематически так, как это сделано на рис. 20. Здесь вертикальная ось изображает $k$-мерное многообразие точек, где $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$, $y_{i}$-любые, а горизонтальная ось- $n$-мерное многообразие, где $y_{1}=\ldots=y_{k}=0, x_{s}$ – любые.

Подчеркнем следующее важное обстоятельство. Поверхность $V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)=l(\varepsilon)$ охватывает многообразие $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$, которое, таким образом, оказывается внутри полости, ограниченной этой поверхностью. Поверхности $V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)=l(\varepsilon), \quad y=h(\varepsilon)$ в совокупности ограничивают некоторые замкнутые полости. Вследствие неравенства (91.18) интегральные кривые $x_{s}(t), y_{i}(t)$ системы (91.1) пересекают при этом поверхность $V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)=l(\varepsilon)$ внутрь, т. е. в сторону убывания функции $V$. При этом число $h(\varepsilon)$ будем считать столь малым, что область $y \leqslant h(\varepsilon), V\left(t, \xi_{1} \ldots, \xi_{n}\right) \leqslant l(\varepsilon)$ лежит в области $\left|x_{s}\right|<\varepsilon$.
$3^{\circ}$. Допустим сначала, что для «укороченнои» системы невозмущенное движение устоћчиво. Покажем, что тогда и для полной системы невозмущенное движение будет также устоичиво. Заменим с этой целью в уравнениях (91.10) величины $\xi_{s}$ произвольными функциями времени, удовлетворяющими при всех $t \geqslant 0$ неравенствам
\[
\left|\xi_{s}\right| \leqslant H \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]

Тогда получим систему уравнении
\[
\begin{aligned}
\frac{d y_{i}}{d t}=Y_{i}^{(01)}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right) & +Y_{i}^{(02)}+\ldots \\
& \ldots+Y_{i}^{(0 N)}+\bar{Y}_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right),
\end{aligned}
\]

где $Y_{i}^{(0 t)}$ – формы $l$-го порядка переменных $y_{1}, \ldots, y_{k}$, представляющие собой совокупности членов $l$-го порядка в разложениях функций $Y_{i}^{(0)}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)$ и
\[
\bar{Y}_{i}=Y_{i}^{(0, N+1)}+Y_{i}^{(0, N+2)}+\ldots+r^{N} \Psi_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right) \text {. }
\]

В силу (91.11), очевидно, имеем:
\[
\left|\bar{Y}_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)\right|<A\left\{\left|y_{1}\right|+\ldots+\left|y_{k}\right|\right\}^{N+1},
\]

где $A$ – некоторая постоянная, зависящая, очевидно, только от структуры уравнений (91.10) и не зависящая от того или иного частного
Рис. 20.

выбора функций $\xi_{s}$. Согласно условию об устойчивости для «укороченной» системы вне зависимости от членов порядка выше $N$ существует положительная постоянная $\delta_{1}(h(\varepsilon), A)$, такая, что все решения уравнении (91.20), удовлетворяющие в начальный момент $t=0$ условиям
\[
\left|y_{i}^{0}\right| \leqslant \delta_{1}(h(\varepsilon), A)
\]

будут при всех $t>0$ удовлетворять условиям
\[
\left|y_{i}(t)\right|<h(\varepsilon) .
\]

При этом постоянная $\delta_{1}$ будет зависеть только от $h(\varepsilon)$ и, следовательно, в конечном счете только от $\varepsilon$, т. е. $\delta_{1}=\delta_{1}(\varepsilon)$,

Допуетим теперь, что в уравнениях (91.10) величины $\xi_{s}$ заменены функциями времени, удовлетворяющими неравенствам (91.19) не при всех значениях $t$, а только при значениях $t$, не превосходящих некоторого числа $T$. Тогда все решения уравнений (91.20), удовлетворяющие начальным условиям (91.22), будут удовлетворять неравенствам (91.23), по крайней мере, при всех значениях $t$, лежащих на отрезке $[0, T]$.

В самом деле, пусть $\xi_{s}=f_{s}(t)$ будут указанные функции. Заменим в уравнениях (91.10) величины $\xi_{s}$ функциями $\xi_{s}=\varphi_{s}(t)$, определенными следующим образом:
\[
\begin{array}{lll}
\varphi_{s}(t)=f_{s}(t) & \text { при } & 0 \leqslant t \leqslant T, \\
\varphi_{s}(t)=\varphi_{s}(T)=\mathrm{const} & \text { при } & t>T .
\end{array}
\]

Тогда уравнения (91.10) примут вид
\[
\frac{d y_{i}}{d t}=Y_{i}^{(01)}+\ldots+Y_{i}^{(0 N)}+\bar{Y}_{i}^{*}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)
\]

причем
\[
\bar{Y}_{i}^{*}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right)=\bar{Y}_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}\right) \text { при } 0 \leqslant t \leqslant T .
\]

Так как функции $\varphi_{s}(t)$ удовлетворяют условиям (91.19) при всех $t \geqslant 0$, то для всех решений уравнений (91.24), для которых справедливо (91.22), будет при всех $t>0$ выполняться (91.23). Но решения уравнений (91.24) на отрезке $[0, T]$ совпадают с решениями уравнений (91.20), и мы, следовательно, приходим к следующему выводу: если в уравнениях (91.10) заменить все величины $\xi_{s}$ произвольными функциями времени, удовлетворяющими на отрезке $[0, T]$ условию (91.19), то все решения полученной таким образом системы уравнений, удовлетворяющие начальным условиям (91.22), будут на отрезке $[0, T]$ удовлетворять неравенствам (91.23). Если условия (91.19) выполняются при всех $t \geqslant 0$, то и неравенства (91.23) будут выполняться при всех $t \geqslant 0$.

Рассмотрим теперь произвольное решение $\xi_{1}(t), \ldots, \xi_{n}(t)$, $y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)$ уравнений $(91.10)$ и (91.12), для которого в начальный момент $t=0$ выполняются условия
\[
\xi_{s}^{0}|\leqslant \eta, \quad| y_{i}^{0} \mid \leqslant \eta \quad(s=1,2, \ldots, n ; i=1,2, \ldots, k) .
\]

Мы будем при этом предполагать, что
\[
\eta<\delta_{1}(\varepsilon)
\]

и что постоянная $\eta$ настолько мала, что выполняется неравенство
\[
V\left(0, \xi_{1}^{0}, \ldots, \xi_{n}^{0}\right)<l(\varepsilon) .
\]

Покажем, что все функции $\xi_{s}(t)$ и $y_{i}(t)$ будут при всех $t>0$ удовлетворять неравенствам
\[
\begin{array}{l}
\left|\xi_{s}(t)\right|<\varepsilon, \\
\left|y_{i}(t)\right|<\varepsilon .
\end{array}
\]

Рассмотрим сначала функции $\xi_{s}$. Для этих функций условия (91.28), выполняясь при $t=0$, будут выполняться при $t$, достаточно малом. Пусть $T$ – первый момент времени, для которого $\xi=\max \left\{\left|\xi_{1}\right|, \ldots\right.$ $\left.\ldots,\left|\xi_{n}\right|\right\}=\varepsilon$. Тогда на основании (91.14) будем иметь:
\[
V\left[T, \xi_{1}(T), \ldots, \xi_{n}(T)\right]>l(\varepsilon) .
\]

Отсюда на основании (91.27) заключаем, что в интервале $(0, T)$ должен существовать такой момент времени $t=T^{\prime}$, что одновременно будут выполняться условия
\[
V=l, \quad\left[\frac{d V}{d t}\right]_{V=l} \geqslant 0 \text { при } t=T^{\prime} .
\]

Но во всем интервале ( $0, T$ ), несомненно, выполняется условие (91.19). Следовательно, на основании предыдущего во всем этом интервале будут выполняться неравенства (91.23), так как число $\eta$ выбрано согласно (91.26), а функции $y_{i}(t)$ будут, очевидно, одним из решений уравнений (91.20), которые получатся из (91.10), если в последних величины $\xi_{s}$ заменить рассматриваемыми сећчас функциями $\xi_{s}(t)$. Поэтому на основании (91.18) во всем интервале $(0, T)$ будет выполняться неравенство
\[
\left(\frac{d V}{d t}\right)_{V=l}<0,
\]

что противоречит (91.30).
Таким образом, приходим к заключению, что неравенства (91.28) будут выполняться при всех $t>0$. Но тогда при всех $t>0$ будут выполняться и неравенства (91.23), а следовательно, и подавно неравенства $(91.29$ ), так как $h(\varepsilon)<\varepsilon$. Следовательно, невозмущенное движение устойчиво по отношению к переменным $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}, y_{1}, \ldots, y_{k}$.

Таким образом установлен следующий факт. Траектория $x_{s}(t)$, $y_{i}(t)$ системы (91.1), начавшаяся в любои точке $N\left(x_{s}\left(t_{0}\right), y_{i}\left(t_{0}\right)\right)$ в области $\left|y_{i}\left(t_{0}\right)\right| \leqslant \eta,\left|\xi_{s}\right| \leqslant \eta$, не покидает область, ограниченную поверхностями
\[
y=h(\varepsilon), \quad V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)=l(\varepsilon)
\]
(см. рис. 20). При этом величины $\xi_{s}(t)$ при всех $t \geqslant t_{0}$ не превосходят $H$ и, следовательно, использование в рассуждениях преобразования (91.9) является законным. Итак, пока доказана лишь условная устоичивость решения $x_{s}=0, y_{i}=0$ относительно возмущений $x_{s}\left(t_{0}\right), y_{i}\left(t_{0}\right)$ из области $V\left(t_{0}, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right) \leqslant l(\varepsilon)$. Поэтому для завершения доказательства первого утверждения теоремы следует еще показать, что из такой условной устойчивости в данном случае вытекает устойчивость движения $x_{s}=0, y_{i}=0$ при любых малых возмущениях $x_{s}\left(t_{0}\right), y_{i}\left(t_{0}\right)$ из полной окрестности ${ }^{1}$ ) точки $x_{s}=0, y_{i}=0$. Сделаем это. Вернемся снова к записи уравнений возмущенного движения в форме (91.1). Рассмотрим поверхности
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=S .
\]

Это – цилиндрические поверхности в пространстве $\left\{x_{s}, y_{i}\right\}$, охватывающие многообразие $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ (см. рис. 20). Рассматриваемые поверхности перемещаются со временем, но для любого $S>0$ можно указать два числа $\mu_{1}(S)$ и $\mu_{2}(S)\left(\mu_{1}<\mu_{2}\right)$ таких, что при всех $t$ поверхность $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=S$ лежит между поверхностями $\quad x=\mu_{1}(S), x=\mu_{2}(S)\left(x=\max \left(\left|x_{1}\right|, \ldots,\left|x_{n}\right|\right)\right.$, причем $\lim \mu_{2}=\lim \mu_{1}=0$ при $S \rightarrow 0$. Это обстоятельство является следствием того, что квадратичная форма $V$ определенно пөложительна и допускает бесконечно малый высший предел.

Теперь можно выбрать достаточно малое положительное число $S(\varepsilon)$, которое удовлетворяет следующим трем условиям:
1) число $\mu_{2}[S(\varepsilon)]<\varepsilon$;
2) при $S \leqslant S(\varepsilon)$ поверхности $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=S$ пересекаются с поверхностью $\sum_{s=1}^{n} \xi_{s}^{2}=\lambda^{2}(\varepsilon)$ (а следовательно, и с поверхностью. $\left.V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)=l(\varepsilon)\right)$ при
\[
\left|y_{i}\right|<\delta_{1}(\varepsilon)
\]
3) на поверхностях $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=S$ при $S \leqslant S(\varepsilon)$ и при условии
\[
\left(y_{1}^{2}+\cdots+y_{k}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \leqslant \sqrt{\frac{2 N}{\frac{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}{\lambda^{2}}}}
\]

выполняется неравенство
\[
\frac{d V}{d t}<0
\]

где $\frac{d V}{d t}$ – производная функции $V$ в силу уравнений (9l.1).
Действительно, первое и второе условия удовлетворяются при малом $S(\varepsilon)$ потому, что при $S \rightarrow 0$ поверхности $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=S$ равномерно стягиваются к многообразию $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$. Третьему условию можно удовлетворить по свойствам функций $X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots\right.$ $\ldots, y_{k}, x_{1}, \ldots, x_{n}$ ) в уравнениях (91.1). В самом деле, разложе-
1) На это существенное обстоятельство обратил внимание Н. П. Еругин. См. его рецензию о книге И. Г. Малқина «Теория устойчивости движения» в Вестниқе ЛГУ № 5,1953 ,

ние функции $X_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{k}, 0, \ldots, 0\right)$ начинается членами порядка не ниже $(N+1)$, поэтому при условии ( $\beta$ ) и при достаточно малых $x_{s}$ имеем
\[
\left|X_{s}\right| \leqslant \alpha\left(\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|\right),
\]

где постоянная $\alpha>0$ сколь угодно мала, если величины $x_{s}$ достаточно малы. Из условия ( $\gamma$ ) обычными приемами выводится неравенство $\frac{d V}{d t}<0$, на чем мы останавливаться не будем.

Итак, пусть выбрано число $S(\varepsilon)>0$, удовлетворяющее указанным условиям 1), 2) и 3). Выберем число $\eta>0$ так, чтобы помимо условий (91.26) и (91.27) это число еще удовлетворяло следующему требованию: область $\left|x_{s}\right| \leqslant \eta$ должна лежать внутри поверхности $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=S(\varepsilon)$, т. е. должно быть $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)<S(\varepsilon)$ при $\left|x_{s}\right| \leqslant \eta$.

Покажем, что при условиях $\left|x_{s}\left(t_{0}\right)\right| \leqslant \eta, \quad\left|y_{i}\left(t_{0}\right)\right| \leqslant \eta$ выполняются неравенства $\left|x_{s}(t)\right|<\varepsilon,\left|y_{i}(t)\right|<\varepsilon$ для всех $t \geqslant t_{0}$. В самом деле, выше уже показано, что указанные неравенства выполняются, если начальное возмущение лежит в области $V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right) \leqslant l(\varepsilon)$. Пусть теперь начальное возмущение этому условию не удовлетворяет. По выбору числа $\eta$ и по предыдущим построениям в таком случае заключаем, что точка $x_{s}\left(t_{0}\right), y_{i}\left(t_{0}\right)$ (назовем ее $Q$ ) лежит в области, ограниченной поверхностями
\[
\begin{aligned}
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) & =S(\varepsilon) & & (\text { при } V<S(\varepsilon)), \\
V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right) & =l(\varepsilon) & & (\text { при } V>l(\varepsilon))
\end{aligned}
\]
(см. рис. 20). Вследствие неравенства $\frac{d V}{d t}<0$ траектория $x_{s}(t)$, $y_{i}(t)$ при $t \geqslant t_{0}$ может покинуть эту область лишь через поверхность $V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)=l(\varepsilon)$. Следовательно, либо траектория $x_{s}(t)$, $y_{i}(t)$ все время остается в указанной области и тогда по построению ее все время $\left|x_{s}(t)\right|<\varepsilon,\left|y_{i}(t)\right|<\varepsilon$ (и, более того, $x_{s}(t) \rightarrow 0$, $\left.y_{i}(t) \cdot \rightarrow 0\right)$, либо, начиная с какого-то момента, траектория $x_{s}(t)$, $y_{i}(t)$ попадает в область $V\left(t, \xi_{;}, \ldots, \xi_{n}\right) \leqslant l(\varepsilon)$ и при этом обязательно при $\left|y_{i}\right|<\delta_{1}(\varepsilon)$. Но в таком случае уже по доказанному выше траектория $x_{s}(t), y_{i}(t)$ в дальнеишем все время остается в области $y \leqslant h(\varepsilon), V\left(t, \xi_{1}, \ldots \xi_{n}\right) \leqslant l(\varepsilon)$, причем также выполняются неравенства $\left|x_{s}(t)\right|<\varepsilon,\left|y_{l}(t)\right|<\varepsilon$. Тем самым устанавливается устойчивость решения $x_{s}=0, y_{i}=0$ и завершается доказательство первого пункта теоремы.
$4^{\circ}$. Допустим теперь, что для «укороченной» системы получается асимптотическая устойчивость. Покажем, что невозмущенное движение для полной системы будет также асимптотически устойчиво.

Рассмотрим с этой целью произвольное решение $\xi_{s}(t), y_{i}(t)$ уравнений (91.10) и (91.12) с начальными значениями, удовлетворяющими неравенствам
\[
\left|\xi_{s}^{0}\right| \leqslant \eta, \quad\left|y_{i}^{0}\right| \leqslant \eta,
\]

где число $\eta$ достаточно мало. На основании доказанного тривиальное решение $\xi_{1}=\ldots=\xi_{n}=y_{1}=\ldots=y_{k}=0$ устоичиво, и поэтому функции $\xi_{s}(t)$ будут во всяком случае удовлетворять неравенствам (91.19) при всех $t \geqslant 0$. Но тогда согласно условию все решения уравнений (91.20), которые получим, если в уравнениях (91.10) заменим все величины $\xi_{s}$ функциями $\xi_{s}(t)$, будут удовлетворять условиям
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} y_{i}=0,
\]

если только начальные значения этих решений численно достаточно малы. Но одним из этих решений будут, очевидно, функции $y_{i}(t)$. Следовательно, если число $\eta$ выбрано достаточно малым, то все функции $y_{t}(t)$ при неограниченном возрастании $t$ будут стремиться к нулю. Покажем, что то же самое будет и для функции $\xi_{s}(t)$.

Рассмотрим произвольное сколь угодно малое положительное число $l$ и покажем, что всегда найдется такой момент времени, начиная с которого будет все время выполняться неравенство
\[
\begin{array}{l}
V\left[t, \xi_{1}(t), \ldots, \xi_{n}(t)\right]<l, \\
\lim _{t \rightarrow \infty} V\left[t, \xi_{1}(t), \ldots, \xi_{n}(t)\right]=0 .
\end{array}
\]
т. е. что

С этой целью заменим в уравнениях (91.12) величины $y_{i}$ функциями $y_{i}(t)$ и найдем выражение полной производной по времени от формы $V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)$ в силу полученных таким образом уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \xi_{s}}{d t}=p_{s 1} \xi_{1}+\ldots+p_{s n} \xi_{n}-N \xi_{s} \frac{\sum_{i=1}^{k} y_{i}(t)\left[q_{i 1} y_{1}(t)+\ldots+q_{i k} y_{k}(t)\right]}{r^{2}(t)}+ \\
+\Xi_{s}\left[t, y_{1}(t), \ldots, y_{k}(t), \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right], \quad \text { (91.33) }
\end{array}
\]

одним из решений которых будут функции $\xi_{s}(t)$. Будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d V}{d t}=\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial \xi_{s}}\left(p_{s 1} \xi_{1}+\ldots+p_{s n} \xi_{n}-\right. \\
\left.-N \xi_{s} \frac{\sum_{i=1}^{k} y_{l}(t)\left[q_{i 1} y_{1}(t)+\ldots+q_{i k} y_{k}(t)\right]}{r^{2}(t)}\right)+ \\
+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial \xi_{s}} \Xi_{s}\left[t, y_{1}(t), \ldots, y_{k}(t), \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right] .
\end{array}
\]

Рассмотрим совокупность значєний переменных $\xi_{s}$, удовлетворяющих неравенствам
\[
V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right) \geqslant l,\left|\xi_{s}\right| \leqslant H .
\]

Для этоћ совокупности будет выполняться условие
\[
\lambda^{2} \leqslant \sum_{s=1}^{n} \xi_{s}^{2},
\]

где $\lambda^{2}$ – некоторое положительное число. Поэтому на основании (91.8) находим, что при условии (91.34) будет выполняться также условие
\[
\frac{d V}{d t} \leqslant-\alpha^{2} \lambda^{2}+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial \xi_{s}} \Xi_{s}\left[t, y_{1}(t), \ldots, y_{k}(t), \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right] .
\]

С другой стороны, функции $y_{s}(t)$ стремятся к нулю при $t \rightarrow \infty$. Поэтому на основании (91.13) всегда найдется такой момент времени $t=T$, что будет выполняться условие
$\frac{d V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)}{d t}<-\frac{a^{2} \lambda^{2}}{2}$ при $V\left(t, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)>l,\left|\xi_{s}\right| \leqslant H, t \geqslant T$,

для всех решений уравнений (91.33) и, в частности, для $\xi_{s}=\xi_{s}(t)$. Отсюда следует, что если для какого-нибудь решения уравнений (91.33) будет выполняться неравенство (91.31) в какой-нибудь момент времени $t=T^{\prime}>T$, то это неравенство будет для него выполняться при всех $t>T^{\prime}$. Допустим, что такого момента времени для решения $\xi_{s}(t)$ не существует, т. е. что при всех $t>T$ будет
\[
V\left[t, \xi_{1}(t), \ldots, \xi_{n}(t)\right] \geqslant l .
\]

Так как при этом $\left|\xi_{s}(t)\right| \leqslant H$, то из
\[
V\left[t, \xi_{1}(t), \ldots, \xi_{n}(t)\right]=V\left[T, \xi_{1}(T), \ldots, \xi_{n}(T)\right]+\int_{T}^{t+T} \frac{d V}{d t} d t
\]

будем на основании (91.35) иметь:
\[
V\left[t, \xi_{1}(t), \ldots, \xi_{n}(t)\right]<V\left[T, \xi_{1}(T), \ldots, \xi_{n}(T)\right]-\frac{\alpha^{2} \lambda^{2}}{2}(t-T) .
\]

Однако последнее неравенство не может выполняться при всех $t>T$, так как форма $V$ положительна. Таким образом, приходим к заключению, что всегда наступит такой момент времени, начиная с которого будет выполняться неравенство (91.31). Это, однако. эквивалентно (91.32), откуда в силу (91.4) находим:
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \xi_{s}=0 \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]

Следовательно, невозмущенное движение для полной системы асимптотически устоичиво относительно псременных $\xi_{s}$ и $y_{i}$.

Телерь, как и выше, для завершения доказательства достаточно показать, что невозмущенное движение $x_{s}=0, y_{i}=0$ асимптотически устойчиво не только относительно возмущений $x_{s}\left(t_{0}\right), y_{i}\left(t_{0}\right)$, стесненных условиями $\left|\xi_{s}\left(t_{0}\right)\right|<\eta$, но и относительно любых достаточно малых начальных возмущениИ $x_{s}\left(t_{0}\right), y_{i}\left(t_{0}\right)$. Это доказательство, однако, в точности повторяег те рассуждения, которые были приведены выше при доказательстве первого пункта теоремы. Поэтому здесь на этом рассуждении останавливаться не будем.
$5^{\circ}$. Допустим, наконец, что для «укороченной» системы имеет место неустойчивость, и покажем, что то же самое будет справедливо и для пояной системы.

Рассмотрим снова систему (91.20), которая получается из системы (91.10) заменой величин $\xi_{s}$ произвольными функциями времени, удовлетворяющими при всех $t \geqslant 0$ неравенствам (91.19). По условию найдется число $\varepsilon>0$ такое, что как бы мало ни было число $\eta$, существует система величин $\beta_{1}(\eta), \ldots, \beta_{k}(\eta)$, для которых $\left|\beta_{i}\right| \leqslant \eta$, и при этом для решения уравненип (91.20) с начальными условиями $y_{i}^{0}=\beta_{i}$ будет в некоторый момент времени $t=T$ выполняться условие
\[
y(T)=\max \left\{\left|y_{1}(T)\right|, \ldots,\left|y_{k}(T)\right|\right\}=h(\varepsilon),
\]

где $h(\varepsilon)$ – величина, фигурирующая в (91.18).
При этом величины $\beta_{i}$ зависят тольто от $\eta$ и не зависят от выбора функции $\xi_{s}$, лишь бы они удовлетворяли неравенствам (91.19).

Рассмотрим теперь полную систему уравненић (91.1) и допустим, что вопреки утверждению невозмущенное движение устойчиво. Тогда существует такое число $\eta$, что цля всех решений этих уравнений, для которых начальные значения удовлетворяют неравенствам
\[
\left|y_{i}^{0}\right| \leqslant \eta, \quad\left|x_{s}^{0}\right| \leqslant \eta,
\]

будут при всех $t>0$ выполняться неравенства
\[
\left|y_{i}\right|<h(\varepsilon)<\varepsilon, \quad\left|x_{s}\right|<h(\varepsilon)<\varepsilon .
\]

Из всех этих решений выделим какое-нибудь одно $y_{i}(t), x_{s}(t)$, для которого $y_{i}^{0}=\beta_{i}, x_{s}^{0}=\alpha_{s}$, где $\alpha_{s}$ – некоторые постоянные, выбранные настолько малыми, чтобы для переменных $\xi_{s}$, определяемых преобразованием (91.9), в начальный момент времени выполнялось неравенство
\[
V\left(0, \xi_{1}^{0}, \ldots, \xi_{n}^{0}\right)<l(\varepsilon) .
\]

Тогда из (91.18) вытекает, что при всех $t>0$ переменные $\xi_{s}$ для рассматриваемого решения будут удовлетворять неравенству
\[
V\left[t, \xi_{1}(t), \ldots, \xi_{n}(t)\right]<l,
\]

из которого на основании (91.14) вытекает, что $\left|\xi_{s}(t)\right|<\varepsilon$ и, следовательно, при $t \geqslant 0$ будут во всяком случае выполняться условия (91.19)

Будем теперь считать, что уравнения (91.20) получились из (91.10) заменой величин $\xi_{s}$ функциями $\xi_{s}(t)$, соответствующими рассматриваемому решению. Тогда решение этих уравнений с начальными условиями $y_{i}^{0}=\beta_{i}$ даст как раз функции $y_{i}(t)$, во всяком случае до тех пор, пока $\left|y_{i}(t)\right| \leqslant h(\varepsilon)$. Но для этого решения выполнено условие (91.36), так как функции $\xi_{s}(t)$ удовлетворяют, по доказанному, (91.19). Это, однако, противоречит (91.38). Полученное противоречие и доказывает неустойчивость невозмущенного движения.
Таким образом, теорема полностью доказана.