Мы переходим теперь к изложению теорем Ляпунова о неустойчивости. Первая из этих теорем, которую мы будем в дальнейшем называть теоремой B, формулируется следующим образом.
Теорема В. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти бункцию $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, такую, что ее полная производная по времени $\frac{d V}{d t}$, составленная в силу этих уравнений, есть бункция знакоопределенная, а сама функция $V$ не будет знакопостоянной, знака, противоположного с $\frac{d V}{d t}$, то невозмущенное движение неустойчиво.
Доказательство. Пусть
\[
\left|x_{s}\right| \leqslant h \leqslant H
\]
– область знакоопределенности функции $\frac{d V}{d t}$. Мы будем предполагать число $h$ настолько малым, чтобы в области (13.1) выполнялись все условия для уравнений (6.1) возмущенного движения, которые были оговорены в $\S 6$. Допустим также, для определенности, что $\frac{d V}{d t}$ есть функция положительная.
Покажем, что, как бы мало ни было число $\eta$, всегда найдется такая система начальных значений $x_{s}^{0}$, лежащая в области
\[
\left|x_{s}^{0}\right| \leqslant \eta \text {, }
\]
1) См. примечание в конце книги (стр. 520).
что решения $x_{s}(t)$ уравнений (6.1) с указанными начальными значениями выИдут в некоторый момент времени из области (13.1). Этим, очевидно, и будет доказана неустоичивость движения.
Выберем с этой целью величины $x_{s}^{0}$ таким образом, чтобы выполнялись не только неравенства (13.2), но и неравенство
\[
V\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)>0 .
\]
Такой выбор величин $x_{s}^{0}$ возможен, так как по условию функция $V$ не является знакопостоянной отрицательной и, следовательно, в любой сколь угодно малой окрестности начала координат она может принимать положительные значения. Рассмотрим теперь решение $x_{s}(t)$ уравнений (6.1) с выбранными таким образом начальными значениями. Это решение в некоторый момент времени необходимо покинет область (13.1). В самом деле, допустим противное: пусть величины $x_{s}(t)$ при всех $t>t_{0}$ удовлетворяют неравенствам (13.1). Тогда $\frac{d V}{d t}$ все время будет оставаться положительной и, следовательно, $V\left[x_{1}(t), \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{n}(t)\right]$ будет все время возрастать. Мы можем поэтому написать:
\[
V\left[x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right]>V\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right) .
\]
Отсюда необходимо получается, что
\[
x(t)=\max \left\{\left|x_{1}(t)\right|, \ldots,\left|x_{n}(t)\right|\right\} \geqslant \lambda,
\]
где $\lambda$ – некоторое положительное число, ибо если бы мы имели $x(t)<\lambda$, то при достаточно малом $\lambda$ неравенство (13.3) не могло бы выполняться, так как функция $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ непрерывна и обращается в нуль при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$.
Так как $\frac{d V}{d t}$ есть функция определенно-положительная, то из неравенства (13.4) вытекает, что для рассматриваемого решения $x_{s}(t)$ все время выполняется неравенство
\[
\frac{d V}{d t} \geqslant l \text {. }
\]
где $l$-достаточно малое положительное число. Следовательно,
\[
\begin{aligned}
V\left[x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right]=V\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right) & +\int_{t_{0}}^{t} \frac{d V}{d t} d t \geqslant \\
& \geqslant V\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)+l\left(t-t_{0}\right),
\end{aligned}
\]
откуда вытекает, что $V\left[x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right]$ неограниченно возрастает. Но это противоречит условию, что решение $x_{s}(t)$ остается в области (13.1), так как в этой области функция $V$, будучи непрерывной, необходимо ограничена. Это и доказывает неустойчивость невозмущенного движения.
