К стр. 18. Большое число исследований было посвящено в последнее время задачам об асимптстической устойчивости, где область начальных возмущений $x_{s}\left(t_{0}\right)$, для которых должно выполняться условие (3.5), нельзя считать малон. Такие задачи изучены, например, в работах: Еругин Н. П., Качественное исследование интегральных кривых системы дифференшиальных уравнений. ПММ, т. 14, вып. 5, 1950; О некоторых вопросах теории устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений. ПММ, т. 14, вып. 6,1950 ; Лурье А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования, Гостехиздат, 1951; Малкин И. Г., Об устойчивости систем автоматического регулирования. ПММ, т. 16. вып. 4, 1952; Барбашин Е. А., Об устойчивости решения одного нелинейного уравнения третьего порядка. ПММ, т. 16, вып. 5, 1952; Летов А. М., Устойчивость нелинеиных систем автоматического регулирования, Гостехиздат, 1955; Зу бов В. И., Методы А. М. Ляпунова и их применение, Изд. ЛГУ, 1957; Плисс В. А., Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом. Изд. ЛГУ, 1958; Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р., Абсолютная устойчивость регулируемых систем, Изд. АН СССР, 1963.

В подобных случаях приобретает особенное значение оценка области (3.3) тех начальных возмущений $x_{s}\left(t_{0}\right)$, для которых выполняется предельное соотношение (3.5). В соответствии с этим оказывается полезным дополнить определение асимптотической устойчивости следующим образом.
(а) Пусть G-некоторая, наперед заданная область изменения переменных $x_{s}$, в которой по условиям задачи могут лежать значения $x_{s}\left(t_{0}\right)$ начальных возмущений. Тогда невозмущенное движение $x_{s}=0$ называется асимптотически устойчивым в большом, если это движение устойчиво и єсли условие (3.5) выполняется для всех $x_{s}\left(t_{0}\right)$ из области $G$.
В частности, область $G$ может быть определена неравенствами $\left|x_{s}\left(t_{0}\right)\right| \leqslant N$.

где $N$-заданное число.

Если в изучаемой реальной системе начальные возмущения $x_{s}\left(t_{0}\right)$ могут оказаться весьма большими и их трудно или нецелесообразно заранее оценивать каким-либо числом $N$, то оказывается полезным следующее определение.
(乃) Невозмущенное движение называется асимптотичеки устойчивым в целом, если это движение устойчиво и если условие (3.5) выполняется для любых начальных возмущений $x_{s}\left(t_{0}\right)$, как бы велики они ни были.

Отметим еще, что своиство устойчивости, выражаемое неравенствами (3.3) и (3.4), не следует, вообще говоря, из условия (3.5) даже в случае, когда в уравнениях (3.2) функции $X_{s}$ не зависят явно от времени $t$. Именно, можно построить пример, когда условие (3.5) выполняется для всех начальных возмущений $x_{s}\left(t_{0}\right)$, но невозмущенное движение $x_{s}=0$ неустойчиво. Подобная ситуация рассмотрена, например, в работе: Красовский Н. Н., Об устоичивости решений системы двух дифференциальных уравнении. ПММ, т. 17, вып. 6, 1953.

К стр. 21. Приведенное определение устойчивости при постоянно дейстующих возмущениях является наиболее употребительным. В исследованиях, однако, встреча.ись некоторые модификации этого определения, учитывающие дополнительные обстоятельства. Данное определение требует малости возмущений $R_{s}$ в каждый момент вре- $/$ мени $t$. Однако возможны случаи, когда возмущения $R_{s}$ в отдельные моменты достигают немалой величины, оставаясь значительную часть времени достаточно малыми. В таких случаях может оказаться полезным следующее определение.
( $\gamma$ ) Невозмущенное движение $y_{s}=f_{s}(t)$ устойчиво при постоянно действующих возмущениях малых в среднем (на интервале T), если для всякого положительного числа в, как бы мало оно ни было, существуют два других положительных числа $\eta_{1}(\varepsilon)$ и $\eta_{2}(\varepsilon)$ таких, что всякое решение у $_{s}(t)$ уравнений (4.1), удовлетворяющее $n$ ри $t=t_{0}$ неравенствам
\[
\left|y_{s}\left(t_{0}\right)-f_{s}\left(t_{0}\right)\right|<\eta_{1}(\varepsilon),
\]

удовлетворяет при $t>t_{0}$ неравенствам
\[
\left|y_{s}(t)-f_{s}(t)\right|<\varepsilon,
\]

каковы бы ни были функиии $R_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$, удовлетворяющие при $t>t_{0}$ для всех постоянных $\alpha_{s}=y_{s}-f_{s}(t),\left|\alpha_{s}\right|<\varepsilon$ неравенствам
\[
\int_{i}^{t+T}\left|R_{s}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right| d t<\eta_{2}(\varepsilon) .
\]

Здесь $T$ – положительное число, выбранное в меру бо́льшим для того, чтобы в изучаемой системе отдельные всплески возмущений $R_{s}\left(t, y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t)\right)$ компенсировались в среднем малостью их на большей части интервала ( $t, t+T$ ). Задача об устойчивости при возмущениях, малых в среднем, изучалась, например, И. Вркочем (Интегральная устойчивость, Чехослов. матем. журнал, т. 9, № 1, 1959) и В. Е. Гермаидзе и Н. Н. Красовским (Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях, ПММ, т. 21, вып. 6, 1957).

Были исследованы также аналогичные задачи об устойчивости при малых запаздываниях воздействий и сигналов в системах, описываемых уравнениями вида (2.1) и уравнениями с запаздывающим аргументом (см., например, работу: Репин Ю.М., Об устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом. ПММ, т. 21 , вып. 2, 1957).
E. А. Барбашиным была поставлена и исследована задача об осуществлении программного движения $y_{s}=f_{s}(t)$ при импульсных возмущениях (см. работы: О построении периодических движений. ПММ, т. 25, вып. 2, 1961; Программное регулирование систем со случайными параметрами. ПММ, г. 25 , вып. 5,1961 ).

Были изучены некоторые задачи об устойчивости при случайных возмущениях $R_{s}$ с известными вероятностными характеристиками (см., например, работы: Кац Y. Я., Красовскић Н. Н., Об устойчивости систем со случайными параметрами. ПММ, т. 24 , вып. 5, 1960; Хасьминский Р. 3., Об устойивости траекторий марковских процессов. ПММ, т. 26, вып. 6,1962 ).

Это перечисление ни в коей мере не претендует на полноту. Из весьма большого числа исследований, посвященных рассматриваемым вопросам, мы ограничились лишь упоминанием отдельных работ.

Bce упомянутые задачи обладают общим свойством, отмеченным выше в монографии для основного определения устойчивости при постоянно денствующих возмущениях $R_{s}$, а именно справедливы следующие утверждения:
1) В практически интересных случаях эти задачи приводятся к проблеме устойчивости по Ляпунову.
2) Асимптотическая устойчивость движения $x_{s}=0$ является достаточным условием его устойчивости при постоянно денствующих возмущениях описанных типов (по крайней мере для установившихся и периодических невозмущенных движении).
3) Для исследования новых задач устоичивости при различных возмущениях $R_{s}$ пригодны классические методы теории Ляпунова, модернизированные в соответствии с особенностями этих задач.

К стр. 26. Первый метод А. М. Ляпунова позволил ему получить ряд весьма глубоких и важных результатов. В качестве примера отметим изящную теорию условной устоичивости, развитую А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устоичивости движения» (Гостехиздат, 1950) на основе первого метода. Эти результаты послужили источником глубоких исследований более поздних авторов по теории дифференциальных уравнений и, в частности, по устойчивости движения и по проблемам теории нелинейных колебаний. Одно из достоинств данного метода состоит в том, что он работает в наиболее тонких случаях и позволяет не только указать качественную картину изучаемого явления, но и построить явный вид исследуемых решений $x_{s}(t)$.

В настоящей монографии основной упор делается на второй метод Ляпунова. Поэтому результаты теории устойчивости, связанные с первым методом, затрагиваются лишь частично.

К стр. 26. В связи с новыми задачами об устойчивости нелинейных систем и в связи с проблемами стабилизации управляемых движений в последние годы (начиная приблизительно с 1950 года) интерес ко второму методу Ляпуюова весьма возрос. Исследование принципиальных математических проблем, относящихся к этому методу, а также исследование вопросов эффективного построения функций Ляпунова для прикладных задач начатые впервые в нашей стране, были развиты в эти годы в большом числе серьезных работ советских и иностранных специалистов. При этом всестороннем исследовании были установлены универсальность и эффективность второго метода Ляпунова для широкого круга проблем, включая, например, задачи об устойчивости в целом нелинейных систем автоматического регулирования, задачи об устойчивости систем с запаздываниями воздействий во времени, задачи об устойчивости стохастических систем и т. д. Выяснилось также, что метод функций Ляпунова может быть использован для решения проблем синтеза оптимальных управляемых систем с обратной связью, так как он тесно переплетается с методами динамического программирования в теории оптимальных процессов (см. приложение IV).

К стр. 28. Данные определения свойств знакоопределенности и знакопостоянства функций $V$ описывают поведение этих функций лишь в малой окрестности (6.3) невозмущенного движения $x_{s}=0$. Этого достаточно для исследования вопросов об устойчивости, неустойчивости или об асимптотичєской устойчивости при достаточно малых начальных возмущениях $x_{s}\left(t_{0}\right)$. При исследовании вторым методом Ляпунова задачи об асимптотической устойчивости в большом (см. выше примечание к стр. 18) приходится рассматривать поведение функций $V$ в достаточно большой области $G$ изменения переменных $x_{s}$, а в случае задачи об устойчивости в целом следует рассматривать $V$ при всех значениях $x_{s}$. Поэтому в таких случаях определение свойства знакопостоянства или знакоопределенности должно сопровождаться указанием или оценкой той области изменения $x_{s}$, в которой выполняется соответствующее свойство.

К стр. 38. Теорема Б может быть обобщена на случаи асимптотической устойчивости в большом и в целом (см. примечание к стр. 18). Это обобщение достигается за счет введения в формулировку теоремы оценок, характеризующих область асимптотической устойивости. Таким путем получаются следующие критерии асимптотической устойчивости.

Теорема Б $_{1}$. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти функиию $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, знакоопределеннуо в области
\[
\left|x_{s}\right| \leqslant Q \text {, }
\]

полная произодная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция, также знакоопределенная в этой области, знака, противоположного с V, причем выполняется неравенство $M_{N}<m_{Q}$, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво в большом относительно начальных возмущений $x_{s}\left(t_{0}\right)$ из области
\[
\left|x_{s}\left(t_{0}\right)\right| \leqslant N .
\]

Здесь символ $m_{Q}$ означает точный нижний предел функции $\left|V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right|$ при условии $x=Q \quad\left(x=\max \left(\left|x_{1}\right|, \ldots,\left|x_{n}\right|\right)\right)$, символ $M_{N}$ означает точный верхнай предел функции $\left|V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right|$ при $x=N$. Предполагается, естественно, что $N<Q$.

Читателю, внимательно разобравшему доказательство теоремы Б, смысл неравенства $M_{N}<m_{Q}$ в формулировке теоремы Б $_{1}$ должен быть ясен, и он сможет сам провести доказательство теоремы $5_{1}$ по тому же плану, по которому проведено выше доказательство теоремы Б. Достаточный критерий устойчвости в целом формулируется следующим образом.

Теорема $\mathrm{Б}_{2}$. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможо найти определенно-положительную бункцию $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, полная производная по времени которой, составленная в силу этих уравнений, есть при всех $x_{s}$ функция определенно-от рицательная, и если при этом
\[
\lim _{x \rightarrow \infty} V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\infty,
\]

то невозмущенное движение асимптотически устойчиво в целом.
Смысл последнего условия $\lim V=\infty$ состоит в следующем: при этом условии для любого числа $N$ можно подобрать число $Q>N$, удовлетворяющее неравенству $M_{N}<m_{Q}$. Но тогда справедливость теоремы $\mathrm{5}_{2}$ выводится из теоремы $\mathrm{\zeta}_{1}$. Важность этого условия для задач устойивости в целом была отмечена Н. П. Еругиным (см. работу: Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования. ПММ, т. XVI, вып. 5, 1952) и Е. А. Барбашиным (см. работу: Барбашин Е. А., Красовский Н. Н., Об устойчивости движения в целом. ДАН СССР, т. 86, вып. 3 , 1952).

К стр. 47. Дополнительное условие (12.9) не является стеснительным, так как всегда можно предполагать, что характеристики $f(\sigma)$ реальных систем этому условию удовлетворяют. Кроме того, следует иметь в виду, что теорема $\mathrm{B}_{2}$ является достаточным критерием устойчивости. Поэтому дополнительное условие (12.9) является в подобных случаях достаточным, но отнюдь не необходимым условием устойивости в целом. Детальный анализ рассмотренной в этом параграфе задачи А. И. Лурье, учитывающий многие исследования этой проблемы, выполненные в последнее время, содержится в книге М. А. Айермана и Ф. Р. Гантмахера, упомянутой выше в примечании к стр. 18. Отметим еще, что исследование данной задачи А. И. Лурье занимает большое место в монографии А. М. Летова, посвященной нелинейным регулируемым системам (см. также примечание к стр. 18).

К стр. 68. Функция $V$ удовлетворяет, естественно, и дополнительному условию
\[
\lim _{x \rightarrow \infty} V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\infty,
\]

фигурирующему в теореме $\mathrm{B}_{2}$ (см. примечание к стр. 38), указывающей достаточные условия устоичивости в целом. Отметим, кстати, что для линейных систем асимптотическая устойивость в целом является очевидным следствием асимптотической устоичивости относительно начальных возмущений $x_{s}(t)$ из малой окрестности невозмущенного движения $x_{s}=0$.

К стр. 70. Необходимые и достаточные условия существования функции $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, удовлетворяющен условиям теоремы В в предположении неустоичивости установившегося движения $x_{s}=0$, заключаются в следующем: достагочно малая окрестность $\left|x_{s}\right|<\eta$ точки $x_{s}=0$ не должна содержать целиком движений $x_{s}(t)(-\infty \lessdot$ $<t<\infty$ ), отличных от невозмущенного движения $x_{s}=0$. Доказательство этого утверждения можно найти в книге: Красовскић Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движения, физматгиз, 1959, стр. 43. В рассмотренном в данном параграфе примере указанное условие не выполняется, так как в любой окрестности точки $x_{s}=0$ содержатся положения равновесия $x_{s}=c_{s}$, отличные от этой точки.

К стр. 89. При применении более гибкого способа построения функции Ляпунова $V(x, y)$, включающен, помимо квадратичных членов, слагаемые вида
\[
\int_{0}^{x} f(\xi) d \xi,
\]

для задач, подобных рассматриваемой здесь, получаются более общие достаточные условия устойчивости в целом, весьма близкие к необходимым условиям (см. дополненде I). Однако такой метод построения функций Ляпунова $V$, естественно, выходит за рамки классической теории устойчивости движения по первому приближению, рассматриваемой в этой главе.

К стр. 109. В этом случае система (28.6) допускает голоморфный интеграл – семейство инвариантных поверхностей
\[
x=f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, c\right), f(0,0, \ldots, 0)=0,
\]

на каждой из которых имеется особая точка $x=c, x_{s}=u_{s}(c)$, $s=1,2, \ldots, n$ (см. Ляпунов А. М.., Общая задача об устойчивости движения, Гостехиздат, 1950). Расположение траекторий системы (28.6) при $n=2$ на произвольной поверхности $x=f\left(x_{1}, x_{2}, c\right)$ для достаточно малого $c$ в окрестности точки $x=c, x_{s}=u_{s}(c)$, $s=1,2$ выяснено в работе Б. Н. Скачкова (Вестник ЛГУ, № 8, 1954).

К стр. 126. Проблема центра и фокуса до последнего времени продолжает оставаться одной из основных задач качественной и эналитической теорий обыкновенных дифференциальных уравнений Например, отметим следующий результат. Если в системе (36.1) $X$ и $Y$ – многочлены от $x$ и у фиксированной степени, то для нее число условий центра конечно (Апьмухамедов М. И. Изв. физ.матем. общества, (3), 8, Казань, $1936-1937 ; 9,1937$ ). Эти условия на Идены в явном виде для случаев: а) $X \equiv 0, Y$ – многочлен от $x$ и у третьей или пятой степени (Куклес И. С. ДАН СССР, т. 42, № 4 и 5, 1944); б) $X$ и $Y$ – однородные многочлены от $x$ и $y$ второй степени (Сибирский К. С. Изв. АН СССР, сер. матем., № 11, 1963); в) $X$ и $Y$ – однородные многочлены от $x$ и у третьей степени (Сахарников Н. А. ПММ, т. 14, вып. 6, 1950; Малкин К. Е. Волжский матем. сб., вып. 2, 1964).

Для системы (36.1) в общем случае разработаны новые варианты записи условий центра и новне способы составления таких условий (Куклес И. С., Нуров Т. Н. Изв. высш. учебн. заведений, Математика, № 6, 1963; Альм ухамедов М. И. Уч. зап. Казанск. пед. ин-та, вып. 10, 1955; Малкин К. Е. Уч. зап. Рязанск. пед. ин-та, т. 24, 1960). Полностью решен вопрос о существовании проходящей через начало координат оси симметрии поля направлений (Сиб и рски К. С. ДАН СССР, т. 151, №3, 1963).

К стр. 196. Теорема II, так же как и аналогичная теорема Б в стационарном случае, может быть обобщена на случаи асимптотической устойчивости в большом и в целом. Таким путем получается, например, следующий критерий устойчивости в целом. Будем говорить, что функция $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ является определенно-положительной и допускает высший предел в целом, если можно указать две непрерывные функции $w\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ такие, что при всех значениях $x_{s}$ выполняются неравенства
\[
w\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \leqslant V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \leqslant W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

причем функция $w\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ определенно-положительна, кроме того,
\[
\lim _{x \rightarrow \infty} w\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\infty \quad\left(x=\max \left(\left|x_{1}\right|, \ldots,\left|x_{n}\right|\right)\right)
\]

и
\[
W(0, \ldots, 0)=0 .
\]

Справедливо утверждение.
Теорема $\mathrm{II}_{1}$. Если можно указать функцию $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, которая была бы определенно положительной а допускала бы высший предел в целом, причем ее производная $\frac{d V}{d t}$ в силу уравнений возмущенного движения была бы функцией определенно-от рицательной при всеу значениях $x_{s}$, то невозмущенное движение $x_{s}=0$ асимптотически устойчиво в целом.

На доказательстве этой теоремы останавливаться не будем, так как оно проводится по тому же плану, что и доказательство теоремы II с небольшими дополнениями, связанными с особенностями постановки задачи об устоћчивости в целом. Эти особенности подчеркнуты выше в примечаниях к стр. 18 и 38.

К стр. 235. В последнее время уравнение (59.2), так же как и более общие случаи линейных канонических систем с периодическими коэффициентами, было подвергнуто дальнейшему подробному изучению. При этом были получены новые интересные результаты.

Теории периодических систем посвящен обзорный доклад В. М. Старжинского и В. А. Якубовича на II Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в Москве 27.
1964 г. (Сборник трудов II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, Изд. АН СССР, 1965).

К стр. 306. За время, прошедшее после выхода в свет первого издания настоящей монографии, проблема существования функций Ляпунова $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, удовлетворяющих условиям теорем I, II и III, послужила предметом весьма большого числа исследований. Основной вывод, который следует из результатов этих работ, таков:

Характер поведения возмущенных движений, определенный той или иной бункцией $V$ из классических теорем второго метода Ляпунова, является не только необходимым, но и достаточным условием существования такой функции.

При этом выяснилось, что свойства гладкости функций $V$ могут быть намного выше, чем гладкость правых частей соответствующих уравнений возмущенного движения.

В частности, вопрос об обратимости теоремы II с достаточной полнотой был решен в работе И. Г. Малкина «К вопросу об обратимости теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости», которая составляет содержание дополнения II, приведенного в настоящем издании этой монографии. Более подробно с проблемами существования функций Ляпунова и методами исследования этих проблем читатель может ознакомиться также по работам: Барбашин Е. А., Метод сечений в теории динамических систем, Матем. сб., т. 29, вып. 2, 1951; Барбашин Е. А., Красовский. Н., Об устойчивости движения в целом. ДАН СССР, т. 86, вып. 3, 1952; О существовании функции Ляпунова в случае асимптотической устоичивости в целом. ПММ, т. 18, вып. 3, 1954; M as sera J. L., On Liapounofifs condition of stability. Annals of Mathematics, т. 50, № 3, 1949. Contributiono to stability theory. Annalo of Math., v. 64, № 1, 1956; Курцвеиль Я., К обращению первой теоремы Ляпунова об устойчивости движения. Чехосл. матем. журнал, т. 5 (80), 1955; Об обращении второй теоремы Ляпунова об устоћчивости движения. Чехосл. матем. журнал, т. 6 (81), №2, 1956; Курцвейль Я., Вркоч И., Об обращении теоремы Ляпунова об устойчивости и теорємы Персидского о равномерной устойчивости. Чехосл. матем. журнал, т. 7 (82), № 2, 1957; Зубов В. И., К теории второго метода А. М. Ляпунова. ДАН СССР, т. 99, вып. 3, 1954; Вопросы теории второго метода Ляпунова, построение общего решения в области асимптотической устойчивости. ПММ, т. 19 , вып. 6,1955 ; К теории второго метода А. М. Ляпунова. ДАН СССР, т. 100, вып. 5, 1955; Методы А. М. Ляпунова и их применение, Изд-во ЛГУ, 1957; Вркоч И., Обращение теоремы Четаева. Чехосл. матем. журнал, т. 5 (80), 1955; Joshizawa T., On the stability of solutions of a system of differential equations. Memoirs of the Colledge of science. Univ. of Kyoto,
XXIX, № 1, ser. А, math, 1955; Красовския Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, 1959.

Подчеркнем, что здесь упомянута лишь небольшая часть работ из обширной библиографии вопроса.

Отметим еще два обстоятельства, связанные с задачами о существовании функций Ляпунова.
1. Решение этих проблем в положительном смысле ғозволило продвинуть теорию устойчивости движений при постоянно действющих возмущениях. Это объясняется тем, что наличие функции Ляпунова позволяет обычно доказать сохранение соответствующих свойтв при малых добавках к уравнениям возмущенного движения (см., например, материал на стр. $461-462$ настоящей монографии). Таким образом, параллельно с теорией существования функций Ляпунова в последние годы существенно развияась теория устойчивости при постоянно денствующих возмущениях (см. также примечание к стр. 21).
2. Методы, использованные в большинстве работ о существовании функций Ляпунова, позволяют решить вопрос лишь в принципе. Однако эти методы, как правило, мало полезны для эффективного построения функций Ляпунова в конкретных прикладных задачах.

К стр. 307. Вопрос об обратимости теорем А. М. Ляпунова и Н. Г. Четаева о неустойчивости решается следующим образом.

Функция $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, удовлетворяющая условиям теоремы Н. Г. Четаева, существует во всех случаях неустойчивости (см. упомянутую работу И. Вркоча и монографию Н. Н. Красовского).

Теорема Ляпунова о неустойчивости (теорема В) обратима не всегда, как это уже отмечалось выше на стр. 70 (см. также примечание к этой странице). Необходимые и достаточные условия существования функции $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, которая удовлетворяет условиям теоремы III, таковы:

функция $V$ из теоремы III существует тогда и только тогда, когда выполнены условия: 1) невозмущенное движение $x_{s}=0$ неустоичиво; 2) существует число $\varepsilon>0$ такое, что каково бы ни было число $\eta<\varepsilon$, можно указать число $T(\eta)>0$ так, что $x\left(t^{*}\right)>\varepsilon$ в некоторый момент времени $\left|t^{*}-t_{0}\right|<T$, если только $\varepsilon>x\left(t_{0}\right) \geqslant \eta$. Здесь $x=\max \left(\left|x_{1}\right|, \ldots,\left|x_{n}\right|\right)$.

В частности, в случае установившегося движения $x_{s}=0$, когда правые части уравнений возмущенного движения не зависят явно от $t$, условие 2) означает, что $\varepsilon$ – окрестность точки $x_{s}=0$ не содержит целиком движений $x_{s}(t) \quad(-\infty<t<\infty)$, кроме самой точки $x_{s}=0$. Доказательство приведенных утверждений можно найти в цитированной монографии Н. Н. Красовского.

к стр. 350. После 1952 года были построены весьма интересные примеры, показывающие, что характеристичные чис́ла правильных систем могут оказаться неустойчивыми (см. работы: Виноград Р. Э. ПММ, т. 17, вып. 6, 1953; ДАН СССР, т. 103, № 4, 1955). Были найдены условия устойчивости характеристичных чисел (см. работы: Виноград Р. Э. ДАН СССР, т. 119, № 4, 1958; Былов Б. Ф. Мат. сборник, т. 43, № 1, 1959). Отметим, в частности, один тонкић результат (Богданов Ю. С., О существовании аппроксимирующей последовательности для правильной линеинной дифференциальной системы. Успехи матем. наук, т. XV, вып. 1, 1960), относящийся к вопросу об устойчивости характеристичных чисел правильных систем.

Пусть $p$-вещественная ( $n \times n$ )-матрица, заданная, кусочнонепрерывная и ограниченная для вещественного аргумента $t \geqslant 0$, $k=1,2,3, \ldots ; m$ означает $k$ или отсутствие индекса; $T$ – безгранично возрастающая последовательность положительных чисел $t_{k}$; $p_{k}$ – матрица-функция, совпадающая с $p$ на интервале $\left[0, t_{k}\right)$ и периодически продолженная вне его; $S_{m}$ – система линеинны дифференциальных уравнений $\frac{d x}{d t}=p_{m} x ; \lambda_{m}$ – совокупность расположенных в порядке возрастания характеристичных чисел нормальной системы решении $S_{m}$, рассматриваемая как вектор. Последовательность $T$ назовем аппроксимирующей, если $\lambda_{k} \rightarrow \lambda$ при $k \rightarrow \infty$.
К. П. Персидский (см. работу, цитированную в сноске на стр. 341) высказал следующее угверждение: если $S$-правильная система, то любая последовательность $T$ является аппроксимирующей. Впоследствии P. Э. Виноград (Успехи матем. наук, т. IX, вып. 2,1954 ) на примере ряда систем двух уравнений показал несостоятельность этого утверждения. Оказалось, что для правильных (более того, периодических) систеи, рассмотренных Р. Э. Виноградом, существуют $T$, которые не являются аппроксимирующими.
Н. П. Еругин поставил вопрос: можно ли для любой правильной системы $S$ указать по крайней мере одну аппроксимирующую последовательность $T$. Оказалось, что: 1) существуют правильные системы, для которых ни одна последовательность $T$ не является аппроксимирующей; 2) любая правильная двумерная система $S$ ортогональной подстановкой переменных, коэфбищиенты которой зависят только от аргумента системы и верхней грани модулей элементов р, может быть преобразована квиду, при котором аппроксимирующая последовательность $T$ заведомо существует.

К стр. 351. Доказанная теореиа допускает уточнение, которое проведено в работе: Богданов Ю. С., Замечание к § 81 монографиии И. Г. Малкина «Теория устойчивости движения», Гостехтеориздат, 1952. ПММ, т. 20, вып. 3, 1956.
Ниже эта работа приводится целиком.

Рассмотрим систему однородных линейных дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}_{i}=p_{1 i} x_{1}+\ldots+p_{n i} x_{n} \quad(l=1, \ldots, n)
\]

с коэффициентами $p_{i j}=p_{i j}(t)$, заданными, непрерывными и ограниченными для $t \geqslant 0$. Если $x_{i 1}, \ldots, x_{i n}, i=1, \ldots, n$ – фундаментальная система решений (1) с характеристичными числами решений $\mu_{1}^{\prime}, \ldots, \mu_{n^{\prime}}^{\prime}$, то всегда
\[
\mu_{1}^{\prime}+\ldots+\mu_{n}^{\prime}+\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t}\left(p_{11}+p_{22}+\ldots+p_{n n}\right) d t \leqslant 0 .
\]

Система (1) правильна тогда и только тогда, если можно указать такую фундаментальную систему решений ее, для которой в (2) имеет место знак равенства. Если такая фундаментальная система решений существует, то она необходимо нормальная согласно Ляпунову.

Пусть $X(t, \tau) \equiv\left(x_{i j}(t, \tau)\right)$ – матрица, которая при фиксированном $\tau$ представляет собой фундаментальную систему решений (1), нормированную для $t=\tau(X(\tau, \tau)=I)$, а $\mu_{i}$ означает характеристичное число решения (1) $x_{i 1}(t, 0), \ldots, x_{i n}(t, 0)$.

Определение. Назовем (1) системой $A$, если по любому положительному $\gamma$ можно указать постоянное $C_{\gamma}$, не зависящее ни от $t$, ни от $\tau$, такое, что
\[
\left|x_{i j}(t, \tau)\right|<\left\{\begin{array}{ll}
C_{\gamma} \exp \left[\left(\gamma-\mu_{i}\right)(t-\tau)\right] & (0 \leqslant \tau \leqslant t), \\
C_{\gamma} \exp \left[\left(\gamma+\mu_{i}\right)(\tau-t)\right] & (0 \leqslant t \leqslant \tau) .
\end{array}\right.
\]

Именно такие системы рассматриваются в одном из разделов (§81) книги И. Г. Малкина. В указанном разделе доказывается, что если система (1) удовлетворяет условию (3) и правильна, то ее характеристичные числа устоичивы. Нетрудно убедиться, что верно следующее предложение. Системы $A$ всегда правильны (следствие: характеристичные числа любой системы А устойчивы).

Доказательство. Из известных свойств фундаментальных систем решений следует, что $X(t, \tau)=X^{-1}(\tau, 0) X(t, 0)$. Поэтому $X^{-1}(t, \tau)=X(\tau, t), X^{-1}(t, 0)=X(0, t)$. Далее,
\[
\begin{aligned}
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t} \sum_{i=1}^{n} p_{i i} d t=-\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln \left|\operatorname{det} X^{-1}(t, 0)\right| & = \\
& =-\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln |\operatorname{det} X(0, t)|
\end{aligned}
\]

\[
\begin{array}{l}
\text { но }|\operatorname{det} X(0, t)| \leqslant C_{\gamma}^{n} n ! \exp \left(n \gamma+\mu_{1}+\ldots+\mu_{n}\right) \text { (см. (3′) при } t=0, \\
\tau=t) . \text { Поэтому } \\
-\lim _{t \rightarrow \infty}\left(t^{-1} \ln |\operatorname{det} X(0, t)|\right) \geqslant-n \gamma-\mu_{1}-\ldots-\mu_{n} \text { при } t \rightarrow \infty
\end{array}
\]

Число $\gamma$-произвольное, значит,
\[
\underset{t \rightarrow \infty}{\lim } \frac{1}{t} \int_{0}^{t} \sum_{t=1}^{n} p_{i t} d t=-\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln |\operatorname{det} X(0, t)| \geqslant-\mu_{1}-\ldots-\mu_{n} .
\]

Таким образом, для фундаментальной системы решений системы (1)
\[
\mu_{1}+\ldots+\mu_{n}+\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t}\left(p_{11}+p_{22}+\ldots+p_{n n}\right) d t \geqslant 0 .
\]

Сопоставляя (4) с соотношением (2), верным для любой фундаментальной системы решений (1), приходим к заключению, что (4) должно быть равенством, а это и доказывает правильность системы (1) – произвольной системы $A$ (фундаментальная система решений (1), нормированная в точке $t=0$, попугно оказалась нормальной).

Замечание 1. Условия (3) можно сформулировать, не предполагая $\mu_{i}$ характеристичными числами системы (1), но лишь некоторыми постоянными, не зависящими ни от $\gamma$, ни от $\tau$. Однако из проведенных рассуждений ясно, что ничем другим как характеристичными числами системы (1) $\mu_{i}$ быть не могут.

Замечание 2. Если (1) – система $A$, то нормальной будет любая фундаментальная система решений (1), нормированная в какой нибудь точке $t=\tau$, поэтому, например, из $\mu_{1}>\mu_{2}>\cdots>\mu_{n}$ следует, что $p_{i j} \equiv 0$ для $i<j(l, j=1, \ldots, n)$.

К стр. 362. После 1952 года в теории характеристичных чисел Ляпунова получен ряд новых результатов.

Проведены глубокие исследования зависимости характеристичных чисел системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими и почти периодическими коэффициентами от параметров, входящих в коэффициенты. Получены разложения характеристичных чисел в ряды по степеням параметра, найдены оценки снизу радиуса сходимости таких рядов, позволяющие эффективно оценивать погреш.ность, возникающую при замене указанных рядов частными суммами. Все эти вопросы подробно освещены в монографии: Еругин Н. П., Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами, Изд. АН БССР, Минск, 1963.

Опубликованы оценки характеристичных чисел, найенные в свое время Н. Г. Четаевым (ПММ, т. 24. вып. 1. 1960) как для систем общего вида, так и для систем, коэффициенты которых имеют ограниченное колебание. Указаны и другие эффективные оценки характеристичных чисел (Горбунов А. Д. Вестник МГУ, № 2, 1956).

Открыта новая характеристика системы – центральный показатель, управляющий скачками характеристичных чисел, и указаны способы вычисления этой характеристики для ряда систем (Виноград Р. Э. Матем. сб., т. 42, № 2, 1957).

Доказано, что данную систему уравнений всегда можно заменить системой с кусочно постоянными коэффициентами, причем характеристичные числа обеих систем будут совпадать (Богданов Ю. С. Матем. сб., т. 41, № 1, 1957). Предпринята попытка распространить теорию характеристичных чисел на нелинейные системы (Богдан о в Ю. С. ДАН СССР, т. 158, № 1, 1964).

К стр. 366. Приведенные геометрические соображения указывают путь для обоснованного аналитического доказательства теоремы, которое, строго говоря, должно дополнить эти соображения. Это подробное доказательство, однако, помимо технических деталей не содержит интересных новых моментов и здесь не приводится. Кроме того, следует иметь в виду, что возможно и другое доказательство теоремы, исходя непосредственно из существования в рассматриваемом случае функции Ляпунова $V$, удовлетворяющей оценке (см. монографию: Красовски Н. Н., Некоторые задачи теории устоичивости движения, Физматгиз, 1959)
\[
\begin{array}{c}
\frac{d V}{d t} \leqslant-c_{3}\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)^{v+m-1}, \\
\left|\frac{\partial V}{\partial x_{i}}\right| \leqslant c_{4}\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)^{v-1} . \\
\left(c_{3}>0, c_{4}>0 \text { – постоянные }\right) .
\end{array}
\]

Доказательство теоремы с помощью такой функции $V$ проводится стандартным путем.

К стр. 377. Как отмечено выше, критерии устойчивости по линейному приближению, даваемые теоремами 1-3, означают следующее. Если в случае неустановившегося движения $x_{s}=0$ в линей ном приближении движение $x_{s}=0$ асимптотически устончиво и если при этом возмущенные движения $x_{s}\left(t, t_{0}\right)$ линейного приближения (88.4) удовлетворяют оценке (88.5), характерной для асимптотической устойчивости линейных систем с постоянными параметрами, то имеет место асимптотическая устойчивость и полной нелинеиной системы (88.1) при vсловиях (88.3). В такой форме этот критерий обобщается на задачи устойчивости по первому приближению и в тех случаях, когда первое приближение не является линейным, но когда в правых частях уравнений первого приближения стоят однородные формы от $x_{s}$ произвольного порядка $m \geqslant 1$ с переменными по времени $t$, непрерывными и ограниченными коэффициентами (см. монографию Н. Н. Красовского в примечании к стр. 306).

Отметим еще, что выяснился следующий любопытный факт: линейность системы (88.4) не является существенной для справедливости утверждения, подобного теореме 2. Именно, если для некоторых уравнений
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $X_{s}$ – произвольные нелинейные функции, удовлетворяющие условиям Јипшица, выполняется оценка (88.5), то невозмущенное движение $x_{s}=0$ асимптотически устойчиво в силу уравнений
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\varphi_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\]

при любом выборе функций $\varphi_{s}$, удовлетворяющих неравенству (88.3), если только постоянная $A$ достаточно мала.

Это утверждение доказано в работе: Барбашин Е. А., Скалкина М. А., К вопросу об устсйчивости по первому приближению. ПММ, т. 19, вып. 5, 1955.

К стр. 383. Сформулированная теорема известна под названием «принципа сведения». Этот принцип, введенный фактически А. М. Ляпуновым и лежащий в основе его метода исследования критических случаев, играет постоянно центральную роль при изучении этих случаев, фигурируя в той или иной форме почти во всех работах, посвященных им. В процессе истользования принцип сведения подвергся усовершенствованию в соответствии с рассматриваемыми конкретными задачами. Заметим, в частности, что в последнее время этот принцип получил весьма существенное развитие в работах В. А. Плисса (см., например, работы: Плисс В. А., О принципе сведения в теории устойчивости движения. ДАН СССР, т. 164, № 5 , $1964 ;$ О принципе сведения в теории устойчивости движения. Изв. AН СССР, Математика, т. XXVIII, № 6, 1964).

К стр. 384. Это преобразование можно использовать лишь при условии, что $r
eq 0$. В самом деле, при $r=0$, но $x_{s}
eq 0$ величины $\xi_{s}$ становились бы бесконечно большими. В соответствии с этим ниже, если не сделано дополнительных оговорок, следует иметь в виду, что новые переменные $\xi_{s}$ используются при рассмотрении траектории $x_{s}(t), y_{i}(t)$ системы (91.1) лишь в такой области изменения $x_{s}, y_{i}$, где $\left|\xi_{s}\right| \leqslant H$. Здесь $H$ – некоторая положительная постоянная. Область в пространстве $\left\{x_{s}, y_{i}\right\}$, где $\left|\xi_{s}\right|<H$, будем обозначать символом $G$. Область $G$ охватывает многообразие $x_{1}=\ldots=x_{n}=0, y_{1}^{2}+\ldots$ $\cdots+y_{k}^{2}
eq 0$, сжимаясь в точку при приближении к началу координат.

К стр. 422. Задача, рассмотренная в этом параграфе, для системы второго порядка решалась также методами качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости.
Для системы
\[
\frac{d x}{d t}=y+X(x, y), \quad \frac{d y}{d t}=Y(x, y)
\]

выяснены возможные топологические типы расположения траекторий [в окрестности точки $(0,0)$ встречается 10 различных типов] и полностью решена задача их различения с точностью до проблемы различения центра и фокуса (Хаимов Н. Б., Уч. зап. Сталинабад. пед. ин-та, т. II, 1952; Андреев А. Ф. Вестник ЛГУ, № 8, 1955). Последняя проблема решена для случая, когда $X$ и $Y$ являются однородными многочленами от $x$ и $у$ третьей степени (Андреев А. Ф. ПММ, т. 17, вып. 3,1953$)$.

Для произвольной системы второго порядка с аналитическими в точке $(0,0)$ правыми частями
\[
\frac{d x}{d t}=X(x, y), \quad \frac{d y}{d t}=Y(x, y) \quad(X(0,0)=Y(0,0)=0)
\]

разработан алгоритм, позволяющий конечным числом операций, во-первых, выяснить, является ли точка $(0,0)$ особой точкой 1-й группы (имеются ли траектории, примыкающие к этой точке с определенными касательными) или 2-й группы (центр или фокус); во-вторых, в случае, когда точка $(0,0)$ принадлежит к 1 – и группе, выяснить расположение траекторий в ее окрестности (исключая некоторые особые подслучаи) (Куклес И. С. Труды 3-го Всесоюзн. матем. съезда, М., АН СССР, т. III, 1958; Андреев А. Ф. Вестник ЛГУ, № 1, 1962), причем найдены оценки для упомянутого выше числа операций (Куклес И. С., Груз Д. М. Изв. АН Уз.ССР, № 1, 1958; Андреев А. Ф., Дифференциальные уравнения, т. 1, № 9 , 1965).