Из предыдущего ясно, что для задачи устойчивости имеет большое значение вопрос о знаках вещественных частей корней алгебраических уравнений. В частности, вєжно знать необходимые и достаточные условия, при которых все корни уравнения имеют отрицательные вещественные части. Эти необходимые и достаточные условия даются теоремой Гурвица, которую мы приводим здесь без доказательства ${ }^{1}$ ).
Теорема Гурвица. Пусть предложено уравнение $n$-й стеnени
\[
a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\ldots+a_{n-1} x+a_{n}=0 .
\]
Составим определители
где $a_{i}=0$, если $i>n$.
1) Доказательство теоремы Гурвица можно найти в книге: К у р ош А. Г., Курс высшей алгебры, Гостехиздат, 1946, а также в книге: Чета в В. Г., Устойчивость движения, Гостехиздаг, 1946. В технических приложениях теории устойчивости движения для проверки отрицательности вещественных частей корней характеристического уравнения часто используется не теорема Гурвица, а другие критерии. В частности, в теории автоматического регулирования, радиотехнике и электронике обычно применяются так называемые частотные критерии, базирующиеся на понятии передаточной функции системы (см., например, По пов Е. П., Динамика систем автоматического регулирования, Гостехиздат, 1954).
Для төго чтобы все корни уравнения (25.1) имели от рицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись неравенства
\[
\Delta_{1}>0, \Delta_{2}>0, \ldots, \Delta_{n-1}>0, a_{n}>0 .
\]
Для уравнения третьей степени
\[
a_{0} x^{3}+a_{1} x^{2}+a_{2} x+a_{3}=0
\]
имеем условия:
\[
a_{1}>0,\left|\begin{array}{ll}
a_{1} & a_{0} \\
a_{3} & a_{2}
\end{array}\right|=a_{1} a_{2}-a_{3} a_{0}>0, a_{3}>0 .
\]
Для уравнения четвертой степени
\[
a_{0} x^{4}+a_{1} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{3} x+a_{4}=0
\]
имеем:
\[
a_{1} \gtrdot 0, \quad\left|\begin{array}{ll}
a_{1} & a_{0} \\
a_{3} & a_{2}
\end{array}\right|>0,\left|\begin{array}{lll}
a_{1} & a_{0} & 0 \\
a_{3} & a_{2} & a_{1} \\
0 & a_{4} & a_{3}
\end{array}\right|>0, a_{4}>0
\]
или
\[
a_{1}>0, a_{1} a_{2}-a_{3} a_{0}>0, a_{3}\left(a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}\right)-a_{4} a_{1}^{2}>0, a_{4}>0 .
\]
Из третьего условия на основании четвертого вытекает $a_{3}$ ( $a_{1} a_{2}$ – $a_{0} a_{3}$ ) > $a_{4} a_{1}^{2}>0$, следовательно, второе условие может быть заменено неравенством $a_{3}>0$. Таким о5разом, условия отрицательности вещественных частей корней уравнения (25.3) имеют вид
\[
a_{1}>0, a_{3}>0, a_{3}\left(a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}\right)-a_{4} a_{1}^{2}>0, a_{4}>0 .
\]
