Таким образом, если члены наинизшего порядка в уравнениях возмущенного движения не зависят явно от $t$, то для устойчивости невозмущенного движения достаточно, чтобы для первого приближения имела место асимптотическая устойчивость. Можно показать, что, по крайней мере, при $n=2$ спраєедливо и обратное предложение, а именно, невозмущенное движение для уравнений (85.1) будет только тогда устойчиво при любом выборе функций $\varphi_{s}$, имеющих порядок малости выше $m$, когда для уравнений первого приближения имеет место асимптотическая устончивость ${ }^{2}$ ).

Значительно сложнее обстоит дело в случае, когда члены наинизшего порядка в уравнениях возмущенного движения также зависят от $t$. В этом случае условия асимптотической устойчивости для уравнений первого приближения недостаточно для обеспечения устойчивости для полной системы уравнений. С другой стороны, это условие не является необходимым.
Рассмотрим, например, следующую систему уравнении:
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p x_{s}+\varphi_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .
\]
1) См примечание в конце книги (стр. 528).
2) Гм более это условие будет необходимым, если функции $\varphi_{s}$ удовлетворяю неравенствам (85.3).

К. П. Персидский показал ${ }^{1}$ ), что, для того чтобы для этой системы уравнений имела место устойчивость при любом выборе функций $\varphi_{s}$, удовлетворяющих в области (85.2) условию
\[
\left|\varphi_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right|<A\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right),
\]

где $A$ — некоторая постоянная, достаточно, чтобы выполнялись условия
\[
\exp \int_{0}^{t} p d t<B, \quad \int_{0}^{t} \exp \int_{0}^{\tau} p(\tau) d \tau<B,
\]

где $B$ — также постоянная.
В самом деле, полагая
\[
y_{s}=x_{s} \exp \left(-\int_{0}^{t} p d t\right) \text {, }
\]

получим:
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=\exp \left(-\int_{0}^{t} p d t\right) \varphi_{s}\left(t, y_{i} \exp \int_{0}^{t} p d t, \ldots, y_{n} \exp \int_{0}^{t} p d t\right),
\]

откуда
\[
\begin{array}{r}
y_{s}=c_{s}+\int_{0}^{t} \exp \left(-\int_{0}^{t} p d t\right) \varphi_{s}\left(t, y_{1} \exp \int_{0}^{t} p d t, \ldots\right. \\
\left.\ldots, y_{n} \exp \int_{0}^{t} p d t\right) d t .
\end{array}
\]

где $c_{s}$ — начальные значения величин $y_{s}$, а следовательно, также и величин $x_{s}$.

Пусть $\varepsilon$ — произвольно малое положительное число. Мы будем предполагать, что
\[
\varepsilon<\frac{1}{2 n A} .
\]

Выберем $\eta$ согласно условию
\[
\eta<\frac{\varepsilon}{2 B} .
\]

Тогда, если $\left|c_{s}\right| \leqslant \eta$, то при всех $t>0$ будут выполняться неравенства $\left|y_{s}\right|<\frac{\varepsilon}{B}$. В самом деле, эти неравенства. выполняясь в начальный момент, будут выполняться и при $t$, достаточно малом.
1) Персидский К. П., К теории устойчивости интегралов систем дифференциальных уравнений. Изв. физ.-матем. об-ва при Казанском гос. ун-те, т. VIII, 1936-1937.

Пусть $T$ — первый момент времени, при котором хотя бы одна из величин $\left|y_{s}\right|$, пусть это будет $\left|y_{p}\right|$, достигает значения $\frac{\varepsilon}{B}$. Тогда из (86.4), (86.2), (86.3), (86.5) и (86.6) получим:
\[
\begin{array}{c}
\left|y_{k}(T)\right|<\eta+\frac{n A \varepsilon^{2}}{B^{2}} \int_{0}^{T} \exp \left[\int_{0}^{t} p d t\right] d t<\frac{\varepsilon}{2 B}+\frac{n A}{B} \varepsilon^{2}= \\
=\frac{\varepsilon}{B}\left(\frac{1}{2}+n A \varepsilon\right)<\frac{\varepsilon}{B}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{\varepsilon}{B},
\end{array}
\]

что противоречит условию $\left|y_{k}(T)\right|=\frac{\varepsilon}{B}$. Таким образом, при всех $t>0$ будут выполняться неравенства $\left|y_{s}\right|<\frac{\varepsilon}{B}$, а следовательно, и неравенства $\left|x_{s}\right|<\varepsilon$, что доказывает устоичивость невозмущенного движения для уравнений (86.1).
Но условия (86.3) будут выполнены, если положить
\[
p(t)=\frac{2 t^{3} \sin t \cos t-3 t^{2} \cos ^{2} t}{1+t^{3} \cos ^{2} t}=-\frac{d}{d t} \ln \left(1+t^{3} \cos ^{2} t\right) .
\]

При таком выборе функции $p$ уравнения первого приближения для системы (86.1) имеют общее решение
\[
x_{s}=\frac{c_{s}}{1+t^{3} \cos ^{2} t},
\]

из которого следует, что невозмущенное движение для первого приближения устойчиво, но не асимптотически. В то же время невозмущенное движение для полной системы (86.1) будет по доказанному устойчиво при любом выборе функций $\varphi_{s}$, удовлетворяющих условиям (86.3). Рассмотрим теперь систему уравнений ${ }^{1}$ )
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}}{d t}=-a x_{1}, \\
\frac{d x_{2}}{d t}=[\sin \ln (t+1)+\cos \ln (t+1)-2 a] x_{2}+x_{1}^{2},
\end{array}
\]

где
\[
1<2 a<1+\frac{1}{2} e^{-\pi} .
\]

Общее решение уравнений первого приближения имеет вид
\[
x_{1}=c_{1} e^{-a t}, \quad x_{2}=c_{2} \exp [(t+1) \sin \ln (t+1)-2 a t] .
\]

Это решение не только асимптотически устойчиво, но обладает положительным характеристичным числом. Тем не менее, невоз-
1) Perron O., Die Stabilitätsfrage bei Differentlalgleichungen. Mathem. Zeitschrift, т. 32, 1930.

мущенное движение для полной системы уравнений (86.7) неустойчиво. Действительно, это общее решение имеет вид
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=c_{1} e^{-a t}, \\
x_{2}=\exp [(t+1) \sin \ln (t+1)-2 a t] \times \\
\times\left(c_{2}+c_{1}^{2} \int_{0}^{t} \exp [-(\tau+1) \sin \ln (\tau+1)] d \tau\right) . \\
\text { Полагая } t+1=e^{\left(2 n+\frac{1}{2}\right) \pi}, \text { где } n>0 \text { — челое число, будем иметь: } \\
\exp [(t+1) \sin \ln (t+1)-2 a t]=e \cdot e^{(1-2 a) t},(1+t) e^{-л}-1>0
\end{array}
\]

Полагая $t+1=e^{\left(2 n+\frac{1}{2}\right) \text { л}}$, где $n>0$ — целое число, будем иметь:

и следующие оценки:
\[
\begin{array}{l}
(1+t) e^{-\frac{2}{3} \pi}-1 \\
\int_{0}^{t} \exp [-(\tau+1) \sin \ln (\tau+1)] d \tau>\int_{(1+t) e^{-\pi}-1}^{(1+t) e^{-\frac{2}{3} \pi}-1} \exp [-(\tau+1) \sin \ln (\tau+1)] d \tau> \\
>\int_{(1+t) e^{-\pi_{-1}}}^{(1+t) e^{-\frac{2}{3} \pi}-1} e^{\frac{1}{2}(\tau+1)} d \tau>\int_{(1+t) e^{-\pi-1}}^{(1+t) e^{-\frac{2}{3} \pi}-1} e^{\frac{1}{2}(t+1) e^{-\pi}} d \tau= \\
=e^{\frac{1}{2}(t+1) e^{-\pi}}(t+1)\left(e^{-\frac{2}{3} \pi}-e^{-\pi}\right) . \\
\end{array}
\]

Поэтому при указанных значениях $t$ второе слагаемое в выражении для $x_{2}$ удовлетворяет неравенству
\[
\begin{aligned}
c_{1}^{2} \exp [(t+1) \sin \ln (t+1) & -2 a t] \int_{0}^{1} \exp [-(\tau+1) \sin \ln (\tau+1)] d \tau> \\
& >e^{\frac{1}{2}\left(2+e^{-\pi}\right)}\left(e^{-\frac{2}{3} \pi}-e^{-\pi}\right) e^{\left(1-2 a+\frac{1}{2} e^{-\pi}\right) t}
\end{aligned}
\]

и, следовательно, на основании (86.8) с неограниченным возрастанием $t$ неограниченно возрастает. Первое же слагаемое в выражении $x_{2}$ с неограниченным возрастанием $t$ стремится к нулю. И это будет справедливо, каковы бы ни были начальные значения $c_{1}
eq 0$ и $c_{2}$ величин $x_{1}$ и $x_{2}$. Таким образом, при любых начальных значениях, при которых $c_{1}
eq 0$, функция $x_{2}$ будет неограниченной и, следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.

Приведенные примеры показывают, что если уравнения первого приближения зависят явно от $t$, то условие асимптотической устойчивости решений этих уравнений не является ни необходимым, ни достаточным для устойчивости невозмущенного движения при любом выборе членов высших. порядков.

Необходимых и достаточных условий устойчивости по первому приближению неустановившихся движений для общего случая не найдено. Установлен, однако, ряд достаточных критериев, которые мы ниже и излагаем. Мы будем при этом заниматься только критериями устоичивости. Критериями неустойчивости по первому приближению занимался Н. Г. Четаев ${ }^{1}$ ).

Мы будем также предполагать, что уравнения первого приближения линейны.