Мы переходим теперь к построению функций Ляпунова для систем линейных уравнений
$$\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{st}{x}_n(s=1,2,\dots ,n)$$

с постоянными коэффициентами.
Допустим сначала, что невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Это, как мы видели, будет тогда и только тогда, когда все корни ${\lambda }_j$ характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. Будет ли при этом существовать функция, удовлетворяюшая всем условиям теоремы Б предыдущей главы? Положительный ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.

Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то какова бы на была наперед заданная знакоопределенная форма $U(x_1,\dots ,x_n)$ существует одна $и$ только одна яорма $V(x_1,\dots ,x_n)$ того же порядка, удовлетворяющая уравнению
$$\frac{dV}{dt}=\sum _{s=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_s}(p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n)=U,$$

и эта форма получится обязательно знакоопределенная, знака, противоположного с $U$.

Доказательство. Так как вещественные части всех корней ${\lambda }_t$ отрицательны, то величина (20.6) не обращается в нуль ни при каких целых неотрицательных $m_1,\dots ,m_n$, не равных нулю одновременно. Поэтому на основании теоремы 2 предыдущего параграфа существует одна и только одна форма $V$, удовлетворяющая уравнению (21.2). Остается показать, что если форма $U$-знакоопределениа, то и форма $V$ будет также знакоопределенной, знака, противоположного с $U$.

Допустим для определенности, что форма $U$ определенно-отрицательна. Рассмотрим форму $V$. Возможны три случая: 1) форма $V$ может принимать отрицательные значения, 2) форма $V$ — постоянноположительная и 3) форма $V$ — определенно-положительная.

Если бы имел место первый случай, то функция $V$ удовлетворяла бы всем условиям теоремы В и невозмущенное движение было бы неустойчиво, что противоречит условию.

Что касается второго случая, то он вообще невозможен, каковы бы ни были корни характеристического уравнения. В самом деле, будем рассматривать величины $x_s$ хак функции времени, удовлетворяющие уравнениям (21.1), и выберем их начальные значения $x_s^0$ таким образом, чтобы $V(x_1^0,\dots ,x_n^0)$ равнялось нулю. Это возможно, так как форма $V$ по условию — не знакоопределенная, а только знакопостоянная. Но так как производная $\frac{dV}{dt}$ отрицательна, то функция $V$ должна уменьшаться и, следовательно, становиться отрицательной, что противоречит условию ее положительности.

Таким образом, остается только третий случаи, что и доказывает теорему.

Рассмотренная в доказанной теореме функция $V$ удовлетворяет всем усльвия теоремы Б и является, следовательно. функцией Лянунова для рассматриваемого случая 1). Таким образ(м. для того чтобы построить функцию Ляпунова для системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, когда все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, необходимо задаться какой-нибудь знакоопределенной формой произвольного порядка и искать другую форму того же порядка, производная которой равнялась бы заданной форме. Как мы видели в предыдущем параграфе, задача сведется к решению сүстемы линейных алгебраических уравнений Вычисления при этом будут тем более громоздкими, чем больше поғядок формы. Пэтому если в какой-нибудь задаче имеется необходимость действительно вычислить коэффициенты формы $V$, то в качестве формы $U$ следует взять какую-нибудь знакоопределенную квадратичную форму, например сумму квадратов величин $x_s$.

Допустим теперь, что среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью. В этом случ е невозмущенное движение для уравнений (21.1) неустойчиво. Bonрос о существовании и построении функций Ляпунова, т.е. функций, удовлетворяющих теоремә В или теореме $\mathrm{\Gamma }$, решается нижеследующими теоремами.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью и если эти корни таковы, что величина
$$m_1{\lambda }_1+m_2{\lambda }_2+\dots +m_n{\lambda }_n$$

не обращается в нуль ни при каких целых неотрицательных $m_1,\dots ,m_n$, связанных соотношением
$$m_1+m_2+\dots +m_n=m,$$
1) См. примечание в конце книги (стр. 520).

то, какова бы ни была наперед заданная знаковпределенная форма $U$ порядка т, существует одна и только одна форма $V$ того же порядка, удовлетворяющая уравнению (21.2), а эта оюрма наверное не будет зяакопостоянной (в частности, знакооп ределенной), знака, пропивоположного с $U$.

Доказательство. Пусть $U$ — произвольная знакоопределенная форма $m$-го порядка. Допустим для определенности, что эта форма положительна. На основании теоремы 2 предыдущего параграфа существует одна и только одна форма $V$ того же порядка, которая удовлетворяет уравнению (21.2). Нам остается показать, что эта форма не может быть ни определенно-отрицательной, ни постоянно-отрицательной. В самом деле, если бы форма $V$ была определенно-отрицательной, то она удовлетворяла бы всем условиям теоремы Б и невозмущенное движение было бы асимптотически устойчиво, что противоречит условию. С другой стороны, форма $V$ не может быть постоянно-отрицательной, каковы бы ни были корни характеристического уравнения. Чтобы в этом убедиться, достаточно, как и при доказательстве предыдущей теоремы, рассмотреть какое-нибудь решение уравнений (21.1) с начальными значениями, обращающими форму $V$ в нуль. Для этого решения форма $V$, возрастая в силу положительности $\frac{dV}{dt}$, необходимо приняла бы положительные значения, что противоречит условию. Таким образом, теорема полностью доказана.

форма $V$, фигурирующая в доказанной теореме, представляет собой функцию Ляпунова, удовлетворяющую всем условиям теоремы В. Однако доказанная теорема дает возможность построить эту функцию лишь при некотором добавочном условии о необращении в нуль выражения (21.3). Это условие может не выполняться, как, например, в случае, когда характеристическое уравнение имеет нулевой корень. В этом случае, каково бы ни было число $m$, всегда существует комбинация целых неотрицательных чисел $m_1,\dots ,m_n$, связанных соотношением (21.4), при которой выражение (21.3) обращается в нуль. Действительно, если, например, ${\lambda }_1=0$, то достаточно положить
$$m_1=m,m_2=\dots =m_n=0.$$

Легко видеть, что в рассматриваемом случае вообще не существует функции Ляпунова, удовлетворяющей теореме В. В самом деле, если характеристическое уравнение имеет нулевой корень, то определитель системы однородных линеиных уравнений
$$p_{s1}{x}_1+p_{s2}{x}_2+\dots +p_{sn}{x}_n=0$$

обращается в нуль и эта система имеет решение, отличное от тривиального $x_1=\dots =x_n=0$. Но для этого решения выражение
$$\frac{dV}{dt}=\sum _{s=1}^n(p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n)\frac{\partial V}{\partial x_s}$$

обращается в нуль, какова бы ни была функция $V$, будь то форма или более сложная функция, и следовательно, это выражение не является знакоопределенным. Следовательно, в рассматриваемом случае для уравнений (21.1) не может существовать функции со знакоопределенной производной, что является основным условием, фигурирующим в теореме ${\mathrm{B}}^1$ ).

Таким образом, для системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, когда характеристическое уравнение имеет корень с положительной вещественной частью, не всегда существует функция Ляпунова, удовлетворяющая теореме В. Однако в этом случае всегда существует функция Ляпунова, удовлетворяющая теореме Г. Существование этой функции и ее вид устанавливаются следующей теоремой.

Теорема 3. Если среди корней характеристического уравнения системы (21.1) существует хотя бы один с положительной вещественной частью, то какова бы ни была наперед заданная знакоопределенная форма $U$ произвльного порядка $m$, всегда найдется такая форма $V$ того же порядка и такое положительное число а, что будет выполняться соотношение
$$\frac{dV}{dt}=aV+U$$

и при этом борма $V$ наверно не будет знакопостоянной, знака, противоположного с $U$.
Доказательство. Рассмотрим уравнение

где $\alpha$-положительное число. Корни ${\rho }_j$ этого уравнения связаны с корнями ${\lambda }_j$ характеристического уравнения соотношениями
$${\rho }_j={\lambda }_j-\frac{\alpha }{m}.$$

Поэтому величину $\alpha$ можно выбрать настолько малой, чтобы и уравнение (21.6) имело, так же как и характеристическое уравнение, хотя бы один корень с положительной вещественной частью. При этом, задавшись каким-нибудь $m$, можно числом а распорядиться, так, чтобы величина
$$m_1{\rho }_1+m_2{\rho }_2+\dots +m_n{\rho }_n$$
г) См. примечание в конце книги (стр. 520).

не обращалась в нуль ни при каких целых неотрицательных $m_1,\dots$ $\dots ,m_n$, равных в сумме $m$.

Но тогда на основании предыдущей теоремы существует одна и только одна форма $m$-го порядка $V$, удовлетворяющая уравнению
$$\sum _{s=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_s}[p_{s1}{x}_1+\dots +(p_{ss}-\frac{a}{m})x_s+\dots +p_{sn}{x}_n]=U,$$

где $U$-любая наперед заданная знакоопределенная форма $m$-го порядка. При этом форма $V$ наверно не будет знакопостоянной, знака. противоположного с $U$.

Из (21.7), учитывая, что на основании теоремы Эйлера об однородных функциях
$$\sum _{s=1}^m{x}_s\frac{\partial V}{\partial x_s}=mV$$

получаем:
$$\frac{dV}{dt}=\sum _{s=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_s}(p_{s1}x+\dots +p_{ss}{x}_s+\dots +p_{sn}{x}_n)=\alpha V+U,$$

что и доказывает теорему.
Доказанные теоремы дают метод построения функций Ляпунова для систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами, когда характеристическое уравненне либо имеет все корни с отрицательными вещественными частями, либо хотя бы один корень с положительной вещественной частью. Построение функций Ляпунова для случая, когда характеристическое уравнение, не имея корней с положительными вещественными частями, имеет корни с вещественными частями, равными нулю, мы здесь не рассматриваем, так как нам это не потребуется для дальнеңшего.

Все доказанные в этом парагрєфе теоремы установлены А. М. Ляпуновым.