ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ (И.Г.МАМКИЕ)

Научная библиотека

Научная библиотека

ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ (И.Г.МАМКИЕ)

И. Г. МАЛКИН
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ВТОРОГО ИЗДАНИЯ.
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
§ 1. Постановка задачи.
§ 2. Определение устойчивости.
§ 3. Дифференциальные уравнения возмущенного движения.
§ 4. Устойчивость по Ляпунову и некоторые другие определения устойчивости.
§ 5. О методах решения задачи устойчивости.
ГЛ АВ А II. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ДЛЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ.
§ 6. Основные определения.
§ 7. Признаки знакоопределенности и знакопеременности функций.
§ 8. Геометрическая интерпретация знакоопределенных функций.
§ 9. Первая теорема Ляпунова об устойчивости движения.
§ 10. Вторая теорема Ляпунова об устойчивости движения.
§ 11. Геометрическая интерпретация предыдущих теорем.
§ 12. Примеры приложения предыдущих теорем.
§ 13. Первая теорема Ляпунова о неустойчивости.
§ 14. Теорема Ляпунова о неустойчивости равновесия, когда силовая функция обращается в минимум.
§ 15. Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости.
§ 16. Геометрическая интерпретация теоремы В. Теорема Н. Г. Четаева.
§ 17. Пример приложения теоремы Н. Г. Четаева. Теорема Н. Г. Четаева о неустойчивости равновесия.
§ 18. Заключительные замечания.
ГЛАВА III. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ ДЛЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ.
§ 19. Уравнения первого приближения.
§ 20. Некоторые вспомогательные предложения.
§ 21. Построение функций Ляпунова для систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
§ 22. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
§ 23. Примеры приложения предыдущих теорем.
§ 24. Неустойчивость равновесия. Случай канонических систем.
§ 25. Теорема Гурвица.
§ 26. Обобщение теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Приложение к регулируемым системам.
§ 27. Заключительные замечания.
Г ЛАВ А IV. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЕВ ДЛЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ.
§ 28. Случай одного нулевого корня. Приведение уравнений к специальному виду.
§ 29. Исследование задачи для случая системы первого порядка.
§ 30. Исследование задачи для системы $(n+1)$-го порядка в частном случае.
§ 31. Исследование задачи для системы $(n+1)$-го порядка в общем случае.
§ 32. Примеры.
§ 33. Особенный случай.
§ 34. Решение задачи устойчивости в особенном случае.
§ 35. Случай пары чисто мнимых корней. Приведение уравнений возмущенного движения к специальному виду.
§ 36. Системы второго порядка. Первый способ решения задачи.
§ 37. Системы второго порядка. Второй способ решения задачи.
§ 38. Системы второго порядка. Третий способ решения задачи.
§ 39. Вспомогательное предложение.
§ 40. Исследование системы $(n+2)$-го порядка в частном случае.
§ 41. Исследование системы $(n+2)$-го порядка в общем случае.
§ 42. Другой способ решения задачи.
§ 43. Особенный случай.
§ 44. «Oпасные» и «безопасные» границы области устойчивости.
ГЛАВА V. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ.
А. ТЕОРЕМЫ ВТОРОГО МЕТОДА ДЛЯ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ.
§ 45. Некоторые определения.
§ 46. Теоремы Ляпунова об устойчивости для неустановившихся движений.
§ 47. Теорема Ляпунова о неустойчивости для неустановившихся движений.
§ 48. Теорема Н. Г. Четаева.
Б. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
§ 49. Постановка задачи.
§ 50. Характеристическое уравнение системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами.
§ 51. Аналитический вид решений в случае простых корней характеристического уравнения.
§ 52. Аналитический вид решений в случае кратных корней характеристического уравнения.
§ 53. Обратное предложение.
§ 54. Теорема Ляпунова о приводимости линейных уравнений с периодическими коэффициентами.
§ 55. Определяющее уравнение приведенной системы.
§ 56. Критерии устойчивости.
§ 57. Характеристическое уравнение канонических систем.
§ 58. Вычисление корней характеристического уравнения методом разложения по степеням параметра.
§ 59. Приложение к системе второго порядка.
§ 60. Некоторые технические задачи, приводящиеся к уравнению второго порядка с периодическими коэффициентами, и связанные с этим вопросы теории.
§ 61. Области устойчивости и неустойчивости для уравнений второго порядка.
§ 62. Практический способ определения областей устойчивости и неустойчивости для уравнения второго порядка.
§ 63. Примеры приложения метода предыдущего параграфа.
В. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
§ 64. Критерии устойчивости по первому приближению.
§ 65. Критические случаи.
§ 66. Критический случай, когда характеристическое уравнение имеет один равный единице корень.
§ 67. Критический случай, когда характеристическое уравнение имеет два комплексных корня с модулями, равными единице.
§ 68. Устойчивость периодических движений автономных систем.
Г Л А В А VI. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ.
А. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ.
§ 69. Постановка задачи.
§ 70. Теорема об устойчивости при постоянно действующих возмущениях.
§ 71. Проблема существования функций Ляпунова.
§ 72. Некоторые свойства установившихся и периодических движений.
§ 73. Теорема о существовании функций Ляпунова для периодических и установившихся движений в случае асимптотической устойчивости.
§ 74. Основная теорема об устойчивости при постоянно действующих возмущениях для периодических и установившихся движений. Приложение к вопросу об «опасных» и «безопасных» границах области устойчивости.
§ 75. Условия существования функций Ляпунова для линейных уравнений в случае асимптотической устойчивости.
Б. ТЕОРИЯ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ.
§ 76. Характеристичные числа Ляпунова.
§ 77. Основные свойства характеристичных чисел.
§ 78. Характеристичные числа решений линейных дифференциальных уравнений.
§ 79. Правильные и неправильные системы.
§ 80. Устойчивость характеристичных чисел систем линейных дифференциальных уравнений.
§ 81. Некоторые признаки устойчивости характеристичных чисел систем линейных дифференциальных уравнений ${ }^{1}$ ).
§ 82. Критерий положительности характеристичных чисел.
§ 83. Оценка характеристичных чисел методом построения функций Ляпунова.
§ 84. Применение метода малого параметра.
В. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ.
§ 85. Теорема об устойчивости по первому приближению.
§ 86. Некоторые особенности задачи устойчивости по первому приближению для неустановившихся движений.
§ 87. Критерий Ляпунова.
§ 88. Другая группа критериев.
§ 89. Связь с критерием Ляпунова. Обобщенный критерий.
Г. ТЕОРИЯ КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЕВ.
§ 90. Постановка задачи. Основные определения.
§ 91. Первая основная теорема о критических случаях.
§ 92. Вторая основная теорема о критических случаях.
§ 93. Случай, когда коэффициенты линейных членов постоянны. Приложение к установившимся и периоднческим движениям.
§ 94. Критический случай двойного нулевого корня для установившихся движений.
§ 95. Критический случай двух пар чисто мнимых корней для установившихся движений ${ }^{2}$ ).
§ 96. Критический случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней для установившихся движений ${ }^{1}$ ).
§ 97. Критические случаи периодических движений. Приведение к установившимся движениям ${ }^{1}$ ).
ДОПОЛНЕНИЕ I. ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ.
§ 98. Постановка задачи.
§ 99. Исследование системы второго порядка с нелинейностью, зависящей от первой координаты.
§ 100. Исследование системы второго порядка с нелинейностью, зависящей от второй координаты.
ДОПОЛНЕНИЕ II. О СУЩЕСТВОВАНИИ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА.
§ 101. Постановка задачи.
§ 102. Необходимые и достаточные условия существования функции $V$.
ДОПОЛНЕНИЕ III. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА.
§ 103. Критерии, основанные на функциях Ляпунова со знакопостоянными производными.
§ 104. Примеры приложения предыдущих теорем.
ДОПОЛНЕНИЕ IV. ПРОБЛЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ УПРАВЛЯЕМЫХ ДВИЖЕНИЙ.
§ 105. Предварительные замечания.
§ 106. Постановка задачи о стабилизации.
§ 107. Постановка задачи об оптимальной стабилизации.
§ 108. Пример задачи о стабилизации.
§ 109. Второй метод Ляпунова для задач об оптимальной стабилизации.
§ 110. Замечания ко второму методу Ляпунова в теории стабилизации.
§ 111. Решение задачи о стабилизации для уравнений первого приближения.
§ 112. Достаточные условия разрешимости задачи о стабилизации для линейных систем.
§ 113. Практические способы решения задач об оптимальной стабилизации для линейных систем.
§ 114. Теоремы о стабилизации по первому приближению.
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА.