На практике часто приходится исследовать устойчивость периодических движений динамических систем, описываемых уравнениями, не содержащими явно времени. Такого рода случаи всегда принадлежат к числу критических.

В самом деле, пусть уравнения движения динамической системы имеют вид
$$\frac{d{y}_s}{dt}=Y_s(y_1,\dots ,y_n)(s=1,2,\dots ,n),$$

где функции $Y_s$ не содержат явно $t$. Относительно этих функций мы будем для простоты предполагать, что они аналитичны в некоторой области пространства $G$. Допустим, что рассматриваемая система имеет периодическое двпжение, так что уравнения (68.1) имеют в области $G$ частное решение
$$y_s^{\ast }={\phi }_s(t),$$

где ${\phi }_s(t)$ — периодические функшии, период которых мы обозначим через $\omega$. Принимая движение (68.2) за невозмущенное, составим дифференциальные уравнения возмущенного движения, т. е. преобразуем уравнения (68.1) при помощи подстановки
$$x_s=y_s-{\phi }_s(t).$$

Будем иметь:
$$\begin{array}{c}\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n+X_s(t,x_1,\dots ,x_n)\\ (s=1,2,\dots ,n),\end{array}$$

где $X_s$ — аналитические функции переменных $x_1,\dots ,x_n$, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка. Коэффициенты этих разложений, так же как и коэффициенты $p_{s\sigma }$, являются периодическими функциями времени, периода $\mathit{\omega }$.

Так как уравнения (68.1) не’ содержат явно $t$, то, заменяя в каком-нибудь решении $t$ на $t+h$, где $h$ — произвольная постоянная, мы снова получим решение. Таким образом, уравнения (68.1) имеют решение:
$${\overline{y}}_s={\phi }_s(t+h)\text{, }$$

и следовательно, уравнения (68.4) имеют решение
$${\overline{x}}_s={\phi }_s(t+h)-{\phi }_s(t).$$

Так как правые части уравнений (68.1) аналитичны, то функции ${\phi }_s(t+h)$ непременно разлагаются в ряд по $h$, и мы можем писать:
$${\overline{x}}_s=h{\dot{\phi }}_s(t)+\frac{1}{2}{h}^2{\ddot{\phi }}_s(t)+\dots$$

Подставляя это решение в уравнения (68.4), которым оно должно удовлетворять, и приравнивая коэффициенты при первой степенй $h$, получим:
$$\frac{d{\dot{\phi }}_s}{dt}=p_{s1}{\dot{\phi }}_1+\dots +p_{sn}{\dot{\phi }}_n.$$

Эти соотношения показывают, что функции ${\dot{\phi }}_s(t)$ являются решением уравнений первого приближения системы (68.4). Но так как эти функции, очевидно, периодичны, то мы получили, что система первого приближения уравнений (68.4) имеет периодическое решение. Отсюда следует, что характеристическое уравнение этой системы имеет, по крайней мере, один корень, равный единице. Этот результат установлен впервые Пуанкаре.

Допустим, что остальные $n-1$ корней характеристического уравнения системы первого приближення уравнений (68.4) имеют модули, меньшие единицы. Тогда мы будем как раз иметь дело с критическим случаем одного корня характеристического уравнения, равного единице. Как мы знаем, в этом случае задача устойчивости решается нелинейными членами в уравнениях возмущенного движения (68.4). Однако в рассматриваемом случае эти нелинейные члены не являются совершенно произвольными. То обстоятельство, что рассматриваемое периодическое движение принадлежит семейству (68.5), зависящему от произвольной постоянной $h_1$, накладывает определенные зависимости не только на первое приближение уравнений возмущенного движения, но и на нелинейные части этих уравнений. Эти зависимости получаются как раз такими, что для устоћчивости движения достаточно, чтобы остальные $n-1$ корней характеристического уравнения имели модули, меньше единицы. В этом и заключается теорема, установленная Андроновым и Виттом, которая может быть сформулирована следующим образом.

Теорема. Периодическое двжение динамической системы, описываемой уравнениями вида (68.1), будет устойчиво, если $n-1$ корней характеристического уравнения первого приближения дифференциальных уравнений возмущенного движения имеют модули, меньшие еданицы.

Доказательство. Итак, допустим, что характеристическое уравнение системы первого приближения
$$\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n$$

имеет $n-1$ корней с модулями, меньшими единицы. Один корень этого уравнения, по доказанному, равен единице. Тогда система (68.4) при помощи линеиного преобразования с периодическими коэффициентами может быть преобразована к виду
$$\begin{array}{rl}\frac{dx}{dt}& =X(x,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_m,t),\\ \frac{d{\xi }_s}{dt}& =a_{s1}{\xi }_1+\dots +a_{sm}{\xi }_m+{\mathrm{\Xi }}_s(x,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_m,t)\\ & (s=1,2,\dots ,m).\end{array}\}$$

Здесь $m=n-1,a_{sj}$ — постоянные, для которых уравнение

имеет корни только с отрицательными вещественными частями, и ${\mathbf{\Xi }}_s$ и $X$ — функции такого же вида, как и $X_s$.

Указанное преобразование преобразует периодическое решение (68.6) уравнений (68.4) в периодическое решение уравнений (68.8), Это решение будет, очевидно, иметь вид
$$\begin{array}{c}x=h{\psi }_1(t)+h^2{\psi }_2(t)+\dots ,\\ {\xi }_s=h{\psi }_{s1}(t)+h^2{\psi }_{s2}(t)+\dots .\end{array}\}$$

где ${\psi }_i,{\psi }_{si}$ — периодические функции. Линейная часть этого решения будет являться периодическим решением линейной системы
$$\frac{dx}{dt}=0,\frac{d{\xi }_s}{dt}=a_{s1}{\xi }_1+\dots +a_{sm}{\xi }_m.$$

Но по свойству корней уравнения (68.9) единственным периодическим решением системы (68.11) будет
$$x=h,{\xi }_1=\dots ={\xi }_m=0,$$

и поэтому решение (68.10) имеет вид
$$\begin{array}{l}x=h+h^2{\mathrm{\Psi }}_2(t)+\dots .\\ {\xi }_s=h^2{\psi }_{s2}(t)+\dots (s=1,2,\dots ,m).\end{array}\}$$

Установив это, сделаем в уравнениях (68.8) подстановку
$$\begin{array}{l}x=u+u^2{\psi }_2(t)+\dots .\\ {\xi }_s=v_s+u^2{\psi }_{s2}(t)+\dots \end{array}\}$$

Преобразованная система будет, ояевидно, иметь вид
$$\begin{array}{l}\frac{du}{dt}=U(t,u,v_1,\dots ,v_m),\\ \frac{d{v}_s}{dt}=a_{s1}{v}_1+\dots +a_{sm}{v}_m+V_s(t,u,v_1,\dots ,v_m),\end{array}\}$$

где $U$ и $V$ — функции такого же типа, как и $X$ и ${\mathrm{\Xi }}_s$. Все сделанные преобразования таковы, что задача устойчивости для уравнений (68.1) эквивалентна задаче устоичивости для уравнений (68.14). Поэтому мы можем рассматривать эти последние уравнения.

Так как уравнения (68.8) имеют частное решение (68.12), то уравнения (68.14) должны допускать частное решение
$$u=h,v_1=\dots =v_m=0,$$

а для этого, очевидно, необходимо, чтобы функции $U$ и $V_s$ обращались в нуль при $v_1=\dots =v_m\equiv 0$. Но в таком случае уравнения (68.14) представляют собой частный случай уравнений (34.2), фигурирующих в теореме, доказанной в § 34. Из последней немедленно вытекает, что невозмущенное движение устойчиво. Более того, можно утверждать, что всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, стремится при $t\to \mathrm{\infty }$ к одному из движений семейс ¿а (68.5) и что такими же свойствами, как и невозмущенное движение, обладает всякое движение указанного семейства, если только $h$ достаточно мало.
Примечание. Доказанная теорема может быть обобщена ${}^1$ ). Допустим, что динамическая система описывается уравнениями вида
$$\frac{d{y}_s}{dt}=Y_s(t,y_1,\dots ,y_n),$$
1) См. Малкин И. Г., Об устойчивости периодических движений: ПММ, т. VIII, вып. 4, 1944 ; Отроков Н. Ф., К устойчивости периодических интегралов. Учен. зап. Горьковского гос. ун-та, вып. 6, 1938.

отличающимися от (68.1) тем, что они могут содержать $t$, по отношению к которому они периодичны с периодом $\omega$. Допустим, что эта система допускает периодическое решение
$$y_s^{\ast }={\phi }_s(t,h_1,\dots ,h_k),$$

периода $\omega$, зависящее от $k⩽n$ произвольных постоянных. Если $Y_s$ не содержат $t$, то предполагается, что период решения не зависит от $h_j$. Если исследовать устоћчивость какого-нибудь движения семейства (68.15), то окажется, что характеристическое уравнение системы первого приближения уравнений возмущенного движения имеет, по крайней мере, $k$ корней, равных единице. Можно показать, что если остальные $n-k$ корней этого уравнения имеют модули, меньшие единицы, то невозмущенное движение устойчво.