Мы переходим теперь к доказательству следующей теоремы И. Л. Массера.

Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид (72.1) и если невозмущенное движение асимптотически устойчиво, то существует определенно-положительная функиия $\dot{V}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, производная которой $\frac{d V}{d t}$, составленная в силу этих уравнений, есть функция определенно-от рицательная. При этом $V$ будет по отношению $к t$ периодической бункцией, периода $\omega$, и не будет, в частности, совсем зависеть от $t$, если эта величнна не содержится явно $в$ функииях $X_{s}$.

Доказательство. Обозначим через $\varphi(t)$, где $t \geqslant t_{0}$ – точный верхний предел функции
\[
F\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)=\sum_{s=1}^{n} F_{s}^{2}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)=\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}
\]

по переменным $x_{j}^{0}$ и $t_{0}$ в области (72.11), так что
\[
F\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right) \leqslant \varphi(t) \text { при }\left|x_{j}^{0}\right| \leqslant \beta, 0 \leqslant t_{0} \leqslant \omega, t_{0} \leqslant t .
\]

функция $\varphi(t)$ будет, очевидно, положительной. Кроме того,
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \varphi(t)=0 .
\]

В самом деле, пусть $\varepsilon$ – сколь угодно малое положительное число. Выберем $T(\varepsilon)$ настолько большим, чтобы при $t>T$ и всех значениях $x_{j}^{0}$ и $\beta$, лежащих в области (72.11), выполнялось неравенство
\[
F\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)<\varepsilon,
\]

что по доказанному в предыдущем параграфе всегда возможно. Так как $\varphi(t)$ является точным нижним пределом непрерывной функции в замкнутой области, то оно будет одним из значений, которое эта функция в указанной области принимает. Другими словами, в области (72.11) существует система чисел $\bar{x}_{j}^{0}$ и $\vec{t}_{0}$, для которой
\[
F\left(t, \bar{x}_{1}^{0}, \ldots, \bar{x}_{n}^{0}, \bar{t}_{0}\right)=\varphi(t)
\]

и, следовательно, на основании (73.3) $\varphi(t)<\varepsilon$ при $t>T$, что и доказывает наше утверждение.
Рассмотрим теперь функцию, определяемую равенством
\[
\left.V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)=\int_{t}^{\infty} G_{\{} F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right] d \tau .
\]

Здесь $G(\eta)$ – некоторая функция от $\eta$, определенная при $\eta \geqslant 0$, принимающая при $\eta>0$ только положительные значения и обращающаяся в нуль вместе со своей прсизводной $G^{\prime}(\eta)$ при $\eta=0$. Кроме того, эта функция обладает тем свойством, что интеграл
\[
\int_{0}^{\infty} a\left[\varphi^{*}(t)\right] d t
\]

сходится для любои положительной функции $\varphi^{*}(t)$, удовлетворяющей неравенству $\varphi^{*}(t)<\varphi(t)$, причем сходимость будет равномерной относительно выбора функции $\varphi^{*}(t)$. Ниже мы покажем, что такая функция $G(\eta)$ может быть деиствительно построена.
Покажем прежде всего, что функция $V$ во всех точках области
\[
\left|x_{s}\right| \leqslant \beta, \quad t \geqslant 0,
\]

действительно существует и непрерывна.
В самом деле, пусть $x_{j}$ и $t$ лежат в области (73.6), $\tau \geqslant t$, $\tau^{\prime}=\tau-m \omega \geqslant t-m \omega$, где $m$-такое целое число, что $0 \leqslant t-$ $-m \omega<\omega$. Тогда на основании (72.3) мы можем написать:
\[
F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)=F\left(\tau^{\prime}, x_{1}, \ldots, x_{n}, t-m \omega\right)=\varphi^{*}\left(\tau^{\prime}\right),
\]

причем функция $\varphi^{*}\left(\tau^{\prime}\right)$ при любом $t$ и $x_{j}$ и области (73.6) удовлетворяет на основании (73.1) неравенству $\varphi^{*}\left(\tau^{\prime}\right) \leqslant \varphi\left(\tau^{\prime}\right)$. Вводя в (73.4) вместо переменной интегрирования $\tau$ переменную $\tau^{\prime}$, будем иметь:
\[
V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)=\int_{t-m \omega}^{\infty} G\left[\varphi^{*}\left(\tau^{\prime}\right)\right] d \tau^{\prime} .
\]

Но согласно выбору функции $G$ интеграл, стоящии в (73.7), сходится равномерно относительно $\varphi^{*}\left(\tau^{\prime}\right)$, т. е. равномерно относительно $x_{j}$ и $t$ в области (73.6). Отсюда вытекает, что в области (73.6) функция $V$ существует и непрерывна.

Найдем теперь частные производные от $V$ по $t$ и $x_{s}$, выполняя дифференцирование под знаком интеграла. Будем иметь:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{\partial V}{\partial x_{s}} & =\int_{t}^{\infty} G^{\prime}\left[F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right] \frac{\partial F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)}{\partial x_{s}} d \tau \\
\frac{\partial V}{\partial t} & =-G\left[F\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right]+ \\
& +\int_{t}^{\infty} G^{\prime}\left[F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right) \frac{\partial F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)}{\partial t} d \tau .\right.
\end{array}\right\}
\]

Однако, для того чтобы эти выражения действительно представляли частные производные функции $V$ в области (73.6), необходимо, чтобы входящие в них интегралы сходились и притом равномерно для всех значений $x_{s}$ и $t$ в указанной области. Для этого необходимо на функцию $G$ наложить еще одно условие, которое может быть получено следующим образом.

В силу условий, наложенных на правые части уравнений (72.1), частные производные
\[
\frac{\partial F\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)}{\partial x_{s}^{0}}, \frac{\partial F\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)}{\partial t_{0}}
\]

будут существовать и будут непрерывными при всех значениях переменных в области $\left|x_{j}^{0}\right| \leqslant \beta, 0 \leqslant t_{0} \leqslant \omega, t_{0} \leqslant t$, так как в силу устойчивости при указанных значениях переменных функции $F_{s}$ будут оставаться в области определения функций $X_{s}$. Мы можем поэтому для всякого $t$ назначить для этих производных некоторый положительный верхний предел $M(t)$. Мы можем при этом предполагать, что функция $M(t)$ непрерывна и не убывает при возрастании $t$. Тогда, если потребовать, чтобы интеграл
\[
\int_{0}^{\infty} \sigma^{\prime}\left[\varphi^{*}(\tau)\right] M(\tau) d \tau
\]

сходился при любом выборе функции $\varphi^{*}(\tau)$, для которой $\varphi^{*}(\tau)<$ $<\varphi(\tau)$, и чтобы сходимость была равномерной относительно $\varphi^{*}(\tau)$, то интегралы, входящие в выражения (73.8), будут равномерно сходиться в области (73.6). Мы будем предполагать, что функция $G(\eta)$ действительно удовлетворяет указанному условию. Тогда функция $V$ будет определенной и непрерывной вместе со своими частными производными первого порядка во всех точках области (73.6).

Рассмотрим подробнее свойства функции $V$. В силу (72.3) имеем:
\[
\begin{array}{c}
V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t+\omega\right)=\int_{t+\omega}^{\infty} G\left[F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t+\omega\right)\right] d \tau= \\
=\int_{t}^{\infty} G\left[F\left(\tau+\omega, x_{1}, \ldots, x_{n}, t+\omega\right)\right] d \tau= \\
=\int_{t}^{\infty} G\left[F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right] d \tau=V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right),
\end{array}
\]
т. е. функция $V$ является периодической относительно $t$ с периодом $\omega$. Если $X_{s}$ не содержат явно $t$, то функция $V$ совсем не будет зависеть от $t$. Это непосредственно вытекает из того обстоятельства, что в этом случае $\omega$ можно считать произвольным числом.

Функция $V$ положительна во всех точках области (73.6) и обращается в нуль только при $x_{1}=\ldots \geq x_{n}=0$. Будучи же по отношению к $t$ периодической, она необходимо является определенноположительной, так как мы можем писать:
\[
V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right) \geqslant W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $W$ – определенно-положительная функция, представляющая собой точный нижний предел функции $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)$ по переменной $t$ на отрезке $0 \leqslant t \leqslant \omega$.

Составим производную от $V$ по $t$ в силу уравнений (72.1). Мы будем иметь, что $\frac{d V}{d t}=\frac{d \bar{V}}{d t}$, где $\bar{V}$ – результат подстановки в функцию $V$ произвольного решения уравнений (72.1). Но
\[
\bar{V}=\int_{i}^{\infty} G\left[F\left(\tau, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)\right] d \tau,
\]

так как в силу (72.2)
\[
\begin{aligned}
F\left[\tau, F_{1}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t\right), \ldots, F_{n}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right), t\right] & \equiv \\
& \doteq F\left(\tau, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right) .
\end{aligned}
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\frac{d V}{d t}=\frac{d \bar{V}}{d t}=-G {\left[F\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t\right)\right]=} \\
\left.=-G \mid \sum_{s=1}^{n} F_{s}^{2}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)\right]=-G\left[\sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2}\right],
\end{array}
\]
т. е. $\frac{d V}{d t}$ есть функция определенно-отрицательная.

Таким образом, функция $V$ удовлетворяет всем условиям теоремы, и для того чтобы последняя была полностью доказана, необходимо еще показать, что существует функция $G$, удовлетворяющая всем указанным для нее условиям. Необходимо, следовательно, показать, что существует положительная функция $G(\eta)$, определенная для $\eta \geqslant 0$, обращающаяся вместе со своей производной $G^{\prime}(\eta)$ в нуль при $\eta=0$ и обладающая тем свойством, что интегралы (73.5) и (73.9) сходятся при любом выборе функций $\varphi^{*}(\tau)$, удовлетворяющих условию $\varphi^{*}(\tau) \leqslant \varphi(\tau)$, причем сходимость является равномерной относительно $\varphi^{*}(\tau)$. фигурирующая в (73.9) величина $M(\tau)$ является положительной, неубывающей, непрерывной функцией $\tau$, определенной при всех $\tau \geqslant 0$. Функция $G(\eta)$ может быть построена следующим образом.

Выберем последовательность чисел $t_{n}(n=1,2,3, \ldots$ ) таким образом, чтобы при $t \geqslant t_{n}$ выполннлось соотношение $\varphi(t) \leqslant \frac{1}{n+1}$. В силу (73.2) такая последовательность существует. Мы будем при этом предполагать, что $t_{1} \geqslant 1, t_{n+1} \geqslant t_{n}+1$. Далее строим функцию $\eta(t)$, полагая $\eta\left(t_{n}\right)=\frac{1}{n} ; \eta(t)$ линеина в каждом интервале между $t_{n}$ и $t_{n+1}$ и $\eta(t)=\left(\frac{t_{1}}{t}\right)^{p}$ при $0 \leqslant t \leqslant t_{1}$, где $p$-целое число, Рис. 18.
Рис. 19.
выбранное настолько большим, что $\eta^{\prime}\left(t_{1}-0\right)<\eta^{\prime}\left(t_{1}+0\right)$. Очевидно, что $\lim _{t=\infty} \eta(t)=\lim _{\eta \rightarrow \infty} t(\eta)=0$ и $\varphi(t) \leqslant \eta(t)$ при $t \geqslant t_{1}$. График функции $\eta(t)$ изображен на рис. 18.

Пусть $t(\eta)$ – функция, обратная $\eta(t)$. График этой функции показан на рис. 19. Тогда полагаем:
\[
G(\eta)=\int_{0}^{\eta} \frac{e^{-t(\eta)}}{M[t(\eta)]} d \eta .
\]

Функция $G(\eta)$, очевидно, положительна при любом $\eta>0$, и для нее $G(0)=G^{\prime}(0)=0$. Далее имеем:
\[
G^{\prime}\left[\varphi^{*}(t)\right]=\frac{e^{-t\left[\varphi^{*}(t)\right]}}{M\left[t\left(\varphi^{*}(t)\right)\right]} .
\]

При $t \geqslant t_{1}$ справедлива оценка $\varphi^{*}(t) \leqslant \varphi(t) \leqslant \eta(t)$, и, так как $t(\eta)$ – функция убывающая, $t\left(\varphi^{*}(t)\right] \geqslant t[\eta(t)]=t$. Поэтому, учитывая, что $M(t)$ – функция неубывающая, из (73.11) находим:
\[
G^{\prime}\left[\varphi^{*}(t)\right] \leqslant \frac{e^{-t}}{M(t)},
\]

откуда сразу получается равномерная сходимость интеграла (73.9). Что же касается интеграла (73.5), то, заменяя в нем нижний предел числом $t_{1}$, что для вопроса о сходимости не имеет значения, получим для него выражение
\[
I=\int_{t_{\mathrm{t}}}^{\infty} d t \int_{0}^{\varphi^{*}(t)} \frac{e^{-t(\eta)}}{M[t(\eta)]} d \eta,
\]

для которого справедлива оценка
\[
I \lessdot \int_{t_{1}}^{\infty} d t \int_{0}^{\eta(t)} \frac{e^{-t(\eta)}}{M(0)} d \eta .
\]

Заменяя во внутреннем интеграле переменную $\eta$ переменной $t(\eta)$, найдем:
\[
I<\int_{t_{1}}^{\infty} d t \int_{\infty}^{t} \eta^{\prime}(t) \frac{e^{-t}}{M(0)} d t .
\]

Полученный интеграл, очевидно, сходится, так как, по крайней мере при $t \geqslant t_{1}$, имеем $\left|\eta^{\prime}(t)\right|<1$. Отсюда вытекает равномерная относительно $\varphi^{*}(t)$ сходимость интеграла (73.5).

Таким образом, функция $V$ обладает всеми необходимыми свойствами, и теорема полностью доказана.