В заключение этой главы рассмотрим вопрос о так называемых «опасных» и «безопасных» границах области устойчивости. Этот вопрос непосредственно связан с тем понятием «практической устой чивости, о котором мы говорили в § 4.
Пусть
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=q_{s 1} x_{1}+\ldots+q_{s n} x_{n}+X_{s}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)(s=1,2, \ldots, n)
\]
– дифференциальные уравнения возмущенного движения, где, как и обычно, разложения функций $X_{s}$ начинаются членами не ниже второго порядка. Рассмотрим неравенства
\[
\operatorname{Re}\left(\rho_{s}\right)<0 \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

где $\rho_{1}, \ldots, \rho_{n}$ – корни характеристического уравнения системы первого приближения. Эти корни являются функциями некоторых параметров, характеризующих рассматриваемую динамическую систему. Если рассматривать пространство этих параметров, то неравенства (44.2) определяют в этом пространстве некоторую область. Это будет область устойчивости системы по отношению к исследуемому невозмущенному движению, так как при выполнении (44.2) невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво. Напротив, совокупность всех точек пространства параметров, в которых хотя бы один ‘из корней $\rho_{s}$ имеет положительную вещественную часть, определяет область неустойчивости.

Границей, отделяющей область устойчивости от области неустоичивости, является совокупность зсех тех точек пространства параметров, в которых хотя бы одно из неравенств (44.2) переходит
1) Малкин И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, 1956.

в равенство, т. е. на границе хотя бы некоторые корни $\rho_{s}$ являются критическими. При значениях параметров, соответствующих точкам границы, невозмущенное движение может быть как устойчивым, так и неустойчивым в зависимости от вида функций $X_{s}$.

Допустим, что параметры системы лежат в области устойчивости, так что вещественные части всех корней $\rho_{s}$ отрицательны. Невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво. При этом, если все функции $X_{s}$ обращаются в нуль, то устойчивость будет иметь место; каковы бы ни были начальные возмущения. Но если хотя бы некоторые из функций $X_{s}$ отличны от нуля, то устойчивость будет иметь место, вообще говоря, при начальных возмущениях, не превышающих некоторых пределов. В § 26 мы указали некоторые приемы, позволяющие оценить эти весьма важные для практики величины. Из рассуждений этого параграфа легко усмотреть, что если величины вещественных частей хотя бы некоторых из корней численно малы, другими словами, если система находится вблизи границы области устойчивости, то максимальные значения допускаемых начальных возмущений могут оказаться очень малыми. В справедливости этого мы сенчас убедимся и из других соображений. Если такое обстоятельство действительно имеет место, то рассматриваемую систему с точки зрения практической придется рассматривать как неустойчивую.

Аналогичные обстоятельства могут иметь место и в случае, когда система находится в области неустойчивости, но очень близко от границы. В этом случае, несмотря на то, что невозмущенное движение неустойчво по Ляпунову, его иногда с точки зрения практической можно будет считать устойчивым, вследствие того что максимальные отклонения системы от невозмущенного движения могут оказаться очень малыми.

С такого рода практической устойчивостью, несмотря на неустой чивость по Ляпунсву, мы встретились в § 4 на примере уравнения
\[
\frac{d x}{d t}=\alpha^{2} x-x^{3} \text {. }
\]

Корень характеристического уравнения первого приближения равен здесь $\alpha^{2}$ и, следовательно, положителен. Невозмущенное движение неустойчиво по Ляпунову. Однако, каково бы ни было начальное значение величины $x$, эта величина, как было показано в $\S 4$, с неограниченным возрастанием $t$ стремится либо к $+\alpha$, либо к $-\alpha$, т. е. практически к положению равновесия $x=0$, если $\alpha$ очень мало.
Напротив, если уравнение движения имеет вид
\[
\frac{d x}{d t}=-\alpha^{2} x+x^{3},
\]

то корень характеристического уравнения будет отрицателен и невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Однако если величина $\alpha$ очень мала, то с точки зрения практической это движение нужно будет считать неустойчивым, так как $\lim x= \pm \infty$, если начальное значение $x$ численно больше $\alpha$. В этом $t \rightarrow \infty$
сразу убеждаемся, если заметим, что при $|x|>\alpha$ справедливо неравенство $x \frac{d x}{d t}>0$.

Таким образом, возникает практически важный вопрос о поведении динамической системы вблизи границ области устойчивости. Этот вопрос исследован Н. Н. Баутиным ${ }^{1}$ ), который рассматривал лишь такие участки границы области устойчивости, на которых либо только один корень, либо только два корня являются критическими, причем во втором случае предполагается, что оба корня отличны от нуля и, следовательно, являются чисто мнимыми. В первом случае, когда имеется один критический корень, он, очевидно, обращается в нуль. Н. Н. Баутин показал, что в этих случаях поведение динамической системы вблизи границы области устойчивости определяется их поведением на самой границе.

В обоих рассматриваемых случаях дифференциальные уравнения возмущенного движения могут быть представлены в виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+\mu\left(r_{s 1} x_{1}+\ldots+r_{s n} x_{n}\right)+X_{s} \\
(s=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Здесь $p_{s \sigma}$ и $r_{s \sigma}$ – некоторые тостоянные, причем $p_{s \sigma}$ такие, что уравнение

имеет либо один нулевой корень, либо пару чисто мнимых корней при остальных корнях с отрицательными вещественными частями. Величина $\mu$ является малым параметром, характеризующим степень близости системы к границе области устойчивости. Этот параметр предполагается настолько малым, что характеристическое уравнение
1) Баутин Н. Н., Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости, Гостехиздат, 1950. К рассматриваемому вопросу примыкает также работа: К уз м ин П. А., Замечание о смене устойчивости установившихся движений, Сборник трудов Казанского авиац. ин-та, № 10, 1939.

имеет столько же корней с отрицательными вещественными частями, как и уравнение (44.4), т. е. либо $n-1$, либо $n-2$. Остальные корни этого уравнения могут иметь как отрицательные, так и положительные вещественные части, т. е. система (44.3) может находиться как в области устойчивости, так и в области неустойчивости.

Допустим сначала, что на границе рассматриваемая система асимптотически устойчива. Другими словами, допустим, что невозмущенное движение для системы
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+X_{s}
\]

асимптотически устойчиво. Тогда, как мы видели, будем ли мы иметь дело с одним нулевым корнем или с парой чисто мнимых корней, для уравнений (44.5) будет существовать функция Ляпунова, удовлетворяющая условиям теоремы Б. Обозначим эту функцию через $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. Предполагая для определенности, что эта функция положительная, будем иметь, что выражение
\[
W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+X_{s}\right) \frac{\partial V}{\partial x_{s}}
\]

представляет собой функцию определенно отрицательную. Воспользуемся геометрической интерпретацией теоремы Б, данной в $\$ 11$. Рассмотрим систему замкнутых поверхностей $V=h$. Поверхности этого семенства, расположенные достаточно близко от начала координат, пересекаются интегральными кривыми уравнений (44.5) снаружи во внутрь. Пусть $V=h_{1}$ и $V=h_{2}$ – две такого рода поверхности. При этом первую из этих поверхностей, которую мы предполагаем расположенной внутри второй (рис. 10), мы можем взять сколь угодно близкой к началу координат. Напротив, вторую повепхность мы можем взять сколь угодно близкой к наибольшей из поверхностей семейства, которая еще пересекается интегральными кривыми уравнений (44.5) во внутрь.

Составим теперь производную от функции $V$ по $t$ в силу уравнений (44.3). Будем иметь:
\[
\frac{d V}{d t}=W+\mu \sum_{s=1}^{n}\left(r_{s 1} x_{1}+\ldots+r_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial V}{\partial x_{s}} .
\]

Так как функция $W$ является определенно-отрицательной, то для всех точек, расположенных между поверхностями $V=h_{1}$ и $V=h_{2}$, выполняется неравенство $W<-l$, где $l$ – отличное от нуля положительное число. Отсюда следует, что во всех этих точках выражение (44.7) будет принимать отрицательные значения, если только число $\mu$ достаточно мало. Следозательно, при достаточно малом $\mu$ все поверхности $V=h$, расположенные между $V=h_{1}$ и $V=h_{2}$, пересекаются интегральными кривыми полной системы (44.3) снаружи во внутрь. И это будет иметь место независимо от того, находится ли система (44.3) в области неустойчивости или в области устойчивости.

Следовательно, если точка $x_{1}, \ldots, x_{n}$, изображающая систему (44.3), попадает в область между поверхностями $V=h_{1}$ и $V=h_{2}$, то она будет приближаться к началу координат, по крайней мере, до области, ограниченной поверхностью $V=h_{1}$. Эта область, однако, может быть сделана сколь угодно малой, если $\mu$ достаточно мало, т. е. если система находится достаточно близко от границы области устойивости. И если даже при этом система находится в области неустойчивости, мы можем все же считать, что невозмущенное движение практически устойчво, так как возмущения, будучи в начальный момент очень малыми, хотя и будут нарастать, все же останутся практически очень малыми (сколь угодно малыми при $\mu$, достаточно малом). Более того, если начальные возмущения не будут очень малыми, то они будут уменьшаться, делаясь в конце концов очень малыми (сколь угодно малыми при $\mu$, достаточно малом). И лишь только когда начальные возмущения достаточно велики и выходят за область, ограниченную поверхностью $V=h_{2}$, они могут в дальнеишем не уменьшаться.

Если система находится в области устойчивости, то можно показать, что функцию $V$ можно выбрать таким образом, чтобы не только выражение (44.6), но и выражение (44.7)
Рис. 10.
было определенно-отрицательным ${ }^{1}$ ). Следовательно, можно положить $h_{1}=0$. Невозмущенное движение будет асимптотически устойчивым, причем для допускаемых возмущений будут существовать определенные конечные границы, не зависящие от $\mu$, т. е. от степени близости системы к границе области устойчивости.

Таким образом, если на границе области устоћчивости система асимптотически устойчива, то вблизи этой границы устойчивость,
1) Построенные нами функции Ляпунова для случая одного нулевого корня и для случая пары чисто мнимых корней останутся функциями Ляпунова для системы, которая получится, если, непрерывно меняя коэффициенты первого приближения, сделать вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательными. Для этого нужно будет только подходящим образом выбрать независимые переменные.

если она имеет место, не может перейти в «практическую» неустойчивость. Напротив, неустойчивость, если она имеет место, может рассматриваться с точки зрения практической как устойчивость.

Вышеприведенные геометрические соображения могут быть доказаны строго аналитически. Мы это сделаем в главе VI, где они получатся как частный случай более сбщей теоремы. Там же будет показано, что все вышеуказанное будет справедливо и в общем случае, когда на границе области устойчивости имеется любое число критических корнен.

Допустим теперь, что на рассматриваемом участке границы области устоичивости невозмущеннсе движение неустойчиво. Тогда как в случае одного нулевого корня, так и в случае пары чисто мнимых корнен для уравнений (44.5) будет существовать функция Ляпунова $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, удовлетворяющая условиям теоремы В. Следовательно, выражение (44.6) будет по-прежнему знакоопределенным. Что же касается самой функции $V$, то она в окрестности начала координат может принимать значения того же знака, что и (44.6).
Примем для определенности, что выражение (44.6) определенно-положительно, и рассмотрим область, в которой $V>0$ (рис. 11). Эта область ограничена поверхностью $V=0$. Построим в этой области семейство поверхностей $V=h$, где $h>0$. Так как производная (44.6) положительна, то эти поверхности пересекаются интегральными кривыми уравнений (44.5) в сторону возрастания $V$.
Выделим из семейства $V=h$ две поверхности $V=h_{1}$ и $V=h_{2}$, где $h_{1}$ можно взять сколь угодно малым, так что поверхность $V=h_{1}$ сколь угодно близка к поверхности $V=0$. Так как функция (44.6)

определенно-положительна, то в области, заключенной между пӧверхностями $V=h_{1}$ и $V=h_{2}$, она имеет отличный от нуля положительный нижний предел ${ }^{1}$ ). Но тогда в этой области производная (44.7) будет также положительнои, если только величина $\mu$ достаточно мала. Следовательно, все поверхности $V=h$, заключенные между поверхностями $V=h_{1}$ и $V=h_{2}$, пересекаются интегральными кри-
1) Мы рассматриваем, разумеется, во всех наших рассуждениях только те точки, которые лежат в некоторой окрестности начала координат, в которой функция $V$ обладает своими свойствами.

выми не только уравнений (44.5), но и уравнений (44.3) в сторону возрастания $V$. Поэтому изображающая точка, попав в область между поверхностями $V=h_{1}$ и $V=h_{2}$, будет все дальше отбрасываться от начала координат, пока она не выидет за пределы поверхности $V=h_{2}$, расположенной на конечном расстоянии от начала координат. Очевидно, мы имеем дело с неустойчивостью, по крайней мере, с точки зрения практической. В самом деле, если даже невозмущенное движение устойчиво, что будет иметь место, если система (44.3) находится в области устойчивости, то область допускаемых начальных возмущений должна быть во всяком случае настолько малой, чтобы поверхность $V=h_{1}$ была расположена вне ее. Что касается последней, то она при $\mu$, достаточно малом, т. е. при достаточной близости системы к границе области устойчивости, будет расположена сколь угодно близко к началу координат.

Итак, когда на границе области устоичивости невозмущенное движение неустоичиво, то если система находится вблизи указанной границы, безразлично, в области неустойчивости или в области устойчивости, всегда найдутся очень малые (сколь угодно малые при достаточной близости к границе) начальные возмущения, которые будут с течением времени нарастать так, что соответствующее возмущенное движение будет значительно отличаться от невозмущенного.

Bce предыдущие рассуждения показывают, что невозмущенное движение системы при близости к границе области устойчивости будет с точки зрения практической устойчивым или неустойчивым, в зависимости от того, будет ли это движение на самой границе устойчивым или неустойчивым в смысле Ляпунова.

В связи с этим те границы области устойчивости, на которых невозмущенное движение устойчиво, называют «безопасными», а те границы, на которых оно неустойчво, – «опасными». Нахождение «опасных» и «безопасных» границ сводится к решению задачи устойчивости в критических случаях.

Пример. Рассмотрим в качестве примера систему дифференциальных уравнений
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}+M \frac{d \varphi}{d t}+k \varphi=-N \eta, \\
\frac{d \eta}{d t}=F(\psi), \\
\psi=\varphi+\beta \frac{d \varphi}{d t}-\frac{1}{a} \eta,
\end{array}
\]

описывающих при некоторых упрощающих предположениях движение самолета с автопилотом. Не останавливаясь на выводе этих уравнений ${ }^{1}$ ), укажем лишь значения входящих в эти уравнения величин.
1) Его можно найти, например, в работе: Б утенин Н. В., Автоколебачия стенда с автопилотом. Труды Ленингр. воен.-возд. акад., т. З3, 1943.

Эти значения суть следующие: $\varphi$ – угол рыскания самолета, $\eta$ – угол поворота руля, $\psi$ – аргумент сервомотора (например, открытие золотника), управляющего рулем, $F(\psi)$ – характеристика сервомотора. Bсе постоянные $M, k, N, \boldsymbol{\beta}, a$ положительны. При этом $M$ характеризует естественное демпфирование самолета, $N$ характеризует рулевое устройство, $k$ характеризует статическую устойчивость самолета, $\boldsymbol{\beta}$ – коэффициент искусственного демпфирования, $\frac{1}{a}$ – коэффициент обратной связи.
Характеристику сервомотора примем в виде
\[
F(\psi)=\alpha \psi+\gamma \psi^{3} .
\]

Тогда, вводя переменные
\[
\eta=x_{1}, \quad \varphi=x_{2}, \quad \frac{d \varphi}{d t}=x_{3},
\]

мы будем иметь следующие уравнения движения:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d x_{1}}{d t} & =F(\psi)=\alpha \psi+\gamma \psi^{3}, \\
\frac{d x_{2}}{d t} & =x_{3}, \\
\frac{d x_{3}}{d t} & =-N x_{1}-k x_{2}-M x_{3}, \\
\psi & =-\frac{1}{a} x_{1}+x_{2}+\beta x_{3} .
\end{array}\right\}
\]

Характеристическое уравнение системы первого приближения имеет вид
\[
\Delta(\rho)=\rho^{3}+p \rho^{2}+q \rho+r=0 .
\]

где
\[
p=\frac{a}{a}+M, \quad q=k+\frac{M a}{a}+N \alpha \beta, \quad r=\frac{\alpha k}{a}+N \alpha .
\]

Для того чтобы это уравнение имело корни с отрицательными вещественными частями, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства (25.2) Гурвица:
\[
p>0, \quad q>0, \quad r>0, \quad R=p q-r>0 .
\]

Эти неравенства определяют область устоичивости. На границе этой области хотя бы одно из неравенств (44.11) обращается в равенство. Из (44.10) видно, что это возможно лишь для последнего из указанных неравенств. Таким образом, граница области устойчивости определяется уравнением
\[
R=p q-r=0 .
\]

При выполнении этого условия уравнение (44.9) имеет, как легко видеть; пару чисто мнимых корней $\pm i \sqrt{q}$. Следовательно, чтобы выделить «опасные» и «безопасные» участки границы, необходимо решить задачу устоичивости для системы (44.8) в критическом случае пары чисто мнимых корней.

Уравнения (44.8) представляют частный случай уравнений (42.11), рассмотренных А. И. Лурье (§ 41). Мы можем поэтому воспользоваться для определения $g$ формулой (42.20). Так как в рассматриваемом случае
\[
c=\alpha, \quad \psi_{3}=\gamma, \quad D(\rho)=\rho^{3}+M \rho^{2}+k \rho, \quad \lambda=\sqrt{q} .
\]

то указанная формула дает:
\[
g=\frac{3 \gamma}{4\left(p^{2}+q\right)}\left\{\frac{M q}{a}-p\left(\frac{M}{a}+N \beta\right)\right\} .
\]

Вводя безразмерные параметры
\[
A=M \beta, \quad B=\frac{M^{2}}{N a}, \quad x=\frac{k}{M^{2}}, \quad \sigma=\frac{N \alpha}{M^{3}},
\]

найдем, что знак $g$ совпадает со знаком величины
\[
L=\gamma\left[\chi-\sigma^{2} B(A+B)\right] .
\]

Если $L<0$, то невозмущенное движение асимптотически устоичиво, а если $L>0$, то оно неустойчиво.
Для величины $R=p q-r$ находим:
\[
R=M^{3}[x-\sigma+\sigma(A+B)(1+\sigma B)] .
\]

Фиксируя параметры $x$ и $\sigma$, рассмотрим плоскость параметров $A$ и $B$. Нам достаточно при этом рассматривать только первую четверть, так как $A$ и $B$ могут принимать только положительные значения. Предположим, что $\sigma–x>0$. При этом условии кривая $R=0$, ограничивающая область устойчивости, имеет вид, изображенный на рис. 12. Кривая $L=0$ пересекает кривую $R=0$ в точке $W$, которая и отделяет «безопасные» участки границы от «опасных». При $\gamma>0$ величина $L$ имеет отрицательные значения справа от кривой $L=0$. Поэтому при $\gamma>0$ участок границы $W U$ является «безопасным», а участок $W V-$ – «опасным». При $\gamma<0$ «опасная» и «безопасная» части границы меняются местами.

При $\sigma-x<0$ кривая $R=0$ не проходит в области положительных $A$ и $B$.