Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Результаты предыдущих параграфов показывают, что при практическом определении знака наименьшего характеристичного числа системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами можно последние в некоторых случаях заменить подходящим образом выбранными постоянными. Если при этом отклонения этих коэффициентов от соответствующих им постоянных не превосходят некоторых установленных в предыдущих параграфах пределов, то знак наименьшего характеристичного числа системы с переменными коэффициентами будет совпадать со знаком наименьшего характеристичного числа системы с постоянными коэффициентами. Этот прием не может быть, очевидно, применен в том случае, когда наименьшее характеристичное число системы с постоянными коэффициентами равно нулю. То же самое будет и в том случае, когда указанное наименьшее характеристичное число будет численно очень мало. В этом случае верхние пределы для отклонений коэффициентов сравниваемых систем, даваемые правилами предыдущих параграфов, будут также очень малыми, вследствие чего метод может потерять всякий практический интерес. В этом параграфе мы изложим один прием ${ }^{1}$ ), который позволяет для широкого класса систем дать практически пригодные оценки наименьшего характеристичного числа для вышеуказанных критических случаев. где $p_{s j}$ — постоянные, $\varphi_{s j}^{*}$ — ограниченные и непрерывные при $t \geqslant 0$ функции времени, $\mu$ — малый параметр, характеризующий степень отклонения от системы с постоянными коэффициентами. Мы будем предполагать, что характеристическое уравнение системы с постоянными коэффициентами имеет корни с нулевыми вещественными частями и не имеет корней с положительными вещественными частями. Таким образом, наименьшее характеристичное число системы (84.3) равно нулю. Случай, когда это число отлично от нуля, но очень мало, приводится к рассматриваемому путем отнесения малых поправочных членов к тем членам уравнений (82.1), -которые имеют множителем $\mu$. Для упрощения дальнейших выкладок мы предположим, кроме того, что уравнение (84.2) не имеет кратных корней. Сущность предлагаемого метода решения задачи состоит в том, что систему (84.1) при помощи подходящим образом выбранного линенного преобразования вида где $f_{s j}(t)$ — некоторые ограниченные и непрерывные при $t \geqslant 0$ функции времени, приводят к виду Здесь $a_{s j}$ — постоянные, а $\psi_{s j}(t)$ — ограниченные и непрерывные при $t \geqslant 0$ функции времени. Эти функции зависят, вообще говоря, от $\mu$, относительно которого они аналитичны. Если теперь в системе (84.5) отбросить члены с переменными коэффициентами, то может оказаться, что полученная система с постоянными коэффициентами будет иметь наименьшее характеристичное число, отличное от нуля. Это число будет, конечно, иметь порядок малости $\mu$, но в отличие от системы (84.1) порядок малости переменных коэффициентов будет не меньше $\mu^{2}$, и поэтому к полученной системе могут быть применены методы предыдущих параграфов ${ }^{1}$ ). Чтобы вышеуказанное преобразование дейстительно могло быть выполнено, необходимо, чтобы коэффициенты $\varphi_{s j}^{*}$ удовлетворяли следующим условиям: ограничены. При этом условии, очевидно, имеем: ограничены. Мы переходим теперь к определению преобразования (84.4). С этой целью заменим в правой и левой частях уравнений (84.5) величины $y_{s}$ их значениями (84.4). Тогда, принимая во внимание (84.1), получим: Приравнивая члены с первой степенью $\mu$, будем иметь: Мы получили, таким образом, для определения коэффициентов $n^{2}$ линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Из этих уравнений функции $f_{s k}$ могут быть определены при помощи квадратур. Необходимо, однако, чтобы эти функции вышли ограниченными, и мы сейчас покажем, что при сделанных допущениях постоянными $a_{s k}$ можно так распорядиться, чтобы это обстоятельство дейстительно имело место. С этой целью допустим, что система (84.3) при помощи неособенного линейного преобразования с постоянными коэффициентами приведена предварительно к каноническому виду. Так как, по предположению, уравнение (84.2) не имеет кратных корней, то канонический вид системы (84.3) будет следующии: Здесь $\rho_{s}$ — корни уравнения (84.2). Мы будем предполагать, что такое преобразование было выполнено с самого начала и будем придерживаться прежнего обозначения переменных. Указанное предварительное преобразование не только упрощает выкладки, но и облегчает значительно вычисление коэффициентов $f_{s j}$, и поэтому ега действительно целесообразно выполнить. где функции $\varphi_{s j}$ являются линеиными комбинациями функций $\varphi_{s j}^{*}$ с постоянными коэффициентами и поэтому удовлетворяют тем же условиям, что и функции $\varphi_{s j}^{*}$. Для того чтобы эти уравнения имели ограниченное решение, положим и Тогда функции $f_{s s}$, определяемые равенствами согласно условиям, которым удовлетворяют $\varphi_{s j}$, будут ограниченными. Покажем, что то же самое будет справедливо и по отношению к функциям $f_{s k}(s мы можем положить: где $a$-произвольная постоянная. Эту постоянную мы положим равной нулю при $\alpha_{s k} \leqslant 0$ и равной $\infty$ при $\alpha_{s k}>0$. Тогда мы будем иметь: если $\alpha_{s k}<0$, и если $\alpha_{s k}>0$. Здесь $M$ — верхний предел функций $\left|\varphi_{s k}\right|$. Из (84.10) и (84.11) вытекает ограниченность функций (84.9) при $\alpha_{s k} Таким образом, мы действительно можем найти ограниченные функции $f_{s k}$, при которых подстановка (84.4) преобразует систему (84.1) к’виду (84.5). При этом входящие в определение функций $f_{s k}$ произвольные постоянные могут быть выбраны по произволу. При $\mu$, достаточно малом, определитель подстановки (84.4) превосходит при любом $t>0$ некоторую положительную постоянную, вследствие чего характеристичные числа системы (84.1) совпадают с характеристичными числами системы (84.5). Выбрав функции $f_{s k}$ и постоянные $a_{s k}$ вышеуказанным образом, мы приведем систему (84.7) к виду Допустим, что наименьшее характеристичное число системы с постоянными коэффициентами отлично от нуля. Тогда на основании теоремы об устойчивости характеристичных чисел систем с постоянными коэффициентами величину $\mu$ можно всегда выбрать настолько малой, чтобы знак наименьшего характеристичного числа системы (84.12) совпадал со знаком наименьшего характеристичного числа системы (84.13). Оценка верхнего предела для $|\mu|$ может быть сделана по методам предыдущих параграфов. При этом если эту оценку делать при помощи функций Ляпунова, то после определения коэффициентов $f_{s k}$ можно уже не производить самого преобразования (84.4) и исходить непосредственно из уравнений (84.7). Действительно, функцией Ляпунова для системы (84.12) будет выражение и следовательно, функцией Ляпунова для системы (84.7) будет выражение При этом верхний предел значений $\mu$ определится из условия, что производная от (84.14) в силу уравнений (84.7) является опрсделенно-положительной ${ }^{1}$ ). где $\mu>0$. Характеристическое уравнение соответствующей системы с постоянными коэффициентами имеет, с точностью до величин второго порядка, отрицательные корни — $\mu$ и -1. Однако методы предыдущих параграфов не дают возможности сделать каких-либо заключений о знаках характеристичных чисел полной системы (84.15), так как эти методы дают пределы для модулей переменных коэффициентов, меньшие модулей корней характеристического уравнения. В рассматриваемом случае переменный коэффициент $2 \mu \sin t$ может вдвое превосходить модуль корня — $\mu$. Для системы (84.15) уравнения, определяющие коэффициенты $f_{s k}$ преобразования (84.4) имеют вид Эти уравнения имеют такие ограниченные решения причем Подставляя в (84.16) и выполняя преобразование, получим вместо (84.15) следующую систему: где Характеристичные числа системы (84.17) будут положительны, если величины $\mu^{2}\left|\psi_{s j}\right|$ достаточно малы. Для оценки верхнего предела этих величин воспользуемся формулой (82.10). В рассматриваемом случае $\lambda=\mu, \quad m=2$ и $M=1$. Поэтому, для того чтобы характеристичные числа системы (84.17) были положительны, достаточно, чтобы функции $\mu^{2}\left|\psi_{s j}\right|$ удовлетворяли неравенствам $\left|\mu^{2} \psi_{s j}\right|<\frac{\mu}{2}$. Грубая оценка показывает, что это во всяком случае будет выполнено, если $\mu<\frac{1}{9}$. Примечание. Если коэффициенты $\psi_{s j}$ в преобразованных уравнениях (84.5) обладают такими же свойствами, как и коэффициенты $\varphi_{s j}^{*}$, то эти уравнения можно подвергнуть такому же преобразованию и получить новые уравнения, у которых переменные коэффициенты будут иметь порядок малости $\mu^{3}$. Аналогичным образом можно продолжать и дальше. В частности, если коэффициенты $\varphi_{s j}^{*}$ являются квазипериодическими функциями, то можно построить любое число приближений и привести уравнения (84.1) к виду где $a_{s j}^{(\alpha)}$ — постоянные. Этот прием использовал И. З. Штокало ${ }^{1}$ ) для установления критериев устойчивости линейных систем с квазипериодическими коэффициентами. Однако И. З. Штокало не устанавливает пределов для $\mu$ и ограничивается доказательством, что при $\mu$, достаточно малом, невозмущенное движение будет устойчиво, если корни характеристического уравнения системы с постоянными коэффициентами имеют отрицательные вещественные части. Более просто и в более общем виде это предложение доказано Н. П. Еругиным ${ }^{1}$ ).
|
1 |
Оглавление
|