Нам понадобится в дальнейшем одно вспомогательное предложение, являющееся непосредственным обобщением теоремы $2 \S 20$. Пусть $u_{1}, \ldots, u_{k}$ суть $k$ заданных форм $m$-го порядка переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Требуется определить условия, при которых существуют $k$ других форм $v_{1}, \ldots, v_{k}$ того же порядка, удовлетворяющих системе уравнений
\[
\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{s}}=q_{l 1} v_{1}+\ldots+q_{i k} v_{k}+u_{i} \\
(i=1,2, \ldots, k),
\end{array}
\]

где $q_{i j}$ – некоторые постоянные.
Обозначим через $\rho_{1}, \ldots, \rho_{n}$ корни уравнения

а через $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ – корни уравнения
Имеет место следующее предложение.
Теорема. Если между корнями уравнений (39.2) $\boldsymbol{u}$ (39.3) не существует никаких соотношений вида
\[
m_{1} \rho_{1}+m_{2} \rho_{2}+\ldots+m_{n} \rho_{n}=x_{i} .
\]

где $m_{1}, \ldots, m_{n}$ – целые неот рицательные числа, связанные соотношеншем
\[
m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}=m .
\]

то существует одна и только одна система форм т-го порядка $v_{1}, \ldots, v_{k}$, удовлетворяющих уравнениям (39.1).

Доказательство. Имея в виду применить метод индукции, рассмотрим сначала случай $k=1$. Допустим, следовательно, что предложено одно уравнение
\[
\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial v}{\partial x_{s}}=x v+u,
\]

где $u$ – форма $m$-го порядка. Число $x$ будет, очевидно, в рассматриваемом случае единственным корнем уравнения (39.3). Так как
\[
\sum_{s=1}^{n} x_{s} \frac{\partial v}{\partial x_{s}}=m v,
\]

то уравнение (39.6) можно переписать в виде
\[
\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+\left(p_{s s}-\frac{x}{m}\right) x_{s}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial v}{\partial x_{s}}=u .
\]

Применяя теорему $2 \S 20$, мы можем утверждать, что это уравнение имеет решение и притом единственное, если не существует зависимостей вида
\[
m_{1} \rho_{1}^{\prime}+m_{2} \rho_{2}^{\prime}+\ldots+m_{n} \rho_{n}^{\prime}=0,
\]

где $m_{1}, \ldots, m_{n}$ – целые неотрицательные числа, связанные соотношением (39.5), а $\rho_{s}^{\prime}$ – корни уравнения
Но, очевидно, имеем:
\[
\rho_{s}^{\prime}=\rho_{s}-\frac{x}{m},
\]

и следовательно, соотношение (39.7) переходит в соотношение
\[
m_{1} \rho_{1}+\ldots+m_{n} \rho_{n}=\frac{1}{m}\left(m_{1}+\ldots+m_{n}\right) x=x,
\]

откуда и вытекает справедливость нашей теоремы для $k=1$.
Рассмотрим теперь случай $k>1$. Если мы введем в рассмотрение формы $w_{1}, \ldots, w_{k}$, связанные с формами $v_{1}, \ldots, v_{k}$ неособенной линейной подстановкой
\[
w_{i}=\alpha_{i 1} v_{1}+\alpha_{i 2} v_{2}+\ldots+\alpha_{i k} v_{k} \quad(l=1,2, \ldots, k),
\]

то из (39.1) получим для этих форм следующие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial w_{i}}{\partial x_{s}}=r_{i 1} w_{1}+\ldots+r_{i k} w_{k}+\bar{u}_{l} \\
(i=1,2, \ldots, k),
\end{array}
\]

где $\bar{u}_{i}=\sum_{j=1}^{n} \alpha_{i j} u_{j}$ будут также известными формами $m$-го порядка. Коэффициенты $r_{i j}$ связаны с коэффициентами $q_{i j}$ соотношением
\[
r=a^{-1} q \alpha,
\]

где $r$ – матрица коэффициентов $r_{i j}, q$ – матрица коэффициентов $q_{i j}$, а $\alpha$-матрица коэффициентов $\alpha_{i j}$. Отсюда следует, что уравнение
( $E$ – единичная матрица) имеет те же корни, что и уравнение (39.3). Денствительно, имеем:
\[
\begin{array}{l}
|r-x E| \equiv\left|\alpha^{-1} q \alpha-x E\right| \equiv\left|\alpha^{-1}(q-x E) \alpha\right| \equiv \\
\equiv\left|\alpha^{-1}\right| \cdot|q-x E| \cdot|\alpha| \equiv|q-x E|,
\end{array}
\]

что и доказывает наше утверждение.
Установив это, допустим, что теорема доказана для системы с $k-1$ неизвестными функциями, и покажем, что она останется справедливой и для системы с $k$ неизвестными функциями. С этой целью рассмотрим систему линейных однородных уравнений
\[
q_{1 i} \alpha_{1}+\ldots+\left(q_{i i}-x_{1}\right) \alpha_{i}+\ldots+q_{k i} \alpha_{k}=0 \quad(i=1,2, \ldots, k) .
\]

Так как определитель этой системы равен нулю, то она имеет решение, в котором хотя бы одна из величин $\alpha_{i}$ отлична от нуля. Допустим для определенности, что $\alpha_{1}
eq 0$. Тогда, вводя вместо формы $v_{1}$ форму $w$, определяемую равенством
\[
w=\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}+\ldots+\alpha_{k} v_{k},
\]

мы вместо первого уравнения (39.1) получим уравнение
\[
\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial w}{\partial x_{s}}=x_{1} w+\bar{u}_{1},
\]

где $\overline{u_{1}}=\sum_{i=1}^{k} \alpha_{i} u_{i}$ – известная форма $m$-го порядка.

Остальные уравнения (39.1) примут вид
\[
\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial v_{j}}{\partial x_{s}}=r_{j 2} v_{2}+\ldots+r_{j k} v_{k}+r_{j} w+u_{j} \\
(j=2, \ldots, k),
\end{array}
\]

где $r_{i j}$ – некоторые постоянные, которые нам нет необходимости выписывать явно.
Уравнение (39.3) для преобразованной системы имеет вид

и так как по доказанному оно инвариантно относительно неособенного линейного преобразования, то корнями уравнения

будут величины $x_{2}, \ldots, x_{k}$.
Величина $x_{1}$, как и остальные корни уравнения (39.3), не связана, по условию, с величинами $\rho_{1}, \ldots, \rho_{n}$ никакими соотношениями вида (39.4), и поэтому, по доказанному, уравнение (39.8) допускает одно и только одно решение для $w$ в виде формы $m$-го порядка. Подставив это решение в уравнения (39.9), мы получим для определения $v_{2}, \ldots, v_{k}$ систему вида (39.1) с $k-1$ неизвестными функциями. Эта система, по предположению, допускает одно и только одно решение для $v_{2}, \ldots, v_{k}$. Переходя к первоначальным переменным $v_{1}, \ldots, v_{k}$, мы получим, таким образом, одно и только одно решение системы (39.1).

Итак, допустив, что теорема справедлива при $k-1$ неизвестных функциях, мы доказали, что она остается справедливой и при $k$ неизвестных функциях, и так как она доказана для $k=1$, то она справедлива для всякого $k$.
Пример. Пусть предложена следующая система:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial v_{j}}{\partial x_{s}}=\lambda(k-j+1) v_{j-1}-j \lambda v_{j+1}+u_{j} \\
\left(j=1,2, \ldots, k ; v_{0}=v_{k+1}=0\right),
\end{array}
\]

где $u_{1}, \ldots, u_{k}$-заданные формы произвольного порядка $m$, a $\lambda$ – положительное число. Предположим, что все корни уравнения (39.2) имеют отрицательные вещественные части. В этом случае система (39.10) имеет одно и только одно решение для $v_{1}, \ldots, v_{k}$ в виде форм $m$-го порядка.

Ден̈ствительно, корни уравнения (39.3), как можно показать, в рассматриваемом случае будут
\[
\pm \lambda l, \quad \pm 3 \lambda i, \ldots, \pm(k-3) \lambda i, \pm(k-1) \lambda i,
\]

если $k$ – число четное, и
\[
0, \pm 2 \lambda l, \pm 4 \lambda l, \ldots, \pm(k-1) \lambda t,
\]

если $k$ – число нечетное. Очевидно, что в этом случае соотношения (39.4) не могут иметь место ни при каких целых неотрицательных $m_{1}, \ldots, m_{n}$, не равных нулю одновременно, и потому теорема применима при любом $m$.