Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения ( $n+k$ )-го порядка следующего вида:
$$\begin{array}{r}\frac{d{y}_i}{dt}=q_{i1}{y}_1+\dots +q_{ik}{y}_k+r_{i1}{x}_1+\dots +r_{in}{x}_n+\\ +Y_i(t,y_1,\dots ,y_k,x_1,\dots ,x_n),\\ \frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n+X_s(t,y_1,\dots ,y_k,x_1,\dots ,x_n)\\ (i=1,2,\dots ,k;s=1,2,\dots ,n).\end{array}\}$$

Здесь $Y_i$ и $X_s$ — ряды по степеням переменных $y_1,\dots ,y_k$, $x_1,\dots ,x_n$, сходящиеся в области
$$t⩾0,\left|x_s\right|⩽H,\left|y_i\right|⩽H$$

и начинающиеся членами не ниже второго порядка. Коэффициенты этих рядов, а также коэффициенты $q_{ij},r_{ij}$ и $p_{sj}$ суть ограниченные и непрерывные функции времени. Коэффициенты $p_{sj}$ таковы, что для системы линейных уравнений (90.2) выполняются критерии устойчивости по первому приближению, установленные в § 88. Мы можем, следовательно, предположить, что существует определенно-положительная квадратичная форма $V(t,x_1,\dots ,x_n)$ переменных $x_1,\dots ,x_n$, коэффициенты которой являются ограниченными функциями времени, для которой
$$\frac{\partial V}{\partial t}+\sum _{s=1}^n(p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n)\frac{\partial V}{\partial x_s}=-\sum _{s=1}^n{x}_s^2.$$

Для самой же формы $V$ в силу ее знакоопределенности мы можем писать
$$V(t,x_1,\dots ,x_n)⩾a^2\sum _{s=1}^n{x}_s^2,$$

где $a$-вещественная постоянная.
Рассмотрим далее «укороченную» систему
$$\begin{array}{c}\frac{d{y}_i}{dt}=q_{i1}{y}_1+\dots +q_{ik}{y}_k+Y_i(t,y_1,\dots ,y_k,0,\dots ,0)=\\ =Y_i^0(t,y_1,\dots ,y_k)\\ (i=1,2,\dots ,k)\end{array}$$

и докажем следующую теорему.
Теорема. Допустим, что невозмущенное движение $y_1=\dots =$ $=y_k=0$ для «укороченной» системи устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво вне зависимости от членов порядка выше, чем N. Тогда, если разложения бункций $X_s(t,y_1,\dots ,y_k,0,\dots ,0)$ начинаются членами по рядка не ниже $N+1$, то и невозмущенное движение $y_1=\dots =y_k=x_1=\dots =$ $=x_n=0$ для полной системы (91.1) соответственно устойчиво, асимптотически устойчаво или неустойчиво ${}^1$ ).

Доказательство. $1^{\circ }$. Для упрощения доказательства ${}^2$ ) мы сделаем относительно уравнений (91.1) некоторые дополнительные ограничения. Мы предположим, прежде всего, что все коэффициенты $r_{ij}$
1) См. примечание в конце книги (стр. 529).
2) Это упрощение сделано В. Н. Постниковым (Постииков В. Н., К теории устойчивости движения в критических случаях. Диссертация, 1942). Он же исправил и неточность в формулировке теоремы, данной в работе автора (см. сноску ${}^2$ ) на стр. 381), где вместо условия, что разложения функций $X_s(t,y_1,\dots ,y_k,0,\dots ,0)$ начннаются членами не ниже $(N+1)$-го порядка, указывалось, что это разложение должно начинаться членами не ниже $N$-го порядка.

равны нулю. Это ограничение не существенно, и его легко добиться простым преобразованием переменных. Второе ограничение заключается в следующем.
Так как коэффициенты $q_{ij}$ ограничены, то мы можем писать:
$$\left|\sum _{i=1}^k{y}_i(q_{i1}{y}_1+\dots +q_{ik}{y}_k)\right|⩽b^2(y_1^2+\dots +y_k^2),$$

где $b$ — некоторая вещественная постоянная. Мы будем предполагать, что эта постоянная настолько мала, что квадратичная форма
$$-\sum _{s=1}^n{x}_s^2+2N{b}^{2}V$$

определенно-отрицательна. Как мы увидим ниже, во всех тех случаях, для которых мы будем применять теорему, это ограничение будет выполняться.
При этом ограничении, мы можем писать неравенство
$$\begin{array}{c}\frac{\partial V}{\partial t}+\sum _{s=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_s}(p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n-N{x}_s\frac{\sum _{i=1}^k{y}_i(q_{i1}{y}_1+\dots +q_{ik}{y}_k)}{y_1^2+\dots +y_k^2})⩽\\ ⩽-{\alpha }^2\sum _{s=1}^n{x}_s^2,\end{array}$$

где $\alpha$-вещественная постоянная, справедливое при любых значениях $t⩾0,y_i$ и $x_s$. Действительно, в силу (91.3) и (91.6) левая часть этого неравенства не превосходит формы (91.7), которая, по условию, определенно-отрицательна.
Сделаем теперь преобразование переменных ${}^1$ )
$$x_s=r^N{\xi }_s,r=\sqrt{y_1^2+\cdots +y_k^2}.$$

Тогда первая группа уравнений (91.1) примет вид
$$\begin{array}{c}\frac{d{y}_i}{dt}=Y_i^0(t,y_1,\dots ,y_k)+r^N{\mathrm{\Psi }}_i(t,y_1,\dots ,y_k,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\\ (i=1,2,\dots ,k),\end{array}$$

где функции ${\mathrm{\Psi }}_i$ в силу сделанного предположения, что все коэффициенты $r_{ij}$ равны нулю, удовлетзоряют тождествам
$${\mathrm{\Psi }}_l(t,0,\dots ,0,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\equiv 0(i=1,2,\dots ,k).(91.11)$$
1) См. примечание в конце книги (стр. 529).

Для второй группы уравнений (91.1) имеем:
$$\begin{array}{l}\frac{d{\xi }_s}{dt}{r}^N+N{\xi }_s{r}^{N-2}\sum _{i=1}^n{y}_i\frac{d{y}_i}{dt}=\\ =r^N(p_{s1}{\xi }_1+\dots +p_{sn}{\xi }_n)+X_s(t,y_1,\dots ,y_k,{\xi }_1{r}^N,\dots ,{\xi }_n{r}^N)\end{array}$$

или, принимая во внимание, что разложения функций $X_s(t,y_1,\dots$ $y_k,0,\dots ,0$ ) начинаются членами не ниже $(N+1)$-го порядка,
$$\begin{array}{rl}\frac{d{\xi }_s}{dt}=p_{s1}{\xi }_1+\dots +p_{sn}{\xi }_n& -N{\xi }_s\frac{\sum _{i=1}^n{y}_i(q_{i1}{y}_1+\dots +q_{ik}{y}_k}{r^2}+\\ & +{\mathrm{\Xi }}_s(t,y_1,\dots ,y_k,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n),\end{array}$$

где функции ${\mathrm{\Xi }}_s$ также удовлетворяют тождествам
$${\mathrm{\Xi }}_s(t,0,\dots ,0,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\equiv 0(s=1,2,\dots ,n).$$
$2^{\circ }$. Пусть $\epsilon <H$ — производьное положительное число. Обозначим через $\xi$ наибольшую из величин $\left|{\xi }_s\right|$, а через $l(\epsilon )$ — некоторое отличное от нуля положительное число, меньшее точного нижнего предела формы $V$ при условии $H>\xi ⩾\epsilon$. В силу (91.4) такое число $l(\epsilon )$ существует. Итак,
$$V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)>l(\epsilon )>0\text{ при }H>\xi ⩾\epsilon .$$

Рассмотрим теперь множество всевозможных значений переменных ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$, связанных соотношением
$$V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=l(\epsilon ).$$

Для этого множества выполняется, очевидно, неравенство $\left|{\xi }_s\right|<\epsilon$. Кроме того, так как коэффициенты формы $V$ ограничены, то будет также выполняться условие
$$\sum _{s=1}^n{\xi }_s^2⩾{\lambda }^2(\epsilon )\text{ при }V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=l(\epsilon ),$$

где ${\lambda }^2(\epsilon )$ — достаточно положительное число.
Установив это, вычислим проиэводную от функции $V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ по времени в силу уравнений (91.12) при условии (91.15). Будем иметь:
$$\begin{array}{l}{\left(\frac{dV}{dt}\right)}_{V=l}=\{\frac{\partial V}{\partial t}+\\ +\sum _{s=1}^n\frac{\partial V}{\partial {\xi }_s}(p_{s1}{\xi }_1+\dots +p_{sn}{\xi }_n-N{\xi }_s\frac{\sum _{l=1}^k{y}_i(q_{i1}{y}_1+\dots +q_{ik}{y}_k)}{r^2}+\\ {+{\mathrm{\Xi }}_s)\}}_{V=i}\text{. }\end{array}$$

Но на основании (91.8) и (91.16)
$${\left(\frac{dV}{dt}\right)}_{V=l}⩽-{\alpha }^2{\lambda }^2+{\left\{\sum _{s=1}^n\frac{\partial V}{\partial {\xi }_s}{\mathrm{\Xi }}_s(t,y_1,\dots ,y_k,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\right\}}_{V=l}.$$

Поэтому, принимая во внимание тождества (91.13), мы видим, что всегда нандется такое положительное число $h(\epsilon )$ (зависящее только от $\epsilon$ ), что при всех значениях величин $\left|y_i\right|$, удовлетворяющих неравенствам $\left|y_i\right|⩽h(\epsilon )$, выражение (91.17) будет отрицательным. Мы будем предполагать, что во всяком случае $h(\epsilon )<\epsilon$. Таким образом,
$${\left(\frac{dV}{dt}\right)}_{V=t}<0\text{ при }\left|y_i\right|⩽h(\epsilon )<\epsilon .$$

Построенные в этом пункте области и поверхности, их ограничивающие:
$$\begin{array}{c}\xi =H,\xi =\epsilon ,\sum _{s=1}^n{\xi }_s^2={\lambda }^2(\epsilon ),y=h(\epsilon ),V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=l(\epsilon ),\\ \xi =max(\left|{\xi }_1\right|,\dots ,\left|{\xi }_n\right|,y=max(\left|y_1\right|,\dots ,\left|y_k\right|),\end{array}$$

для наглядности дальнеиших рассуждений полезно изобразить схематически так, как это сделано на рис. 20. Здесь вертикальная ось изображает $k$-мерное многообразие точек, где $x_1=\dots =x_n=0$, $y_i$-любые, а горизонтальная ось- $n$-мерное многообразие, где $y_1=\dots =y_k=0,x_s$ — любые.

Подчеркнем следующее важное обстоятельство. Поверхность $V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=l(\epsilon )$ охватывает многообразие $x_1=\dots =x_n=0$, которое, таким образом, оказывается внутри полости, ограниченной этой поверхностью. Поверхности $V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=l(\epsilon ),y=h(\epsilon )$ в совокупности ограничивают некоторые замкнутые полости. Вследствие неравенства (91.18) интегральные кривые $x_s(t),y_i(t)$ системы (91.1) пересекают при этом поверхность $V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=l(\epsilon )$ внутрь, т. е. в сторону убывания функции $V$. При этом число $h(\epsilon )$ будем считать столь малым, что область $y⩽h(\epsilon ),V(t,{\xi }_1\dots ,{\xi }_n)⩽l(\epsilon )$ лежит в области $\left|x_s\right|<\epsilon$.
$3^{\circ }$. Допустим сначала, что для «укороченнои» системы невозмущенное движение устоћчиво. Покажем, что тогда и для полной системы невозмущенное движение будет также устоичиво. Заменим с этой целью в уравнениях (91.10) величины ${\xi }_s$ произвольными функциями времени, удовлетворяющими при всех $t⩾0$ неравенствам
$$\left|{\xi }_s\right|⩽H(s=1,2,\dots ,n).$$

Тогда получим систему уравнении
$$\begin{array}{rl}\frac{d{y}_i}{dt}=Y_i^{(01)}(t,y_1,\dots ,y_k)& +Y_i^{(02)}+\dots \\ & \dots +Y_i^{(0N)}+{\overline{Y}}_i(t,y_1,\dots ,y_k),\end{array}$$

где $Y_i^{(0t)}$ — формы $l$-го порядка переменных $y_1,\dots ,y_k$, представляющие собой совокупности членов $l$-го порядка в разложениях функций $Y_i^{(0)}(t,y_1,\dots ,y_k)$ и
$${\overline{Y}}_i=Y_i^{(0,N+1)}+Y_i^{(0,N+2)}+\dots +r^N{\mathrm{\Psi }}_i(t,y_1,\dots ,y_k,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\text{. }$$

В силу (91.11), очевидно, имеем:
$$\left|{\overline{Y}}_i(t,y_1,\dots ,y_k)\right|<A{\{\left|y_1\right|+\dots +\left|y_k\right|\}}^{N+1},$$

где $A$ — некоторая постоянная, зависящая, очевидно, только от структуры уравнений (91.10) и не зависящая от того или иного частного
Рис. 20.

выбора функций ${\xi }_s$. Согласно условию об устойчивости для «укороченной» системы вне зависимости от членов порядка выше $N$ существует положительная постоянная ${\delta }_1(h(\epsilon ),A)$, такая, что все решения уравнении (91.20), удовлетворяющие в начальный момент $t=0$ условиям
$$\left|y_i^0\right|⩽{\delta }_1(h(\epsilon ),A)$$

будут при всех $t>0$ удовлетворять условиям
$$|y_i(t)|<h(\epsilon ).$$

При этом постоянная ${\delta }_1$ будет зависеть только от $h(\epsilon )$ и, следовательно, в конечном счете только от $\epsilon$, т. е. ${\delta }_1={\delta }_1(\epsilon )$,

Допуетим теперь, что в уравнениях (91.10) величины ${\xi }_s$ заменены функциями времени, удовлетворяющими неравенствам (91.19) не при всех значениях $t$, а только при значениях $t$, не превосходящих некоторого числа $T$. Тогда все решения уравнений (91.20), удовлетворяющие начальным условиям (91.22), будут удовлетворять неравенствам (91.23), по крайней мере, при всех значениях $t$, лежащих на отрезке $[0,T]$.

В самом деле, пусть ${\xi }_s=f_s(t)$ будут указанные функции. Заменим в уравнениях (91.10) величины ${\xi }_s$ функциями ${\xi }_s={\phi }_s(t)$, определенными следующим образом:
$$\begin{array}{lll}{\phi }_s(t)=f_s(t)& \text{ при }& 0⩽t⩽T,\\ {\phi }_s(t)={\phi }_s(T)=\mathrm{const}& \text{ при }& t>T.\end{array}$$

Тогда уравнения (91.10) примут вид
$$\frac{d{y}_i}{dt}=Y_i^{(01)}+\dots +Y_i^{(0N)}+{\overline{Y}}_i^{\ast }(t,y_1,\dots ,y_k)$$

причем
$${\overline{Y}}_i^{\ast }(t,y_1,\dots ,y_k)={\overline{Y}}_i(t,y_1,\dots ,y_k)\text{ при }0⩽t⩽T.$$

Так как функции ${\phi }_s(t)$ удовлетворяют условиям (91.19) при всех $t⩾0$, то для всех решений уравнений (91.24), для которых справедливо (91.22), будет при всех $t>0$ выполняться (91.23). Но решения уравнений (91.24) на отрезке $[0,T]$ совпадают с решениями уравнений (91.20), и мы, следовательно, приходим к следующему выводу: если в уравнениях (91.10) заменить все величины ${\xi }_s$ произвольными функциями времени, удовлетворяющими на отрезке $[0,T]$ условию (91.19), то все решения полученной таким образом системы уравнений, удовлетворяющие начальным условиям (91.22), будут на отрезке $[0,T]$ удовлетворять неравенствам (91.23). Если условия (91.19) выполняются при всех $t⩾0$, то и неравенства (91.23) будут выполняться при всех $t⩾0$.

Рассмотрим теперь произвольное решение ${\xi }_1(t),\dots ,{\xi }_n(t)$, $y_1(t),\dots ,y_n(t)$ уравнений $(91.10)$ и (91.12), для которого в начальный момент $t=0$ выполняются условия
$${\xi }_s^0|⩽\eta ,|y_i^0\mid ⩽\eta (s=1,2,\dots ,n;i=1,2,\dots ,k).$$

Мы будем при этом предполагать, что
$$\eta <{\delta }_1(\epsilon )$$

и что постоянная $\eta$ настолько мала, что выполняется неравенство
$$V(0,{\xi }_1^0,\dots ,{\xi }_n^0)<l(\epsilon ).$$

Покажем, что все функции ${\xi }_s(t)$ и $y_i(t)$ будут при всех $t>0$ удовлетворять неравенствам
$$\begin{array}{l}|{\xi }_s(t)|<\epsilon ,\\ |y_i(t)|<\epsilon .\end{array}$$

Рассмотрим сначала функции ${\xi }_s$. Для этих функций условия (91.28), выполняясь при $t=0$, будут выполняться при $t$, достаточно малом. Пусть $T$ — первый момент времени, для которого $\xi =max\{\left|{\xi }_1\right|,\dots$ $\dots ,\left|{\xi }_n\right|\}=\epsilon$. Тогда на основании (91.14) будем иметь:
$$V[T,{\xi }_1(T),\dots ,{\xi }_n(T)]>l(\epsilon ).$$

Отсюда на основании (91.27) заключаем, что в интервале $(0,T)$ должен существовать такой момент времени $t=T^{\prime }$, что одновременно будут выполняться условия
$$V=l,{\left[\frac{dV}{dt}\right]}_{V=l}⩾0\text{ при }t=T^{\prime }.$$

Но во всем интервале ( $0,T$ ), несомненно, выполняется условие (91.19). Следовательно, на основании предыдущего во всем этом интервале будут выполняться неравенства (91.23), так как число $\eta$ выбрано согласно (91.26), а функции $y_i(t)$ будут, очевидно, одним из решений уравнений (91.20), которые получатся из (91.10), если в последних величины ${\xi }_s$ заменить рассматриваемыми сећчас функциями ${\xi }_s(t)$. Поэтому на основании (91.18) во всем интервале $(0,T)$ будет выполняться неравенство
$${\left(\frac{dV}{dt}\right)}_{V=l}<0,$$

что противоречит (91.30).
Таким образом, приходим к заключению, что неравенства (91.28) будут выполняться при всех $t>0$. Но тогда при всех $t>0$ будут выполняться и неравенства (91.23), а следовательно, и подавно неравенства $(91.29$ ), так как $h(\epsilon )<\epsilon$. Следовательно, невозмущенное движение устойчиво по отношению к переменным ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n,y_1,\dots ,y_k$.

Таким образом установлен следующий факт. Траектория $x_s(t)$, $y_i(t)$ системы (91.1), начавшаяся в любои точке $N(x_s\left(t_0\right),y_i\left(t_0\right))$ в области $\left|y_i\left(t_0\right)\right|⩽\eta ,\left|{\xi }_s\right|⩽\eta$, не покидает область, ограниченную поверхностями
$$y=h(\epsilon ),V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=l(\epsilon )$$
(см. рис. 20). При этом величины ${\xi }_s(t)$ при всех $t⩾t_0$ не превосходят $H$ и, следовательно, использование в рассуждениях преобразования (91.9) является законным. Итак, пока доказана лишь условная устоичивость решения $x_s=0,y_i=0$ относительно возмущений $x_s\left(t_0\right),y_i\left(t_0\right)$ из области $V(t_0,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)⩽l(\epsilon )$. Поэтому для завершения доказательства первого утверждения теоремы следует еще показать, что из такой условной устойчивости в данном случае вытекает устойчивость движения $x_s=0,y_i=0$ при любых малых возмущениях $x_s\left(t_0\right),y_i\left(t_0\right)$ из полной окрестности ${}^1$ ) точки $x_s=0,y_i=0$. Сделаем это. Вернемся снова к записи уравнений возмущенного движения в форме (91.1). Рассмотрим поверхности
$$V(t,x_1,\dots ,x_n)=S.$$

Это — цилиндрические поверхности в пространстве $\{x_s,y_i\}$, охватывающие многообразие $x_1=\dots =x_n=0$ (см. рис. 20). Рассматриваемые поверхности перемещаются со временем, но для любого $S>0$ можно указать два числа ${\mu }_1(S)$ и ${\mu }_2(S)({\mu }_1<{\mu }_2)$ таких, что при всех $t$ поверхность $V(t,x_1,\dots ,x_n)=S$ лежит между поверхностями $x={\mu }_1(S),x={\mu }_2(S)(x=max(\left|x_1\right|,\dots ,\left|x_n\right|)$, причем $lim{\mu }_2=lim{\mu }_1=0$ при $S\to 0$. Это обстоятельство является следствием того, что квадратичная форма $V$ определенно пөложительна и допускает бесконечно малый высший предел.

Теперь можно выбрать достаточно малое положительное число $S(\epsilon )$, которое удовлетворяет следующим трем условиям:
1) число ${\mu }_2[S(\epsilon )]<\epsilon$;
2) при $S⩽S(\epsilon )$ поверхности $V(t,x_1,\dots ,x_n)=S$ пересекаются с поверхностью $\sum _{s=1}^n{\xi }_s^2={\lambda }^2(\epsilon )$ (а следовательно, и с поверхностью. $V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=l(\epsilon ))$ при
$$\left|y_i\right|<{\delta }_1(\epsilon )$$
3) на поверхностях $V(t,x_1,\dots ,x_n)=S$ при $S⩽S(\epsilon )$ и при условии
$${(y_1^2+\cdots +y_k^2)}^{\frac{1}{2}}⩽\sqrt{\frac{2N}{\frac{x_1^2+\cdots +x_n^2}{{\lambda }^2}}}$$

выполняется неравенство
$$\frac{dV}{dt}<0$$

где $\frac{dV}{dt}$ — производная функции $V$ в силу уравнений (9l.1).
Действительно, первое и второе условия удовлетворяются при малом $S(\epsilon )$ потому, что при $S\to 0$ поверхности $V(t,x_1,\dots ,x_n)=S$ равномерно стягиваются к многообразию $x_1=\dots =x_n=0$. Третьему условию можно удовлетворить по свойствам функций $X_s(t,y_1,\dots$ $\dots ,y_k,x_1,\dots ,x_n$ ) в уравнениях (91.1). В самом деле, разложе-
1) На это существенное обстоятельство обратил внимание Н. П. Еругин. См. его рецензию о книге И. Г. Малқина «Теория устойчивости движения» в Вестниқе ЛГУ № 5,1953 ,

ние функции $X_s(t,y_1,\dots ,y_k,0,\dots ,0)$ начинается членами порядка не ниже $(N+1)$, поэтому при условии ( $\beta$ ) и при достаточно малых $x_s$ имеем
$$\left|X_s\right|⩽\alpha (\left|x_1\right|+\dots +\left|x_n\right|),$$

где постоянная $\alpha >0$ сколь угодно мала, если величины $x_s$ достаточно малы. Из условия ( $\gamma$ ) обычными приемами выводится неравенство $\frac{dV}{dt}<0$, на чем мы останавливаться не будем.

Итак, пусть выбрано число $S(\epsilon )>0$, удовлетворяющее указанным условиям 1), 2) и 3). Выберем число $\eta >0$ так, чтобы помимо условий (91.26) и (91.27) это число еще удовлетворяло следующему требованию: область $\left|x_s\right|⩽\eta$ должна лежать внутри поверхности $V(t,x_1,\dots ,x_n)=S(\epsilon )$, т. е. должно быть $V(t,x_1,\dots ,x_n)<S(\epsilon )$ при $\left|x_s\right|⩽\eta$.

Покажем, что при условиях $\left|x_s\left(t_0\right)\right|⩽\eta ,\left|y_i\left(t_0\right)\right|⩽\eta$ выполняются неравенства $|x_s(t)|<\epsilon ,|y_i(t)|<\epsilon$ для всех $t⩾t_0$. В самом деле, выше уже показано, что указанные неравенства выполняются, если начальное возмущение лежит в области $V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)⩽l(\epsilon )$. Пусть теперь начальное возмущение этому условию не удовлетворяет. По выбору числа $\eta$ и по предыдущим построениям в таком случае заключаем, что точка $x_s\left(t_0\right),y_i\left(t_0\right)$ (назовем ее $Q$ ) лежит в области, ограниченной поверхностями
$$\begin{array}{rlrl}V(t,x_1,\dots ,x_n)& =S(\epsilon )& & (\text{ при }V<S(\epsilon )),\\ V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)& =l(\epsilon )& & (\text{ при }V>l(\epsilon ))\end{array}$$
(см. рис. 20). Вследствие неравенства $\frac{dV}{dt}<0$ траектория $x_s(t)$, $y_i(t)$ при $t⩾t_0$ может покинуть эту область лишь через поверхность $V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=l(\epsilon )$. Следовательно, либо траектория $x_s(t)$, $y_i(t)$ все время остается в указанной области и тогда по построению ее все время $|x_s(t)|<\epsilon ,|y_i(t)|<\epsilon$ (и, более того, $x_s(t)\to 0$, $y_i(t)\cdot \to 0)$, либо, начиная с какого-то момента, траектория $x_s(t)$, $y_i(t)$ попадает в область $V(t,{\xi }_{;},\dots ,{\xi }_n)⩽l(\epsilon )$ и при этом обязательно при $\left|y_i\right|<{\delta }_1(\epsilon )$. Но в таком случае уже по доказанному выше траектория $x_s(t),y_i(t)$ в дальнеишем все время остается в области $y⩽h(\epsilon ),V(t,{\xi }_1,\dots {\xi }_n)⩽l(\epsilon )$, причем также выполняются неравенства $|x_s(t)|<\epsilon ,|y_l(t)|<\epsilon$. Тем самым устанавливается устойчивость решения $x_s=0,y_i=0$ и завершается доказательство первого пункта теоремы.
$4^{\circ }$. Допустим теперь, что для «укороченной» системы получается асимптотическая устойчивость. Покажем, что невозмущенное движение для полной системы будет также асимптотически устойчиво.

Рассмотрим с этой целью произвольное решение ${\xi }_s(t),y_i(t)$ уравнений (91.10) и (91.12) с начальными значениями, удовлетворяющими неравенствам
$$\left|{\xi }_s^0\right|⩽\eta ,\left|y_i^0\right|⩽\eta ,$$

где число $\eta$ достаточно мало. На основании доказанного тривиальное решение ${\xi }_1=\dots ={\xi }_n=y_1=\dots =y_k=0$ устоичиво, и поэтому функции ${\xi }_s(t)$ будут во всяком случае удовлетворять неравенствам (91.19) при всех $t⩾0$. Но тогда согласно условию все решения уравнений (91.20), которые получим, если в уравнениях (91.10) заменим все величины ${\xi }_s$ функциями ${\xi }_s(t)$, будут удовлетворять условиям
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_i=0,$$

если только начальные значения этих решений численно достаточно малы. Но одним из этих решений будут, очевидно, функции $y_i(t)$. Следовательно, если число $\eta$ выбрано достаточно малым, то все функции $y_t(t)$ при неограниченном возрастании $t$ будут стремиться к нулю. Покажем, что то же самое будет и для функции ${\xi }_s(t)$.

Рассмотрим произвольное сколь угодно малое положительное число $l$ и покажем, что всегда найдется такой момент времени, начиная с которого будет все время выполняться неравенство
$$\begin{array}{l}V[t,{\xi }_1(t),\dots ,{\xi }_n(t)]<l,\\ \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}V[t,{\xi }_1(t),\dots ,{\xi }_n(t)]=0.\end{array}$$
т. е. что

С этой целью заменим в уравнениях (91.12) величины $y_i$ функциями $y_i(t)$ и найдем выражение полной производной по времени от формы $V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ в силу полученных таким образом уравнений
$$\begin{array}{l}\frac{d{\xi }_s}{dt}=p_{s1}{\xi }_1+\dots +p_{sn}{\xi }_n-N{\xi }_s\frac{\sum _{i=1}^k{y}_i(t)[q_{i1}{y}_1(t)+\dots +q_{ik}{y}_k(t)]}{r^2(t)}+\\ +{\mathrm{\Xi }}_s[t,y_1(t),\dots ,y_k(t),{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n],\text{ (91.33) }\end{array}$$

одним из решений которых будут функции ${\xi }_s(t)$. Будем иметь:
$$\begin{array}{l}\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial t}+\sum _{s=1}^n\frac{\partial V}{\partial {\xi }_s}(p_{s1}{\xi }_1+\dots +p_{sn}{\xi }_n-\\ -N{\xi }_s\frac{\sum _{i=1}^k{y}_l(t)[q_{i1}{y}_1(t)+\dots +q_{ik}{y}_k(t)]}{r^2(t)})+\\ +\sum _{s=1}^n\frac{\partial V}{\partial {\xi }_s}{\mathrm{\Xi }}_s[t,y_1(t),\dots ,y_k(t),{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n].\end{array}$$

Рассмотрим совокупность значєний переменных ${\xi }_s$, удовлетворяющих неравенствам
$$V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)⩾l,\left|{\xi }_s\right|⩽H.$$

Для этоћ совокупности будет выполняться условие
$${\lambda }^2⩽\sum _{s=1}^n{\xi }_s^2,$$

где ${\lambda }^2$ — некоторое положительное число. Поэтому на основании (91.8) находим, что при условии (91.34) будет выполняться также условие
$$\frac{dV}{dt}⩽-{\alpha }^2{\lambda }^2+\sum _{s=1}^n\frac{\partial V}{\partial {\xi }_s}{\mathrm{\Xi }}_s[t,y_1(t),\dots ,y_k(t),{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n].$$

С другой стороны, функции $y_s(t)$ стремятся к нулю при $t\to \mathrm{\infty }$. Поэтому на основании (91.13) всегда найдется такой момент времени $t=T$, что будет выполняться условие
$\frac{dV(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)}{dt}<-\frac{a^2{\lambda }^2}{2}$ при $V(t,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)>l,\left|{\xi }_s\right|⩽H,t⩾T$,

для всех решений уравнений (91.33) и, в частности, для ${\xi }_s={\xi }_s(t)$. Отсюда следует, что если для какого-нибудь решения уравнений (91.33) будет выполняться неравенство (91.31) в какой-нибудь момент времени $t=T^{\prime }>T$, то это неравенство будет для него выполняться при всех $t>T^{\prime }$. Допустим, что такого момента времени для решения ${\xi }_s(t)$ не существует, т. е. что при всех $t>T$ будет
$$V[t,{\xi }_1(t),\dots ,{\xi }_n(t)]⩾l.$$

Так как при этом $|{\xi }_s(t)|⩽H$, то из
$$V[t,{\xi }_1(t),\dots ,{\xi }_n(t)]=V[T,{\xi }_1(T),\dots ,{\xi }_n(T)]+{\int }_T^{t+T}\frac{dV}{dt}dt$$

будем на основании (91.35) иметь:
$$V[t,{\xi }_1(t),\dots ,{\xi }_n(t)]<V[T,{\xi }_1(T),\dots ,{\xi }_n(T)]-\frac{{\alpha }^2{\lambda }^2}{2}(t-T).$$

Однако последнее неравенство не может выполняться при всех $t>T$, так как форма $V$ положительна. Таким образом, приходим к заключению, что всегда наступит такой момент времени, начиная с которого будет выполняться неравенство (91.31). Это, однако. эквивалентно (91.32), откуда в силу (91.4) находим:
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{\xi }_s=0(s=1,2,\dots ,n).$$

Следовательно, невозмущенное движение для полной системы асимптотически устоичиво относительно псременных ${\xi }_s$ и $y_i$.

Телерь, как и выше, для завершения доказательства достаточно показать, что невозмущенное движение $x_s=0,y_i=0$ асимптотически устойчиво не только относительно возмущений $x_s\left(t_0\right),y_i\left(t_0\right)$, стесненных условиями $\left|{\xi }_s\left(t_0\right)\right|<\eta$, но и относительно любых достаточно малых начальных возмущениИ $x_s\left(t_0\right),y_i\left(t_0\right)$. Это доказательство, однако, в точности повторяег те рассуждения, которые были приведены выше при доказательстве первого пункта теоремы. Поэтому здесь на этом рассуждении останавливаться не будем.
$5^{\circ }$. Допустим, наконец, что для «укороченной» системы имеет место неустойчивость, и покажем, что то же самое будет справедливо и для пояной системы.

Рассмотрим снова систему (91.20), которая получается из системы (91.10) заменой величин ${\xi }_s$ произвольными функциями времени, удовлетворяющими при всех $t⩾0$ неравенствам (91.19). По условию найдется число $\epsilon >0$ такое, что как бы мало ни было число $\eta$, существует система величин ${\beta }_1(\eta ),\dots ,{\beta }_k(\eta )$, для которых $\left|{\beta }_i\right|⩽\eta$, и при этом для решения уравненип (91.20) с начальными условиями $y_i^0={\beta }_i$ будет в некоторый момент времени $t=T$ выполняться условие
$$y(T)=max\{|y_1(T)|,\dots ,|y_k(T)|\}=h(\epsilon ),$$

где $h(\epsilon )$ — величина, фигурирующая в (91.18).
При этом величины ${\beta }_i$ зависят тольто от $\eta$ и не зависят от выбора функции ${\xi }_s$, лишь бы они удовлетворяли неравенствам (91.19).

Рассмотрим теперь полную систему уравненић (91.1) и допустим, что вопреки утверждению невозмущенное движение устойчиво. Тогда существует такое число $\eta$, что цля всех решений этих уравнений, для которых начальные значения удовлетворяют неравенствам
$$\left|y_i^0\right|⩽\eta ,\left|x_s^0\right|⩽\eta ,$$

будут при всех $t>0$ выполняться неравенства
$$\left|y_i\right|<h(\epsilon )<\epsilon ,\left|x_s\right|<h(\epsilon )<\epsilon .$$

Из всех этих решений выделим какое-нибудь одно $y_i(t),x_s(t)$, для которого $y_i^0={\beta }_i,x_s^0={\alpha }_s$, где ${\alpha }_s$ — некоторые постоянные, выбранные настолько малыми, чтобы для переменных ${\xi }_s$, определяемых преобразованием (91.9), в начальный момент времени выполнялось неравенство
$$V(0,{\xi }_1^0,\dots ,{\xi }_n^0)<l(\epsilon ).$$

Тогда из (91.18) вытекает, что при всех $t>0$ переменные ${\xi }_s$ для рассматриваемого решения будут удовлетворять неравенству
$$V[t,{\xi }_1(t),\dots ,{\xi }_n(t)]<l,$$

из которого на основании (91.14) вытекает, что $|{\xi }_s(t)|<\epsilon$ и, следовательно, при $t⩾0$ будут во всяком случае выполняться условия (91.19)

Будем теперь считать, что уравнения (91.20) получились из (91.10) заменой величин ${\xi }_s$ функциями ${\xi }_s(t)$, соответствующими рассматриваемому решению. Тогда решение этих уравнений с начальными условиями $y_i^0={\beta }_i$ даст как раз функции $y_i(t)$, во всяком случае до тех пор, пока $|y_i(t)|⩽h(\epsilon )$. Но для этого решения выполнено условие (91.36), так как функции ${\xi }_s(t)$ удовлетворяют, по доказанному, (91.19). Это, однако, противоречит (91.38). Полученное противоречие и доказывает неустойчивость невозмущенного движения.
Таким образом, теорема полностью доказана.