Результаты предыдущих параграфов показывают, что при практическом определении знака наименьшего характеристичного числа системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами можно последние в некоторых случаях заменить подходящим образом выбранными постоянными. Если при этом отклонения этих коэффициентов от соответствующих им постоянных не превосходят некоторых установленных в предыдущих параграфах пределов, то знак наименьшего характеристичного числа системы с переменными коэффициентами будет совпадать со знаком наименьшего характеристичного числа системы с постоянными коэффициентами. Этот прием не может быть, очевидно, применен в том случае, когда наименьшее характеристичное число системы с постоянными коэффициентами равно нулю. То же самое будет и в том случае, когда указанное наименьшее характеристичное число будет численно очень мало. В этом случае верхние пределы для отклонений коэффициентов сравниваемых систем, даваемые правилами предыдущих параграфов, будут также очень малыми, вследствие чего метод может потерять всякий практический интерес. В этом параграфе мы изложим один прием ${ }^{1}$ ), который позволяет для широкого класса систем дать практически пригодные оценки наименьшего характеристичного числа для вышеуказанных критических случаев.
Допустим, что рассматриваемая система имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+\mu\left(\varphi_{s 1}^{*} x_{1}+\ldots+\varphi_{s n}^{*} x_{n}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $p_{s j}$ – постоянные, $\varphi_{s j}^{*}$ – ограниченные и непрерывные при $t \geqslant 0$ функции времени, $\mu$ – малый параметр, характеризующий степень отклонения от системы с постоянными коэффициентами. Мы будем
1) См. работу автора, цитированную в споске на стр. 352.

предполагать, что характеристическое уравнение
\[
\left|p_{s \cdot j}-\delta_{s j} \rho\right|=0
\]

системы с постоянными коэффициентами
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}
\]

имеет корни с нулевыми вещественными частями и не имеет корней с положительными вещественными частями. Таким образом, наименьшее характеристичное число системы (84.3) равно нулю. Случай, когда это число отлично от нуля, но очень мало, приводится к рассматриваемому путем отнесения малых поправочных членов к тем членам уравнений (82.1), -которые имеют множителем $\mu$. Для упрощения дальнейших выкладок мы предположим, кроме того, что уравнение (84.2) не имеет кратных корней.

Сущность предлагаемого метода решения задачи состоит в том, что систему (84.1) при помощи подходящим образом выбранного линенного преобразования вида
\[
y_{s}=x_{s}+\mu\left(f_{s 1} x_{1}+\ldots+f_{s n} x_{n}\right) \quad(s=1,2, \ldots, n), \text { (84.4) }
\]

где $f_{s j}(t)$ – некоторые ограниченные и непрерывные при $t \geqslant 0$ функции времени, приводят к виду
\[
\begin{aligned}
\frac{d y_{s}}{d t}=p_{s 1} y_{1}+\ldots+p_{s n} y_{n}+\mu & \left(c_{s 1} y_{1}+\ldots+a_{s n} y_{n}\right)+ \\
& +\mu^{2}\left(\psi_{s 1} x_{1}+\ldots+\psi_{s n} x_{n}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь $a_{s j}$ – постоянные, а $\psi_{s j}(t)$ – ограниченные и непрерывные при $t \geqslant 0$ функции времени. Эти функции зависят, вообще говоря, от $\mu$, относительно которого они аналитичны.

Если теперь в системе (84.5) отбросить члены с переменными коэффициентами, то может оказаться, что полученная система с постоянными коэффициентами будет иметь наименьшее характеристичное число, отличное от нуля. Это число будет, конечно, иметь порядок малости $\mu$, но в отличие от системы (84.1) порядок малости переменных коэффициентов будет не меньше $\mu^{2}$, и поэтому к полученной системе могут быть применены методы предыдущих параграфов ${ }^{1}$ ).
1) Таким образом, сущность метода заключается в повышении порядка малости членов с переменными коэффициентами. Этот метод широко используется в работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова по нелинейным колебаниям. Для случая периодических коэффициентов этот прием применялся Ляпуновым при решении задачи устойчивости в критических случаях (см. § 67). При этом Ляпунов рассматривал нелинейные уравнения; малыми являлись члены, нелинейные относительно $x_{s}$, и задача сводилась к преобразованию уравнений к такому виду, чтобы переменные коэффициенты были у членов сколь угодно высокого порядка.

Чтобы вышеуказанное преобразование дейстительно могло быть выполнено, необходимо, чтобы коэффициенты $\varphi_{s j}^{*}$ удовлетворяли следующим условиям:
1) Существуют такие постоянные $\alpha_{s j}$, что функции
\[
\int_{0}^{t} \varphi_{s j}^{*} d t-\alpha_{s j} t \quad(s, j=1,2, \ldots, n)
\]

ограничены. При этом условии, очевидно, имеем:
\[
\alpha_{s j}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t} \varphi_{s j}^{*}(t) d t .
\]
2) Если разность каких-ни јудь двух корней $\rho_{p}$ и $\rho_{q}$ уравнения (84.2) есть чисто мнимое число $i b$, то функции
\[
\int_{0}^{t} \varphi_{s j}^{*} \cos b t d t, \quad \int_{0}^{t} \varphi_{s j}^{*} \sin b t d t
\]

ограничены.
Условия 1) выполняются для люэых периодических и квазипериодических функций. Для этих же функций будут вынолняться и условия 2), если только разложения этих функций не содержат «резонирующих» гармоник $\cos b t$ и $\sin b t$.

Мы переходим теперь к определению преобразования (84.4). С этой целью заменим в правой и левой частях уравнений (84.5) величины $y_{s}$ их значениями (84.4). Тогда, принимая во внимание (84.1), получим:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{\alpha=1}^{n} p_{s a} x_{\alpha}+\mu \sum_{\alpha=1}^{n} \varphi_{s a}^{*} x_{\alpha}+\mu \sum_{\alpha=1}^{n} \frac{d f_{s a}}{d t} x_{\alpha}+\mu \sum_{\alpha, \beta=1}^{n} f_{s a} p_{\alpha \beta} x_{\beta}= \\
=\sum_{\alpha=1}^{n} p_{s a}\left(x_{\alpha}+\mu \sum_{\beta=1}^{n} f_{\alpha \beta} x_{\beta}\right)+\mu \sum_{\alpha=1}^{n} a_{s \alpha}\left(x_{\alpha}+\mu \sum_{\beta=1}^{n} f_{\alpha \beta} x_{\beta}\right)+\mu^{2}(\ldots) .
\end{array}
\]

Приравнивая члены с первой степенью $\mu$, будем иметь:
\[
\frac{d f_{s k}}{d t}=\sum_{\alpha=1}^{n} p_{s a} f_{\alpha k}-\sum_{\alpha=1}^{n} p_{\alpha k} f_{s \alpha}+a_{s k}-\varphi_{s k}^{*}(s, k=1,2, \ldots, n) \text {. }
\]

Мы получили, таким образом, для определения коэффициентов $n^{2}$ линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Из этих уравнений функции $f_{s k}$ могут быть определены при помощи квадратур. Необходимо, однако, чтобы эти функции вышли ограниченными, и мы сейчас покажем, что при сделанных допущениях постоянными $a_{s k}$ можно так распорядиться, чтобы это обстоятельство дейстительно имело место.

С этой целью допустим, что система (84.3) при помощи неособенного линейного преобразования с постоянными коэффициентами приведена предварительно к каноническому виду. Так как, по предположению, уравнение (84.2) не имеет кратных корней, то канонический вид системы (84.3) будет следующии:
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=\rho_{s} x_{s} \quad(s=1,2, \ldots, n) .
\]

Здесь $\rho_{s}$ – корни уравнения (84.2). Мы будем предполагать, что такое преобразование было выполнено с самого начала и будем придерживаться прежнего обозначения переменных. Указанное предварительное преобразование не только упрощает выкладки, но и облегчает значительно вычисление коэффициентов $f_{s j}$, и поэтому ега действительно целесообразно выполнить.
Уравнения (84.1) имеют теперь вид
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=\rho_{s} x_{s}+\mu\left(\varphi_{s 1} x_{1}+\ldots+\varphi_{s n} x_{n}\right),
\]

где функции $\varphi_{s j}$ являются линеиными комбинациями функций $\varphi_{s j}^{*}$ с постоянными коэффициентами и поэтому удовлетворяют тем же условиям, что и функции $\varphi_{s j}^{*}$.
Уравнения (84.6) имеют теперь следующий простой вид:
\[
\frac{d f_{s k}}{d t}=\left(\rho_{s}-\rho_{k}\right) f_{s k}+a_{s k}-\varphi_{s i} \quad(s, k=1,2, \ldots, n) .
\]

Для того чтобы эти уравнения имели ограниченное решение, положим
\[
a_{s s}=\lim \frac{1}{t} \int_{0}^{t} \varphi_{s s} d t \quad(s=1,2, \ldots, n)
\]

и
\[
a_{s k}=0 \quad(s
eq k, s, k=1,2, \ldots, n) .
\]

Тогда функции $f_{s s}$, определяемые равенствами
\[
f_{s s}=\int_{0}^{t}\left(a_{s s}-\varphi_{s s}\right) d t
\]

согласно условиям, которым удовлетворяют $\varphi_{s j}$, будут ограниченными. Покажем, что то же самое будет справедливо и по отношению к функциям $f_{s k}(s
eq k)$, если в уравнениях (84.8), которым они удовлетворяют, надлежащим образом распорядиться постоянными интегрирования. Действительно, обозначая
\[
\rho_{s}-\rho_{k}=\alpha_{s k}+i \beta_{s k},
\]

мы можем положить:
\[
f_{s k}=-e^{a_{s k} t}\left(\cos \beta_{s k} t+i \sin \beta_{s k} t\right) \int_{a}^{t} e^{-\alpha_{s k} t}\left(\cos \beta_{s k} t-i \sin \beta_{s k} t\right) \varphi_{s k} d t,
\]

где $a$-произвольная постоянная. Эту постоянную мы положим равной нулю при $\alpha_{s k} \leqslant 0$ и равной $\infty$ при $\alpha_{s k}>0$. Тогда мы будем иметь:
\[
\left|f_{s k}\right|<M e^{\alpha_{s k} t} \int_{0}^{t} e^{-\alpha_{s k} t} d t=-\frac{M}{\alpha_{s k}}\left(1-e^{\alpha_{s k} t}\right),
\]

если $\alpha_{s k}<0$, и
\[
\left|f_{s k}\right|<M e^{a} s k^{t} \int_{t}^{\infty} e^{-\alpha_{s k^{t}}} d t=\frac{M}{\alpha_{s k}},
\]

если $\alpha_{s k}>0$. Здесь $M$ – верхний предел функций $\left|\varphi_{s k}\right|$. Из (84.10) и (84.11) вытекает ограниченность функций (84.9) при $\alpha_{s k}
eq 0$. Ограниченность этих функций при $\alpha_{s k}=0$ непосредственно вытекает из условия 2), которому удовлетворяют функции $\varphi_{s k}$.

Таким образом, мы действительно можем найти ограниченные функции $f_{s k}$, при которых подстановка (84.4) преобразует систему (84.1) к’виду (84.5). При этом входящие в определение функций $f_{s k}$ произвольные постоянные могут быть выбраны по произволу. При $\mu$, достаточно малом, определитель подстановки (84.4) превосходит при любом $t>0$ некоторую положительную постоянную, вследствие чего характеристичные числа системы (84.1) совпадают с характеристичными числами системы (84.5).

Выбрав функции $f_{s k}$ и постоянные $a_{s k}$ вышеуказанным образом, мы приведем систему (84.7) к виду
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=\rho_{s} y_{s}+\mu a_{s s} y_{s}+\mu^{2}\left(\psi_{s 1} y_{1}+\ldots+\psi_{s n} y_{n}\right) .
\]

Допустим, что наименьшее характеристичное число системы
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=\left(\rho_{s}+\mu a_{s s}\right) y_{s}
\]

с постоянными коэффициентами отлично от нуля. Тогда на основании теоремы об устойчивости характеристичных чисел систем с постоянными коэффициентами величину $\mu$ можно всегда выбрать настолько малой, чтобы знак наименьшего характеристичного числа системы (84.12) совпадал со знаком наименьшего характеристичного числа системы (84.13). Оценка верхнего предела для $|\mu|$ может быть сделана по методам предыдущих параграфов. При этом если эту оценку делать при помощи функций Ляпунова, то после определения коэффициентов $f_{s k}$ можно уже не производить самого преобразования (84.4) и исходить непосредственно из уравнений (84.7). Действительно, функцией Ляпунова для системы (84.12) будет выражение
\[
2 V=\sum_{\alpha=1}^{n}\left(\rho_{\alpha}+\mu a_{\alpha \alpha}\right) y_{\alpha^{\prime}}^{2}
\]

и следовательно, функцией Ляпунова для системы (84.7) будет выражение
\[
2 V=\sum_{\alpha=1}^{n}\left(\rho_{\alpha}+\mu_{\alpha \alpha}\right)\left(x_{\alpha}+\mu \sum_{\beta=1}^{n} f_{\alpha \beta} x_{\beta}\right)^{2} .
\]

При этом верхний предел значений $\mu$ определится из условия, что производная от (84.14) в силу уравнений (84.7) является опрсделенно-положительной ${ }^{1}$ ).
Пример. Пусть предложена система
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}}{d t}=\mu(-1+2 \sin t) x_{1}+\mu x_{2}, \\
\frac{d x_{2}}{d t}=-x_{2}+\mu x_{1},
\end{array}\right\}
\]

где $\mu>0$. Характеристическое уравнение соответствующей системы с постоянными коэффициентами имеет, с точностью до величин второго порядка, отрицательные корни – $\mu$ и -1. Однако методы предыдущих параграфов не дают возможности сделать каких-либо заключений о знаках характеристичных чисел полной системы (84.15), так как эти методы дают пределы для модулей переменных коэффициентов, меньшие модулей корней характеристического уравнения. В рассматриваемом случае переменный коэффициент $2 \mu \sin t$ может вдвое превосходить модуль корня – $\mu$.

Для системы (84.15) уравнения, определяющие коэффициенты $f_{s k}$ преобразования (84.4)
\[
\left.\begin{array}{l}
y_{1}=x_{1}+\mu\left(f_{11} x_{1}+f_{12} x_{2}\right) \\
y_{2}=x_{2}+\mu\left(f_{21} x_{1}+f_{22} x_{2}\right)
\end{array}\right\}
\]

имеют вид
\[
\begin{aligned}
\frac{d f_{11}}{d t} & =a_{11}+1-2 \sin t, & \frac{d f_{22}}{d t}=a_{22}, \\
\frac{d f_{12}}{d t} & =f_{12}-1, & \frac{d f_{21}}{d t}=-f_{21}-1 .
\end{aligned}
\]
1) См. примечание в конце книги (стр. 527).

Эти уравнения имеют такие ограниченные решения
\[
\begin{array}{ll}
f_{11}=2 \cos t, & f_{22}=0, \\
f_{12}=1, & f_{21}=-1, \\
a_{11}=-1, & a_{22}=0 .
\end{array}
\]

причем
\[
a_{11}=-1, \quad a_{22}=0 .
\]

Подставляя в (84.16) и выполняя преобразование, получим вместо (84.15) следующую систему:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d y_{1}}{d t} & =-\mu y_{1}+\mu^{2}\left(\psi_{11} y_{1}+\psi_{12} y_{2}\right), \\
\frac{d y_{2}}{d t}=-y_{2}+\mu^{2}\left(\psi_{21} y_{1}+\psi_{22} y_{2}\right),
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\begin{aligned}
\psi_{11} & =\frac{1}{\Delta}[1+2 \sin 2 t+\mu(1-2 \cos t)], \\
\psi_{12} & =\frac{1}{\Delta}\left[1+2 \cos t+\mu\left(-1+4 \cos ^{2} t-\sin 2 t+2 \cos t\right)\right], \\
\psi_{21} & =\frac{1}{\Delta}[1-2 \sin t-\mu], \\
\psi_{22} & =\frac{1}{\Delta}[-1+\mu(-1+2 \sin t-2 \cos t)], \\
\Delta & =1+2 \mu \cos t+\mu^{2} .
\end{aligned}
\]

Характеристичные числа системы (84.17) будут положительны, если величины $\mu^{2}\left|\psi_{s j}\right|$ достаточно малы. Для оценки верхнего предела этих величин воспользуемся формулой (82.10). В рассматриваемом случае $\lambda=\mu, \quad m=2$ и $M=1$. Поэтому, для того чтобы характеристичные числа системы (84.17) были положительны, достаточно, чтобы функции $\mu^{2}\left|\psi_{s j}\right|$ удовлетворяли неравенствам $\left|\mu^{2} \psi_{s j}\right|<\frac{\mu}{2}$. Грубая оценка показывает, что это во всяком случае будет выполнено, если $\mu<\frac{1}{9}$.

Примечание. Если коэффициенты $\psi_{s j}$ в преобразованных уравнениях (84.5) обладают такими же свойствами, как и коэффициенты $\varphi_{s j}^{*}$, то эти уравнения можно подвергнуть такому же преобразованию и получить новые уравнения, у которых переменные коэффициенты будут иметь порядок малости $\mu^{3}$. Аналогичным образом можно продолжать и дальше. В частности, если коэффициенты $\varphi_{s j}^{*}$ являются квазипериодическими функциями, то можно построить любое число приближений и привести уравнения (84.1) к виду
\[
\begin{aligned}
\frac{d y_{s}}{d t}=p_{s 1} y_{1}+\ldots+p_{s n} y_{n}+ & \sum_{\alpha=1}^{k} \mu^{\alpha}\left(a_{s 1}^{(\alpha)} y_{1}+\ldots+a_{s n}^{(\alpha)} y_{n}\right)+ \\
& +\mu^{k+1}\left[f_{s 1}(t) y_{1}+\ldots+f_{s n}(t) y_{n}\right]
\end{aligned}
\]

где $a_{s j}^{(\alpha)}$ – постоянные. Этот прием использовал И. З. Штокало ${ }^{1}$ ) для установления критериев устойчивости линейных систем с квазипериодическими коэффициентами. Однако И. З. Штокало не устанавливает пределов для $\mu$ и ограничивается доказательством, что при $\mu$, достаточно малом, невозмущенное движение будет устойчиво, если корни характеристического уравнения системы с постоянными коэффициентами
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=p_{s 1} y_{1}+\ldots+p_{s n} y_{n}+\sum_{\alpha=1}^{k} \mu^{\alpha}\left(a_{s 1}^{(\alpha)} y_{1}+\ldots+a_{s n}^{(\alpha)} y_{n}\right),
\]

имеют отрицательные вещественные части. Более просто и в более общем виде это предложение доказано Н. П. Еругиным ${ }^{1}$ ).