Мы переходим теперь к подробному рассмотрению системы, описываемон одним уравнением второго порядка:
\[
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+Q \frac{d y}{d t}+P y=0 .
\]

где $Q$ и $P$ – периодические функции $t$ периода $\omega$. Несмотря на частный характер этой системы, к ней приводятся многие важные технические задачи.
Заменой
\[
y=\exp \left(-\frac{1}{2} \int Q d t\right) x
\]

уравнение (59.1) приводится к виду
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+p x=0,
\]

где
\[
p=P-\frac{1}{4} Q^{2}-\frac{1}{2} \frac{d Q}{d t}
\]
– также периодическая функция периода $\omega$. Мы будем поэтому в дальнейшем рассматривать только уравнения вида (59.2).
Записав уравнение (59.2) в виде системы
\[
\frac{d x}{d t}=x^{\prime}, \frac{d x^{\prime}}{d t}=-p x,
\]

мы видим, что характеристическое уравнение в рассматриваемом случае имеет вид
\[
\Delta(\rho)=\left|\begin{array}{cc}
f(\omega)-\rho & f^{\prime}(\omega) \\
\varphi(\omega) & \varphi^{\prime}(\omega)-\rho
\end{array}\right|=0,
\]

где $f(t)$ и $\varphi(t)$ – два частных решения уравнения (59.2), определяемых начальными условиями:
\[
\left.\begin{array}{ll}
f(0)=1, & f^{\prime}(0)=0, \\
\varphi(0)=0, & \varphi^{\prime}(0)=1 .
\end{array}\right\}
\]

Кроме того, свободный член характеристического уравнения на основании (50.8) обращается в единицу, и потому характеристическое уравнение может быть представлено в виде
\[
\rho^{2}-2 A \rho+1=0,
\]

где
\[
A=\frac{1}{2}\left[f(\omega)+\varphi^{\prime}(\omega)\right] .
\]

Так как произведение корней характеристического уравнения равно единице, то либо оба корня имеют модули, равные единице, либо модуль одного из корней больше единицы, а модуль другого меньше этой величины, а именно: из соотношения
\[
\rho=A \pm \sqrt{A^{2}-1}
\]

мы видим, что если $A^{2} \leqslant 1$, то оба корня будут комплексными и иметь модули, равные единице, а если $A^{2}>1$, то оба корня будут вещественны и один из них будет численно более, а другой численно менее единицы.

Таким образом, основная задача устойчивости для уравнения (59.2) сводится к установлению условии, при которых имеет место каждый из двух возможных случаев: 1) $A^{2} \leqslant 1$ и 2) $A^{2}>1$.

Некоторые признаки наличия того или другого случая могут быть получены методом предыдущего параграфа. С этой целью рассмотрим вместо уравнения (59.2) уравнение
\[
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\mu p y,
\]

ғде $\mu$-вспомогательный параметр, и наңдем сначала коэффициент $A^{*}(\mu)$ для этого уравнения. Положив затем $\mu=-1$, мы получим коэффициент $A$ для уравнения (59.2). Пусть $f(t, \mu)$ и $\varphi(t, \mu)$ – два частных решения уравнения (59.6), определяемые начальными условиями:
\[
\left.\begin{array}{ll}
f(0, \mu)=1, & f^{\prime}(0, \mu)=0 \\
\varphi(0, \mu)=0, & \varphi^{\prime}(0, \mu)=1 .
\end{array}\right\}
\]

Мы можем написать:
\[
\left.\begin{array}{l}
f(t, \mu)=f_{0}(t)+\mu f_{1}(t)+\mu^{2} f_{2}(t)+\ldots \\
\varphi(t, \mu)=\varphi_{0}(t)+\mu \varphi_{1}(t)+\mu^{2} \varphi_{2}(t)+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Подставляя в (59.6), находим:
\[
\begin{array}{rlrl}
\frac{d^{2} f_{0}}{d t^{2}} & =0, & & \frac{d^{2} \varphi_{0}}{d t^{2}}=0, \\
\frac{d^{2} f_{n}}{d t^{2}} & =p f_{n-1}, & \frac{d^{2} \varphi_{n}}{d t^{2}}=p \varphi_{n-1} \quad(n=1,2, \ldots) .
\end{array}
\]

Начальные условия (59.8) дают:
\[
\begin{array}{l}
f_{0}(0)=1, \quad f_{0}^{\prime}(0)=0, \quad \varphi_{0}(0)=0, \quad \varphi_{0}^{\prime}(0)=1, \\
f_{n}(0)=f_{n}^{\prime}(0)=\varphi_{n}(0)=\varphi_{n}^{\prime}(0)=0 \quad(n=1,2, \ldots),
\end{array}
\]

откуда
\[
\left.\begin{array}{ll}
f_{0}(t)=1, & \varphi_{0}(t)=t \\
f_{n}(t)=\int_{0}^{t} d t \int_{0}^{t} p f_{n-1} d t, & \varphi_{n}(t)=\int_{0}^{t} d t \int_{0}^{t} p \varphi_{n-1} d t \\
& (n=1,2, \ldots)
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, на основании (59.5) коэффициент $A^{*}(\mu)$ для уравнения (59.6) имеет вид
\[
A^{*}(\mu)=1+\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left[f_{n}(\omega)+\varphi_{n}^{\prime}(\omega)\right] \mu^{n} .
\]

На основании теоремы предыдущего параграфа ряд (59.11) сходится при всех значениях $\mu$. Полагая $\mu=-1$, мы получим коэффициент $A$ для уравнения (59.2) в виде сходящегося ряда
\[
A=A^{*}(-1)=1+\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left[f_{n}(\omega)+\varphi_{n}^{\prime}(\omega)\right](-1)^{n} .
\]

Установив это, допустим, что функция $p(t)$ может принимать только отрицательные или равные нулю значения, не обращаясь в нуль тождественно. Тогда все функции $f_{n}(t), f_{n}^{\prime}(t), \varphi_{n}(t), \varphi_{n}^{\prime}(t)$ при $n$ нечетном будут отрицательны, а при $n$ четном – положительны. Вследствие этого все члены ряда (59.12) будут положительны, и мы приходим к следующей теореме Ляпунова.

Теорема. Если в уравнении (59.2) бункция р может принимать только от рицательные или равные нулю значения, не обращаясь в нуль тождественно, то соответствующее этому уравнению характеристическов уравнение имеет два вещественных корня, из которых один численно более, а другой численно менее единиды.

Допустим теперь, что функция $p$ может принимать только положительные или равные нулю значения, не обращаясь тождественно в нуль. Будут ли при этом корни характеристического уравнения иметь модули, равные единице? Этот вопрос естественно возникает, ибо в случае, когда $p$ постоянно, ответ на него получается положительный Однако, как мы увидим ниже, если функция $p$ не обращается в постоянную, то ответ на указанный вопрос может получиться отрицательныи. Может оказаться, что несмотря на то, что функция $p$ может принимать только положительные значения, характеристическое уравнение будет иметь вещественные корни, из которых один более, а другой менее единицы. Имеет, однако, место следующая теорема, принадлежащая также Ляпунову.

Теорема. Если функция $p$ может принимать только положительные или равные нуль значения, не об ращаясь в нуль тождественно, и если при этом выполняется неравенство
\[
\omega \int_{0}^{\omega} p d t \leqslant 4,
\]

то характеристическое уравнение системы (59.2) имеет комплексные корни, равные по модулю единице.

Доказательство. Заметим прежде всего, что при $p \geqslant 0$ все функции $f_{n}$ и $\varphi_{n}$, а также их производные $f_{n}^{\prime}$ и $\varphi_{n}^{\prime}$ положительны при всех $t \geqslant 0$. Докажем, что при всех $t \geqslant 0$ справедливы неравенства
\[
S_{n}=\left(f_{n-1}+\varphi_{n-1}^{\prime}\right) t \int_{0}^{t} p d t-2 n\left(f_{n}+\varphi_{n}^{\prime}\right)>0 .
\]

Мы можем, очевидно, писать:
\[
S_{n}=\int_{0}^{t} \frac{d S_{n}}{d t} d t
\]

откуда, учитывая (59.9), находим:
\[
S_{n}=\int_{0}^{t}\left(F_{n}+p \Phi_{n}\right) d t
\]

где
\[
\begin{array}{l}
F_{n}=t f_{n-1}^{\prime} \int_{0}^{t} p d t+\left(f_{n-1}+\varphi_{n-1}^{\prime}\right) \int_{0}^{t} p d t-2 n f_{n}^{\prime} \\
\Phi_{n}=t \varphi_{n-2} \int_{0}^{t} p d t+\left(f_{n-1}+\varphi_{n-1}^{\prime}\right) t-2 n \varphi_{n-1} .
\end{array}
\]

Если мы докажем, что при $t \geqslant 0$ имеют место неравенства
\[
F_{n}>0, \quad \Phi_{n}>0 .
\]

то этим самым, очевидно, будет доказано и неравенство (59.14). Чтобы доказать неравенства (59.15), запишем функции $F_{n}$ и $\Phi_{n}$ через интегралы от их производных. Будем иметь:
\[
\left.\begin{array}{l}
F_{n}=\int_{0}^{t}\left(2 f_{n-1}^{\prime} \int_{0}^{t} p d t+p u_{n}\right) d t, \\
\Phi_{n}=\int_{0}^{t}\left(2 p t \varphi_{n-2}+v_{n}\right) d t,
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
u_{n}=\left(\varphi_{n-2}+t f_{n-2}\right) \int_{0}^{t} p d t+\varphi_{n-1}^{\prime}+t f_{n-1}^{\prime}-(2 n-1) f_{n-1}, \\
v_{n}=\left(\varphi_{n-2}+t \varphi_{n-2}^{\prime}\right) \int_{0}^{t} p d t+f_{n-1}+t f_{n-1}^{\prime}-(2 n-1) \varphi_{n-1}^{\prime} .
\end{array}
\]

Если функции $u_{n}$ и $v_{n}$ также представить в виде интегралов, то легко найдем:
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{n}=\int_{0}^{t}\left[2 p\left(\varphi_{n-2}+t f_{n-2}\right)+F_{n-1}\right] d t \\
v_{n}=\int_{0}^{t}\left(2 f_{n-1}^{\prime}+2 \varphi_{n-2}^{\prime} \int_{0}^{t} p d t+p \Phi_{n-1}\right) d t .
\end{array}\right\}
\]

Учитывая, что все функции $f_{n}, f_{n}^{\prime}, \varphi_{n}, \varphi_{n}^{\prime}$ положительны, мы из (59.16) и (59.17) найдем, что если при всех $t \geqslant 0$ имеют место неравенства $F_{n-1}>0, \Phi_{n-1}>0$, то при тех же значениях $t$ будут иметь место и неравенства (59.15). Таким образом, неравенства (59.15) будут доказаны для любого $n$, если мы их докажем для $n=2$. Но для $n=2$ выражения (59.16) дают:
\[
F_{2}=2 \int_{0}^{t}\left\{\left(\int_{0}^{t} p d t\right)^{2}+2 p \varphi_{1}^{\prime}\right\} d t, \quad \Phi_{2}=2 \int_{0}^{t}\left(p t^{2}+2 f_{1}\right) d t .
\]

Величины $F_{2}$ и $\Phi_{2}$, очевидно, положительны, и поэтому мы можем считать неравенства $(59.15$ ) доказанными.
Из этих неравенств, полагая $t=\omega$, находим:
\[
f_{n}(\omega)+\varphi_{n}^{\prime}(\omega)<\left[f_{n-1}(\omega)+\varphi_{n-1}^{\prime}(\omega)\right] \frac{\omega}{2 n} \int_{0}^{\omega} p d t .
\]

Заменяя $n$ на $2 n$, получим:
\[
f_{2 n}(\omega)+\varphi_{2 n}^{\prime}(\omega)<\left[f_{2 n-1}(\omega)+\varphi_{2 n-1}^{\prime}(\omega)\right] \frac{\omega}{4 n} \int_{0}^{\omega} p d t .
\]

а заменяя $n$ на $2 n+1$ и обращая знаки неравенств, будем иметь:
\[
-\left[f_{2 n+1}(\omega)+\varphi_{2 n+1}^{\prime}(\omega)\right]>-\left[f_{2 n}(\omega)+\varphi_{2 n}^{\prime}(\omega)\right] \frac{\omega}{4 n+2} \int_{0}^{\omega} p d t .
\]

Установив это, рассмотрим коэффициент $A$, соответствующий уравнению (59.2), определяемыи, как мы видели, рядом (59.12). Если в этом ряде заменить все четные члены правыми частями неравенств (59.18), то будем иметь:
\[
A<1-\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{\omega}{4 n} \int_{0}^{\omega} p d t\right)\left[f_{2 n-1}(\omega)+\varphi_{2 n-1}^{\prime}(\omega)\right] .
\]

Если же воспользоваться неравенствами (59.19), то получим:
\[
A>1-\frac{\omega}{2} \int_{0}^{\omega} p d t+\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{\omega}{4 n+2} \int_{0}^{\omega} p d t\right)\left[f_{2 n}(\omega)+\varphi_{2 n}^{\prime}(\omega)\right] \text {. }
\]

Если теперь функция $p$ удовлетворяет неравенству (59.13), то все члены, стоящие под знаком суммы в неравенствах (59.20) и (59.21), будут положительны, и эти неравенства дадут
\[
-1<A<1 \text {, }
\]

что и доказывает теорему.
Если $p \geqslant 0$, но неравенство (59.13) не выполняется, то, как мы уже указывали, возможны оба случая: 1) $A^{2} \leqslant 1$ и 2) $A^{2}>1$. Для выяснения, какой из них в каждой конкретной задаче будет иметь место, требуется более подробное исследование ряда (59.12). В специальной работе, посвященной этому вопросу, А. М. Ляпунов ${ }^{1}$ ) установил ряд признаков наличия того или другого случая. Этому же вопросу посвящена работа Н. Е. Жуковского ${ }^{2}$ ), в которой дается обобщение критерия (59.13). Некоторые другие обобщения этого критерия даны в работах Н. В. Адамова, Н. П. Еругина, Р. С. Гусаровой, В. А. Якубовича, М. Г. Нейгауз и В. Б. Лидского ${ }^{3}$ ). Случай, когда $p(t)$ может менять знак, рассмотрен в большой работе А. М. Ляпунова ${ }^{4}$ ).
1) Ляпунов А. M., Sur une série dans la théorie des èquations différentielles linéaires du second ordre à coefficientes periodiques. Зап. Акад. наук по физ.-мат. отделению, 8-я сер., т. XIII, №2, 1902.
${ }^{2}$ ) Жуковский Н. Е., Условия конечности интегралов уравнения $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+p y=0$. Матем. сборник, т. XVI, 1892. См. также: Жук о в ски й Е., Собрание сочинений, т. I, Гостехиздат, 1948.
${ }^{3}$ ) Ада мов Н. В., О колебаниях интегралов уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами и некоторых условиях устойчивости. Матем. сборник, т. XLII, вып. 6, 1935.

Еругин Н. П., Обобщение одной теоремы Ляпунова. ПММ, т. XII, вып. 5 , 1948.

Гусарова Р. С., Об ограниченности решения линейного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами. ПММ, т. XIV, вып. 3, 1950.

Як убович В. А., Об ограниченности решения уравнения $y^{\prime \prime}+p(t) y=0$, $p(t+\omega)=p(t)$. Докл. Акад. наук СССР, т. LXXIV, № 5, 1950.

Нейгауз М. Г. и Лидский В. Б., Об ограниченности решений линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Докл. Акад. наук СССР, т. LXXVII, № 2, 1951.
4) Ляпунов А. М., Об одном зопросе, касающемся линейных дифференциальных уравнений второго порялка с периодическими коэффициентами. Сообщ. Харьк. матем. об-ва, 2-я сер., т. V, №ㅇ 3-4 и 5-6, 1896. См. также примечание в конце книги (стр. 522).