Таким образом, если члены наинизшего порядка в уравнениях возмущенного движения не зависят явно от $t$, то для устойчивости невозмущенного движения достаточно, чтобы для первого приближения имела место асимптотическая устойчивость. Можно показать, что, по крайней мере, при $n=2$ спраєедливо и обратное предложение, а именно, невозмущенное движение для уравнений (85.1) будет только тогда устойчиво при любом выборе функций ${\phi }_s$, имеющих порядок малости выше $m$, когда для уравнений первого приближения имеет место асимптотическая устончивость ${}^2$ ).

Значительно сложнее обстоит дело в случае, когда члены наинизшего порядка в уравнениях возмущенного движения также зависят от $t$. В этом случае условия асимптотической устойчивости для уравнений первого приближения недостаточно для обеспечения устойчивости для полной системы уравнений. С другой стороны, это условие не является необходимым.
Рассмотрим, например, следующую систему уравнении:
$$\frac{d{x}_s}{dt}=p{x}_s+{\phi }_s(t,x_1,\dots ,x_n).$$
1) См примечание в конце книги (стр. 528).
2) Гм более это условие будет необходимым, если функции ${\phi }_s$ удовлетворяю неравенствам (85.3).

К. П. Персидский показал ${}^1$ ), что, для того чтобы для этой системы уравнений имела место устойчивость при любом выборе функций ${\phi }_s$, удовлетворяющих в области (85.2) условию
$$\left|{\phi }_s(t,x_1,\dots ,x_n)\right|<A(x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2),$$

где $A$ — некоторая постоянная, достаточно, чтобы выполнялись условия
$$\exp {\int }_0^{t}pdt<B,{\int }_0^t\exp {\int }_0^{\tau }p(\tau )d\tau <B,$$

где $B$ — также постоянная.
В самом деле, полагая
$$y_s=x_s\exp (-{\int }_0^{t}pdt)\text{, }$$

получим:
$$\frac{d{y}_s}{dt}=\exp (-{\int }_0^{t}pdt){\phi }_s(t,y_i\exp {\int }_0^{t}pdt,\dots ,y_n\exp {\int }_0^{t}pdt),$$

откуда
$$\begin{array}{r}{y}_s=c_s+{\int }_0^t\exp (-{\int }_0^{t}pdt){\phi }_s(t,y_1\exp {\int }_0^{t}pdt,\dots \\ \dots ,y_n\exp {\int }_0^{t}pdt)dt.\end{array}$$

где $c_s$ — начальные значения величин $y_s$, а следовательно, также и величин $x_s$.

Пусть $\epsilon$ — произвольно малое положительное число. Мы будем предполагать, что
$$\epsilon <\frac{1}{2nA}.$$

Выберем $\eta$ согласно условию
$$\eta <\frac{\epsilon }{2B}.$$

Тогда, если $\left|c_s\right|⩽\eta$, то при всех $t>0$ будут выполняться неравенства $\left|y_s\right|<\frac{\epsilon }{B}$. В самом деле, эти неравенства. выполняясь в начальный момент, будут выполняться и при $t$, достаточно малом.
1) Персидский К. П., К теории устойчивости интегралов систем дифференциальных уравнений. Изв. физ.-матем. об-ва при Казанском гос. ун-те, т. VIII, 1936-1937.

Пусть $T$ — первый момент времени, при котором хотя бы одна из величин $\left|y_s\right|$, пусть это будет $\left|y_p\right|$, достигает значения $\frac{\epsilon }{B}$. Тогда из (86.4), (86.2), (86.3), (86.5) и (86.6) получим:
$$\begin{array}{c}|y_k(T)|<\eta +\frac{nA{\epsilon }^2}{B^2}{\int }_0^T\exp \left[{\int }_0^{t}pdt\right]dt<\frac{\epsilon }{2B}+\frac{nA}{B}{\epsilon }^2=\\ =\frac{\epsilon }{B}(\frac{1}{2}+nA\epsilon )<\frac{\epsilon }{B}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=\frac{\epsilon }{B},\end{array}$$

что противоречит условию $|y_k(T)|=\frac{\epsilon }{B}$. Таким образом, при всех $t>0$ будут выполняться неравенства $\left|y_s\right|<\frac{\epsilon }{B}$, а следовательно, и неравенства $\left|x_s\right|<\epsilon$, что доказывает устоичивость невозмущенного движения для уравнений (86.1).
Но условия (86.3) будут выполнены, если положить
$$p(t)=\frac{2t^3\sin t\cos t-3t^2{\cos }^{2}t}{1+t^3{\cos }^{2}t}=-\frac{d}{dt}\ln (1+t^3{\cos }^{2}t).$$

При таком выборе функции $p$ уравнения первого приближения для системы (86.1) имеют общее решение
$$x_s=\frac{c_s}{1+t^3{\cos }^{2}t},$$

из которого следует, что невозмущенное движение для первого приближения устойчиво, но не асимптотически. В то же время невозмущенное движение для полной системы (86.1) будет по доказанному устойчиво при любом выборе функций ${\phi }_s$, удовлетворяющих условиям (86.3). Рассмотрим теперь систему уравнений ${}^1$ )
$$\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{dt}=-a{x}_1,\\ \frac{d{x}_2}{dt}=[\sin \ln (t+1)+\cos \ln (t+1)-2a]x_2+x_1^2,\end{array}$$

где
$$1<2a<1+\frac{1}{2}{e}^{-\pi }.$$

Общее решение уравнений первого приближения имеет вид
$$x_1=c_1{e}^{-at},x_2=c_2\exp [(t+1)\sin \ln (t+1)-2at].$$

Это решение не только асимптотически устойчиво, но обладает положительным характеристичным числом. Тем не менее, невоз-
1) Perron O., Die Stabilitätsfrage bei Differentlalgleichungen. Mathem. Zeitschrift, т. 32, 1930.

мущенное движение для полной системы уравнений (86.7) неустойчиво. Действительно, это общее решение имеет вид
$$\begin{array}{c}{x}_1=c_1{e}^{-at},\\ x_2=\exp [(t+1)\sin \ln (t+1)-2at]\times \\ \times (c_2+c_1^2{\int }_0^t\exp [-(\tau +1)\sin \ln (\tau +1)]d\tau ).\\ \text{ Полагая }t+1=e^{(2n+\frac{1}{2})\pi },\text{ где }n>0\text{ — челое число, будем иметь: }\\ \exp [(t+1)\sin \ln (t+1)-2at]=e\cdot e^{(1-2a)t},(1+t)e^{-л}-1>0\end{array}$$

Полагая $t+1=e^{(2n+\frac{1}{2})\text{ л}}$, где $n>0$ — целое число, будем иметь:

и следующие оценки:
$$\begin{array}{l}(1+t)e^{-\frac{2}{3}\pi }-1\\ {\int }_0^t\exp [-(\tau +1)\sin \ln (\tau +1)]d\tau >{\int }_{(1+t)e^{-\pi }-1}^{(1+t)e^{-\frac{2}{3}\pi }-1}\exp [-(\tau +1)\sin \ln (\tau +1)]d\tau >\\ >{\int }_{(1+t)e^{-{\pi }_{-1}}}^{(1+t)e^{-\frac{2}{3}\pi }-1}{e}^{\frac{1}{2}(\tau +1)}d\tau >{\int }_{(1+t)e^{-\pi -1}}^{(1+t)e^{-\frac{2}{3}\pi }-1}{e}^{\frac{1}{2}(t+1)e^{-\pi }}d\tau =\\ =e^{\frac{1}{2}(t+1)e^{-\pi }}(t+1)(e^{-\frac{2}{3}\pi }-e^{-\pi }).\end{array}$$

Поэтому при указанных значениях $t$ второе слагаемое в выражении для $x_2$ удовлетворяет неравенству
$$\begin{array}{rl}{c}_1^2\exp [(t+1)\sin \ln (t+1)& -2at]{\int }_0^1\exp [-(\tau +1)\sin \ln (\tau +1)]d\tau >\\ & >e^{\frac{1}{2}(2+e^{-\pi })}(e^{-\frac{2}{3}\pi }-e^{-\pi })e^{(1-2a+\frac{1}{2}{e}^{-\pi })t}\end{array}$$

и, следовательно, на основании (86.8) с неограниченным возрастанием $t$ неограниченно возрастает. Первое же слагаемое в выражении $x_2$ с неограниченным возрастанием $t$ стремится к нулю. И это будет справедливо, каковы бы ни были начальные значения $c_{1}eq0$ и $c_2$ величин $x_1$ и $x_2$. Таким образом, при любых начальных значениях, при которых $c_{1}eq0$, функция $x_2$ будет неограниченной и, следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.

Приведенные примеры показывают, что если уравнения первого приближения зависят явно от $t$, то условие асимптотической устойчивости решений этих уравнений не является ни необходимым, ни достаточным для устойчивости невозмущенного движения при любом выборе членов высших. порядков.

Необходимых и достаточных условий устойчивости по первому приближению неустановившихся движений для общего случая не найдено. Установлен, однако, ряд достаточных критериев, которые мы ниже и излагаем. Мы будем при этом заниматься только критериями устоичивости. Критериями неустойчивости по первому приближению занимался Н. Г. Четаев ${}^1$ ).

Мы будем также предполагать, что уравнения первого приближения линейны.