В данных выше определениях Ляпунова рассматривается устойчивость невозмущенного движения по отношению к возмущениям начальных условий. Физически это означает, что рассматривается устойивость по отношению к мгновенно дейстующим возмущениям. Однако реальная механическая система находится обычно под постоянным воздействием небольших возмущающих сил, учесть которые при составлении уравнений движения практически невозможно. Поэтому представляет особый интерес исследование устойчивости рассматриваемого движения по отнощению к таким постоянно действующим возмущениям. С точки зрения математической это означает, что необходимо рассматривать возмущения не только начальных условић, но и самих уравнений дзижения. Примем следующее определение устойчивости при постоянно дейстующих возмущениях ${ }^{1}$ ).

Наряду с уравнениями движения (2.1) рассмотрим дифференциальные уравнения
\[
\begin{array}{c}
\frac{d y_{s}}{d t}=Y_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{n}\right)+R_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]
г) См. Дубошин Г. Н., К вопросу об устойчивости движения относительно постоянно действующих возмущений. Труды ГАИШ, т. XIV, вып. 1, 1940.

Влияние малых возмущающих сил на устойчивость движения динамической системы рассмотрена впервые в работе: Четае в Н. Г., Об устойчивых траекториях динамики. Учен. зап. Казанского гос. ун-та, кн. 4, вып. 1 (см. также Сборник научных трудов Казанского авиац. ин-та, № 5, 1936). Этому же вопросу посвящены работь: Артемьев Н. А., Осуществимые движения. Изв. АН СССР, сер. матем., № 3, 1939; Малкин И. Г., Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях. ПММ, т. VIII, №3, 1944; Горшин С. И., Об устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях. Критические случаи, Известия АН Казахской ССР, № 56, серия математики и механики, вып. 2; Об устойчивости движения с постоянно действующими возмущениями, Изв. АН Казахской ССР, № 58, 1948.

где $R_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$ – некоторые неизвестные функции, характеризующие возмущающие факторы, относительно которых мы можем сказать только то, что они достаточно малы и удовлетворяют некоторым общим условиям, обусловливающим существование решений уравнений (4.1) в окрестности рассматриваемого невозмущенного движения.

Мы будем говорить, что невозмущенное движение $y_{s}=f_{s}(t)$ (частное решение уравнений (2.1)) устойчиво при постоянно денствующих возмущениях, если для всякого положительного числа $\varepsilon$, как бы мало оно ни было, существуют два других положительных числа $\eta_{1}(\varepsilon)$ и $\eta_{2}(\varepsilon)$, таких, что всякое решение $y_{s}(t)$ уравнений (4.1). удовлетворяющее при $t=t_{0}$ неравенствам
\[
\left|y_{s}\left(t_{0}\right)-f_{s}\left(t_{0}\right)\right|<\eta_{1}(\varepsilon),
\]

удовлетворяет при $t>t_{0}$ неравенствам
\[
\left|y_{s}(t)-f_{s}(t)\right|<\varepsilon,
\]

каковы бы ни были функции $R_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$, удовлетворяющие в области $t>t_{0},\left|y_{s}-f_{s}(t)\right|<\varepsilon_{1}$ неравенствам
\[
\left|R_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right|<\eta_{2}(\varepsilon) .
\]

Определенная таким образом устойчивость при постоянно действующих возмущениях является непосредственным обобщением устойчивости по Ляпунову и, как было указано выше, имеет наибольшее практическое значение. Может на первый взгляд показаться, что этим самым до некоторой степени обесценивается теория устойивости по Ляпунову. Однако это неверно, ибо, во-первых, методы Ляпунова пригодны также для исследования устойчивости при постоянно действующих возмущениях и, во-вторых, по крайней мере в практически наиболее важных случаях, задача об устойчивости при постоянно деиствующих возмущениях непосредственно приводится к задаче об устойчивости по Ляпунову. Ниже (§ 74 ) будет показано, что, по крайней мере для установившихся и периодических движений, достаточным условием устойчивости при постоянно действующих возмущениях является асимптотическая устойчивость по Ляпунову ${ }^{1}$ ).

Рассмотрим еще одно возражение, которое иногда приводится при оценке практической пригодности теории Ляпунова. С этой целью исследуем простейшую систему, описываемую одним дифференциальным уравнением:
\[
\frac{d x}{d t}=x\left(a^{2}-x^{2}\right),
\]
‘) См. примечание в конце книги (стр. 516).

где $\alpha$ – некоторая постоянная. Для этой системы существует, очевидно, положение равновесия $x=0$. Это равновесие неустойчиво. В самом деле, общее решение уравнения (4.2) имеет вид
\[
\alpha^{2}\left(t-t_{0}\right)=\ln \left|\frac{x \sqrt{\alpha^{2}-x_{0}^{2}}}{x_{0} \sqrt{\alpha^{2}-x^{2}}}\right|,
\]

где $x_{0}$ – начальное значение $x$ (при $t=t_{0}$ ).
Решение (4.3) дает вещественные значения для функции $x$ как при $\left|x_{0}\right|<\alpha$, так и при $\left|x_{0}\right|>\alpha$. При этом в обоих случаях
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} x(t)= \pm \alpha \text {. }
\]

Отсюда непосредственно следует, что положение равновесия $x=0$ неустойчиво, ибо, как бы мало ни было отклонение в начальный момент, оно в конце концов делается больше некоторого фиксированного числа (например, $\frac{\alpha}{2}$ ). Но, с другой стороны, если величина $\alpha$ в рассматриваемой задаче практически мала, так что отклонение от положения равновесия на величину $\alpha$ не имеет никакого практического значения, мы должны будем рассматриваемое положение равновесия считать практически устойчивым. Бойее того, мы должны будем считать, что имеет место очень сильная устойчивость, ибо условие (4.4) выполняется при любом $x_{0}$, как. бы велика эта величина численно ни была. Однако нетрудно видеть, что «практическая» устойчивость в рассматриваемом случае обусловлена тем, что в окрестности неустойчивого положения равновесия $x=0$ имеются два асимптотически устойчивых по Ляпунову положения равновесия $x= \pm \alpha$. Следовательно, в рассматриваемом частном случае задача о «практической» устойчивости сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову. В общем случае вопрос о «практической» устойчивости в вышеуказанном смысле делается более сложным. Однако, как будет показано ниже (§ 44), по крайней мере для практически наиболее важных случаев, задача по-прежнему сводится к исследованию устоичивости по Ляпунову.

Все вышеуказанное заставляет считать, что данное Ляпуновым определение устойчивости имеет особо важное практическое значение. Вместе с тем последний пример показывает, что для практики важно не только выяснить, является ли движение устойчивым, но и определить область допустимых начальных возмущений. Последним вопросом Ляпунов не занимался, но развитые им методы дают возможность решать и эту задачу ${ }^{1}$ ).
1) См. примечание к стр. 18 в конце книги (стр. 515).