Рассмотрим систему $(n+2)$-го порядка
\[
\begin{array}{c}
\frac{d z_{j}}{d t}=q_{j 1} z_{1}+\ldots+q_{j, n+2} z_{n+2}+Z_{j}\left(z_{1}, \ldots, z_{n+2}\right) \\
(j=1,2, \ldots, n+2),
\end{array}
\]

где $Z_{j}$ – функции переменных $z_{1}, \ldots, z_{n+2}$, аналитические в некоторой окрестности начала координат, разложения которых по степеням этих переменных начинаются членами не ниже второго порядка. Мы будем предполагать, что характеристическое уравнение

системы первого приближения
\[
\frac{d z_{j}}{d t}=q_{j 1} z_{1}+\ldots+q_{j, n+2} z_{n+2}
\]

имеет пару чисто мнимых корней $\pm \lambda i$ и $n$ корней с отрицательными вещественными частями.

Введем в уравнения (35.3) вместо двух каких-нибудь переменных $z_{j}$ две новые переменные $\dot{x}$ и $у$ при помощи подстановки:
\[
\begin{array}{l}
x=a_{1} z_{1}+a_{2} z_{2}+\ldots+a_{n+2} z_{n+2}, \\
y=b_{1} z_{1}+b_{2} z_{2}+\ldots+b_{n+2} z_{n+2},
\end{array}
\]

где $a_{j}$ и $b_{j}$ – некоторые постоянные. Мы постараемся эти постоянные подобрать таким образом, чтобы два уравнения системы (35.3) приняли вид
\[
\frac{d x}{d t}=-\lambda y, \frac{d y}{d t}=\lambda x .
\]

Мы должны, следовательно, иметь:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{j=1}^{n+2} a_{j}\left(q_{j 1} z_{1}+\cdots+q_{j, n+2} z_{n+2}\right)=-\lambda \sum_{j=1}^{n+2} b_{j} z_{j} . \\
\sum_{j=1}^{n+2} b_{j}\left(q_{j 1} z_{1}+\ldots+q_{j, n+2} z_{n+2}\right)=\lambda \sum_{j=1}^{n+2} a_{j} z_{j} .
\end{array}
\]

Приравнивая в обеих частях этих равенств коэффициенты при $z_{k}$, мы получим для определения $a_{j}$ и $b_{j}$ систему $2 n+4$ линейных однородных уравнений:
\[
\left.\begin{array}{c}
q_{1 k} a_{1}+q_{2 k} a_{2}+\ldots+q_{n+2, k} a_{n+2}+\lambda b_{k}=0 \\
q_{1 k} b_{1}+q_{2 k} b_{2}+\ldots+q_{n+2, k} b_{n+2}-\lambda a_{k}=0 \\
(k=1,2, \ldots, n+2) .
\end{array}\right\}
\]

Эту систему легко привести к системе из $n+2$ уравнений, если ввести вместо неизвестных $a_{j}$ и $b_{j}$ комплексные неизвестные $c_{j}=a_{j}+i b_{j}$. Действительно, умножая уравнения второй группы системы (35.4) на $i$ и складывая с соответствующими уравнениями первой группы, получим однородную систему из $n+2$ уравнений
\[
q_{1 k} c_{1}+q_{2 k} c_{2}+\ldots+q_{n+2, k} c_{n+2}-\lambda l c_{k}=0 \quad(k=1,2, \ldots, n+2) .
\]

Определитель этой системы, равный $D(\lambda i)$, обращается в нуль, так как уравнение (35.2) имеет, по условию, корень $\lambda i$. Следовательно, эта система допускает нетривиальное решение для $c_{j}$. Выделяя в нем вещественные и мнимые части, мы получим решение системы (35.4).

Приняв найденные таким образом переменные $x$ и у вместо двух каких-нибудь переменных $z_{j}$ и обэзначив остальные переменные $z_{j}$ через $x_{j}$, мы приведем систему (35.3) к виду
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-\lambda y, \quad \frac{d y}{d t}=\lambda x, \\
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+p_{s} x+q_{s} y \quad(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $p_{s j}, p_{s}, q_{s}$ – некоторые постоянные. Если указанную подстановку сделать в уравнениях (35.1), то они примут вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d x}{d t} & =-\lambda y+X\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d y}{d t} & =\lambda x+Y\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d x_{s}}{d t} & =p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+p_{s} x+q_{s} y+X_{s}\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
& (s=1,2, \ldots, n),
\end{array}\right\}
\]

где $X, Y, X_{s}$ – функции такого же вида, как и $Z_{j}$.
Полученный вид дифференциальных уравнений возмущенного движения будет исходным для дальнейшего исследования.

Так как характеристическое уравнение любой линейной системы не изменяется при линейном преобразовании, то характеристическое уравнение линейной части системы (35.5) должно совпадать с характеристическим уравнением (35.2). Но характеристическое уравнение линейной части системы (35.5) распадается на уравнение $\rho^{2}+\lambda^{2}=0$, дающее корни $\pm \lambda i$, и уравнение

Следовательно, все корни уравнения (35.6) имеют отрицательные вещественные части.