Рассмотрим решение $x_{s}=F_{s}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)$ уравнении (101.1) с начальными условиями $F_{s}\left(t_{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)=x_{s}^{0}$. Если невозмущенное движение асимптотически устойчиво, то найдется такое достаточно малое положительное число $\delta$, что при всех начальных значениях, лежащих в области
\[
x^{0} \leqslant \delta^{2}, t \geqslant 0,
\]

будут выполняться соотношения
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} F_{s}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)=0 .
\]

Мы сенчас покажем, что для того, чтобы для уравнений (101.1) существовала функция $V$, удовлетворяющая всем условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устоиччивости, необходимо и достаточно, чтобы соотношения (102.2) выполнялись равномерно относительно $x_{j}^{0}$ и $t_{0}$. Мы докажем, следовательно, что имеют место две следующие теоремы.

Теорема 1. Если существует такое положительное число $\delta$, что соотношения (102.2) выполняются равномерно относительно $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}$, лежащих в области (102.1), то существует допускающая бесконечно малый высший предел определенно-положительная функция $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, полная прозводная которой по времени, составленная в силу уравнений (101.1), есть функция оп ределенно-от рицательная.

Доказательство. Заметим прежде всего, что при выполнении условий теоремы невозмущенное движение будет равномерно устойчивым. Другими словами, для всякого положительного числа $\varepsilon$ можно найти не зависящее от $t_{0}$ положительное число $\eta(\varepsilon)$ такое, что при всех $t \geqslant t_{0}$ будут выполняться условия $F<\varepsilon^{2}$, коль скоро $x^{0} \leqslant \eta^{2}$. Здесь введено обозначение
\[
F\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)=\sum_{s=1}^{n} F_{s}^{2}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right) .
\]

В самом деле, полагая $\eta<\delta$, иы на основании условий теоремы найем такое число $T(\varepsilon)$, зависящее только от $\varepsilon$, что fіри всех $t \geqslant t_{0}+T$ будет выполняться неравенство $F<\varepsilon^{2}$. Будем теперь считать $\eta$ настолько малым, чтобы это неравенство выполнялось также в течение конечного промежутка времени $\left(t_{0}, t_{0}+T\right)$. Это возможно в силу теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных условий (решение $F_{s}$ сравниваем с тривиальным решением $x_{1}=\ldots$ $\ldots=x_{n}=0$ ). При этом, как это вытекает из доказательства указанной теоремы, число $\eta$ определяется исключительно числом $T(\varepsilon)$ и верхними пределами функций $\left|X_{s}\right|$ и их постоянных Липшица по переменным $x_{j}$ в области $t_{0} \leqslant t<t_{0}+T, x \leqslant \varepsilon^{2}$. Полученное таким образом число $\eta$ будет удовлетворять всем требуемым условиям. Из сказанного следует, что если число $\delta$ в неравенствах (102.1) достаточно мало, то функция $F$ будет при всех $t>t_{0}$ во всяком случае оставаться в области $x \leqslant H^{2}$. Мы будем в дальнейшем предполагать, что число $\delta$ удовлетворяет указанному условию.

Покажем теперь, что для функции $F$ при всех $\tau>0$ выполняется неравенство ${ }^{1}$ )
\[
F\left(t_{0}+\tau, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{\urcorner}, t_{0}\right)<\varphi(\tau),
\]

где $\varphi(\tau)$ – некоторая положительная непрерывная функция, для которой $\lim \varphi(\tau)=0$ при $\tau \rightarrow \infty$. С этой целью рассмотрим какую-чибудь убывающую и сходящуюся к нулю бесконечную последовательность положительных чисел $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{n}, \ldots$ По условию теоремы для всякого числа $\varepsilon_{i}$ этой последовательности найдется число $T_{i}\left(\varepsilon_{i}\right)$ такое, что при всех $\tau>T_{i}$ будет выполняться неравенство $F\left(t_{0}+\tau, x_{1}^{0}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)<\varepsilon_{i}$, и это число $T_{i}$ не будет зависеть от $x_{s}^{0}, t_{0}$. Последовательность $T_{i}$ будет, очевидно, расходящейся, и мы можем при этом предполагать, что $T_{i+1}>T_{i}$. Рассиотрим теперь произвольную монотонно убывающую функцию $\varphi(\tau)$, для которой $\varphi\left(T_{i+1}\right)=$ $=\varepsilon_{i}(l=1,2, \ldots)$. Если мы при этом предположим, что в интервале $\left(0, T_{2}\right.$ ) справедливо неравенство $F<\varphi(\tau)$, что, очевидно, возможно, так как при всех значениях аргументов $F \leqslant H^{2}$, то построенная таким образом функция $\varphi(\tau)$ будет удовлетворять всем требуемым условиям.

Рассмотрим теперь частные производные $\frac{\partial F}{\partial x_{s}^{0}}$ и $\frac{\partial F}{\partial t_{0}}$. Так как по доказанному при всех $t \geqslant t_{0}$ и всех значениях $x_{s}^{0}$, лежащих в области (102.1), функции $F_{s}$ остаются в области (101.2), то эти частные производные при указанных значениях аргументов существуют и не-
1) См. аналогичное рассуждение в $\S 73$ на стр. 314.

прерывны. Покажем, что при $\tau>0$ справедливы неравенства
\[
\begin{array}{l}
\left|\frac{\partial F\left(t_{0}+\tau, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)}{\partial x_{s}^{0}}\right|<A e^{\lambda t}=M(\tau), \\
\left|\left\{\frac{\partial F\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)}{\partial t_{0}}\right\}_{t=t_{0}+\tau}\right|<A e^{\lambda \tau}=M(\tau),
\end{array}
\]

где $A$ и $\lambda$ – не зависящие от $x_{j}^{0}, t_{0}$ положительные числа. С этой целью рассмотрим уравнения в вариациях для системы (101.1):
\[
\frac{d u_{s}}{d t}=p_{s 1} u_{1}+\ldots+p_{s n} u_{n} \quad\left(p_{s j}=\frac{\partial X_{s}}{\partial x_{j}}\right) .
\]

При этом в производных $p_{s j}$ величины $x_{s}$ заменены функциями $F_{s}$. Пусть $u_{s j}\left(t, t_{0}\right)$ и $u_{s}^{*}\left(t, t_{0}\right)$ – решения этой системы, определяемые начальными условиями:
\[
\begin{array}{l}
u_{s j}\left(t_{0}, t_{0}\right)=\delta_{s j} \quad\left(\delta_{s j}-\text { символ Кронекера }\right), \\
u_{s}^{*}\left(t_{0}, t_{0}\right)=-X_{s}\left(t_{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right) .
\end{array}
\]

Тогда, как известно, имеем тождественно
\[
u_{s j}=\frac{\partial F_{s}}{\partial x_{j}^{0}}, \quad u_{s}^{*}=\frac{\partial \bar{F}_{s}}{\partial t_{0}} .
\]

Полагая в уравнениях (102.6) $v_{s}=\boldsymbol{u}_{s} e^{-\lambda t}$, будем иметь
\[
\frac{d v_{s}}{d t}=p_{s 1} v_{1}+\ldots+p_{s n} v_{n}-\lambda v_{s} .
\]

откуда
\[
\frac{1}{2} \frac{d}{d t} \sum_{s=1}^{n} v_{s}^{2}=\sum_{s, j=1}^{n} p_{s j} v_{s} v_{j}-\lambda \sum_{s=1}^{n} v_{s}^{2} .
\]

Правая часть этого выражения при достаточно большом положительном $\lambda$ будет формой определенно-отрицательной, так как, по определению, в области (101.2) частные производные функций $X_{s}$ ограничены. Полагая, что $\lambda$ удовлетворяет указанному условию, получим при $t>t_{0}$
\[
\sum_{s=1}^{n} v_{s}^{2}(t)<\sum_{s=1}^{n} v_{s}^{2}\left(t_{0}\right)
\]

и, следовательно,
\[
\sum_{s=1}^{n} u_{s}^{2}(t)<\sum_{s=1}^{n} u_{s}^{2}\left(t_{0}\right) a^{2 \lambda\left(t-t_{0}\right)} .
\]

Применяя эти неравенства к решениям $u_{s j}$ и $u_{s}^{*}$ и учитывая, что на основании (102.7) для модулей начальных значений этих решений могут быть назначены некоторые не зависящие от $x_{s}^{0}, t_{0}$ верхние пределы, находим, что частные производные $\frac{\partial F_{s}}{\partial x_{j}^{0}}, \frac{\partial F_{s}}{\partial t_{0}}$, а следовательно, также и частные производные $\frac{\partial F}{\partial x_{j}^{0}}, \frac{\partial F}{\partial t_{0}}$ удовлетворяют неравенствам вида (102.5).

Как показал И. Л. Массера ${ }^{1}$ ), для всякой пары положительных функций $M(\eta)$ и $\varphi(\eta)$, определенных при всех $\eta \geqslant 0$, из которых первая возрастающая, а вторая стремится к нулю при $\eta \rightarrow \infty$, можно построить функцию $G(\eta)$, удовлетворяющую следующим условиям.
1. Функция $G(\eta)$ – положительная возрастающая функция, определенная при всех $\eta \geqslant 0$ и обладающая непрерывной возрастающей (очевидно, положительной) производнон $G^{\prime}(\eta)$.
2. $G(0)=0, G^{\prime}(0)=0$.
3. Имеют место неравенства
\[
\int_{0}^{\infty} G[\varphi(\tau)] d \tau<\infty, \int_{0}^{\infty} G^{\prime}[\varphi(\tau)] M(\tau) d \tau<\infty .
\]

Принимая, что $\varphi(\eta)$ и $M(\eta)$ – функции, фигурирующие в неравенствах (102.4) и (102. 5), положим
\[
\begin{aligned}
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\int_{t}^{\infty} G & {\left[F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right] d \tau \equiv } \\
& \equiv \int_{0}^{\infty} G\left[F\left(t+\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right] d \tau
\end{aligned}
\]

и покажем, что функция $V$ удовлетворяет всем условиям теоремы.
Заметим прежде всего, что в области
\[
t \geqslant 0, \quad x \leqslant \delta^{2}
\]

на основании (102.4) справедливы при всех $\tau>0$ неравенства
\[
G\left[F\left(t+\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right]<G[\varphi(\tau)],
\]

так как $G(\eta)$ – функция возрастающая. Отсюда на основании (102.8) вытекает, что интеграл, фигурирующий в выражении $V$, сходится и притом равномерно в области (102.10). Следовательно, в этой области функция $V$ существует и непрерывна по всем своим аргументам. Дифференцируя далее выражение $V$ формально под знаком интеграла,
1) См. выше стр. $314-315$.

будем иметь:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial V}{\partial x_{j}} & =\int_{t}^{\infty} G^{\prime}\left[F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right] \frac{\partial F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)}{\partial x_{j}} d \tau, \\
\frac{\partial V}{\partial t} & =-G\left[F\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right]+ \\
& +\int_{t}^{\infty} G^{\prime}\left[F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right] \frac{\partial F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)}{\partial t} d \tau .
\end{aligned}
\]

Но на основании (102.4) и (102.5) в области (102.10) при всех $\tau>t$ имеем:
\[
\begin{array}{l}
\left|G^{\prime}\left[F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right] \frac{\partial F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)}{\partial x_{j}}\right|<G^{\prime}[\varphi(\tau-t)] M(\tau-t), \\
\left|G^{\prime}\left[F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right] \frac{\partial F\left(\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)}{\partial t}\right|<G^{\prime}[\varphi(\tau-t)] M(\tau-t),
\end{array}
\]

так как функция $\sigma^{\prime}(\eta)$ также возрастающая. Поэтому интегралы, входящие в (102.11), сходятся в области (102.10) абсолютно и равномерно. Следовательно, выражения (102.11) представляют в области (102.10) непрерывные и ограниченные функции, которые действительно являются частными производными функции $V$. Итак, функция $V$ обладает в области (102.10) непрерывными и ограниченными частными производными первого порядка. Но это условие является более сильным, чем существование бесконечно малого высшего предела.

Покажем теперь, что функция $V$ определенно-положительна. С этой целью положим
\[
\alpha=\frac{1}{2 L \sqrt{n}} \sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}},
\]

где $L$ – верхний предел величин $\left|X_{s}\right|$ в области (101.2). Из (102.9) имеем:
\[
V>\int_{0}^{a} G\left[F\left(t+\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right] d \tau .
\]

Ho
\[
\begin{array}{l}
\left|F_{s}\left(t+\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)-x_{s}\right|= \\
=\mid \int_{t}^{t+\tau} X_{s}\left(\eta, F_{1}\left(\eta, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right), \ldots\right. \\
\left.\ldots, F_{n}\left(\eta, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)\right) d \eta \mid<L \tau
\end{array}
\]

и, следовательно, в интервале $0 \leqslant \tau \leqslant \alpha$ справедлива оценка
\[
\sum_{s=1}^{n}\left\{F_{s}\left(t+\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)-x_{s}\right\}^{2}<n L^{2} \alpha^{2}=\frac{1}{4} \sum_{s=1}^{n} x_{s}^{2},
\]

откуда
\[
F\left(t+\tau, x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right) \geqslant \frac{1}{4}\left(x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right),
\]

и из (102.12) получаем:
\[
V>\frac{1}{2 L \sqrt{n}} \sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} \cdot G\left[\frac{1}{4}\left(x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right)\right] .
\]

Правая часть этого неравенства представляет собой не зависящую от $t$ определенно-положительную функцию. Следовательно, $V$ есть определенно-положительная функция.

Составим теперь выражение для полной производной $\frac{d V}{d t}$ в силу дифференциальных уравнений (101.1). Будем, очевидно, иметь:
\[
\frac{d V}{d t}=\frac{d V^{*}}{d t},
\]

где $V^{*}$ означает результат замены в выражении $V$ величин $x_{s}$ функциями $F_{s}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)$. Имеем
\[
\begin{array}{l}
V^{*}(t)=\int_{t}^{\infty} G\left\{F\left[\tau, F_{1}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right), \ldots, F_{n}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)\right]\right\} d \tau \equiv \\
\equiv \int_{i}^{\infty} G\left\{F\left(\tau, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)\right\} d \tau, \\
\end{array}
\]

откуда
\[
\frac{d V}{d t}=\frac{d V^{*}}{d t}=-G\left\{F\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)\right\}=-G\left\{x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right\}
\]

Следовательно, $\frac{d V}{d t}$ есть функция определенно-отрицательная. Таким образом, $V$ удовлетворяет всем нужным условиям, что и доказывает теорему.

Теорема 2. Если для системы уравнений (101.1) существует допускающая бесконечно малый высший предел опре.деленно-положительная функция $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция определенно-отрицательная, то существует такое достаточно малое число $\delta>0$, что решения $x_{s}=F_{s}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t_{0}\right)$ удовлетворяют соотнощениям (102.2)
равномерно относительно величин $x_{s}^{0}, t_{0}$, лежащих в области $\left.(102.1)^{1}\right)$.

Доказательство. Согласно условию теоремы существует допускающая бесконечно малый высший предел функция $V$ такая, что в области $t \geqslant 0, x \leqslant H^{2}$ выполняются неравенства
\[
\begin{array}{c}
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \geqslant W_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d V}{d t}=\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}} X_{s} \leqslant-W_{2}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\end{array}
\]

где $W_{1}$ и $W_{2}$ – не зависящие от $t$ определенно-положительные функции.

Пусть $C>0$ – точныи нижний предел функции $W_{1}$ при условии $x=H^{2}$. Тогда на основании (102.13) имеем:
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \geqslant C \text { при } x=H^{2}, \quad t>0 .
\]

Так как $V$ допускает бесконечно малый высший предел, то наидется такое положительное число $\delta$, что будет справедливо неравенство
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)<C \text { при } x<\delta^{2}, \quad t>0 .
\]

Покажем, что $\delta$ и является искомым числом, фигурирующим в теореме. С этой целью рассмотрим произвольное положительное число $\varepsilon<\delta$ и обозначим через $c>0$ точный нижний предел функции $W_{1}$ при условии $H^{2} \geqslant x \geqslant \varepsilon^{2}$. На основании (102.13) будем иметь:
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \geqslant c \text { при } H^{2} \geqslant x \geqslant \varepsilon^{2}, \quad t \geqslant 0 .
\]

Далее выберем настолько малое положительное число $\alpha<\varepsilon$, чтобы выполнялось условие
\[
V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)<c \text { при } x<\alpha^{2}, \quad t>0
\]

и обозначим через $l>0$ точный нижний предел функции $W_{2}$ при условии $H^{2} \geqslant x \geqslant \alpha^{2}$. Таким образом, на основании (102.14)
\[
\frac{d V}{d t} \leqslant-l \text { при } H^{2} \geqslant x \geqslant \alpha^{2} . \quad t>0 .
\]

Рассмотрим теперь произвольное решение $x_{s}=F_{s}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots\right.$ $\ldots, x_{n}^{0}, t_{0}$ ) уравнения (101.1), начальные значения которого $x_{s}^{0}$ и $\boldsymbol{t}_{0}$ лежат в области, определенной неравенствами (102.1).
1) К. П. Персидский доказал, что гри выполнении условий теоремы решения стремятся к нулю равномерно относительно $t_{0}$, а И. Л. Массера – что при тех же условия решения стремятся к нулю равномерно относительно $x_{s}^{0}$.

Покажем прежде всего, что при всех $t>t_{0}$ справедливо неравенство
\[
F<H^{2} \text {. }
\]

В самом деле, функция $V^{*}(t)=V\left(t, F_{1}, \ldots, F_{n}\right)$ на основании (102.14) монотонно убывает и при $t=t_{0}$ на основании (102.1) и (102.16) $V^{*}(t)<C$. Следовательно, то же самое неравенство справедливо и при всех $t>t_{0}$. Но тогда при всех $t>t_{0}$ будет справедливо неравенство $F<H^{2}$, ибо если бы в какой-нибудь момент времени это неравенство нарушилось, то для этого момента на основании (102.15) мы имели бы $V^{*}(t)>C$.

Обозначим теперь через $T(\varepsilon)$ зависящее только от $\varepsilon$ положительное число, определяемое равенством
\[
T(\varepsilon)=\frac{C-c}{l},
\]

и покажем, что в интервале ( $t_{0}, t_{\mathrm{c}}+T$ ) найдется такой момент времени $t=t_{1}$, для которого
\[
V^{*}\left(t_{1}\right)<c .
\]

В самом деле, рассмотрим следующее равенство:
\[
V^{*}\left(t_{0}+T\right)=V\left(t_{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} \frac{d V^{*}}{d t} d t .
\]

Если бы во всем интервале ( $t_{0}, t_{0}+T$ ) было справедливо неравенство $V^{*}(t)>c$ и, следовательно, на основании (102.18) также и неравенство $F \geqslant \alpha^{2}$, то из (102.20) на основании (102.16) и (102.19) мы получили бы
\[
V^{*}\left(t_{0}+T\right)<C-i T=c,
\]

что противоречит условию. Таким образом, в интервале $\left(t_{0}, t_{0}+T\right)$ найдется такон момент времени, для которого $V^{*}(t)<c$. Так как $V^{*}(t)$ – функция убывающая, то sто неравенство будет справедливо при всех значениях
\[
t \geqslant t_{0}+T \text {. }
\]

Но тогда при всех $t \geqslant t_{0}+T$ будет на основании (102.17) выполняться неравенство $x<\varepsilon^{2}$, что и доказывает теорему, так как число $\varepsilon$ можно взять сколь угодно малым.

Приведенное доказательство может быть проиллюстрировано геометрически (рис. 22).

При рассмотрении рисунка необходимо учесть, что уравнение $W_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=k^{2}$ при $k$, достаточно малом, представляет собой замкнутую поверхность, окружающую начало координат. Точно так же и уравнение $V\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=k^{2}$ представляет собой в пространстве переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ замкнутую поверхность, окружающую начало координат, но изменяющуюся с течением времени. При этом при всех $t>0$ поверхность $V=k^{2}$ в силу (102.13) лежит внутри поверхности $W_{1}=k^{2}$ и остается вне нәкоторой окрестности начала координат, так как $V$ допускает бесконечно малый высший предел.

Поверхность $W_{1}=C$ лежит внутри сферы $x=H^{2}$ и имеет с нею по крайней мере одну общую точку на (рисунке эта поверхность не показана). То же самое можно сказать и относительно поверхности $W_{1}=c$ и сферы $x=\varepsilon^{2}$.

Примечание. Для справедливости теоремы 2 нет, очевидно, необходимости, чтобы функции $X_{s}$ допускали частные производные. Достаточно, чтобы эти функции были непрерывными и такими, чтобы была обеспечена единственность решений для уравнений (101.1). Впрочем, последнее условие также не существенно.

При доказательстве теоремы 1 мы видели, что при выполнении условий этой теоремы функция $V$ будет не только допускать бесконечно малый высший предел, но и обладать ограниченными частными производными $\frac{\partial V}{\partial x_{j}}$. Поэтому, принимая во внимание теорему 2 , убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема 3. Если для уравнений (101.1) существует определенно-положительная функция $V$, допускающая бесконечно малый высший предел, производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функиия определенноот рицательная, то для этих уравнений существует функция $V^{* *}$, обладающая такими же свойствами и для которой частные производные $\frac{\partial V^{* *}}{\partial x_{s}}$ в некоторой окрестности начала координат и при всех $t^{>}>0$ ограничены ${ }^{1}$ ).
1) Это утверждение было усилено в работах Я. Курцвейля (Об обращении второй теоремы Ляпунова об устойчивости движения, Чехосл. матем. журнал, 1956, т. 6 (81), № 2, стр. $217-259$, № 4, стр. 455-484) и И. Масcepa (Contributions to stability theory, Annals of Mathematics, 1956, т. 64, вып. 1, стр. 182-206), которые показали, что в случае равномерной асимпто-

Наряду с уравнениями (101.1) рассмотрим систему
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=X_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+R_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .
\]

Здесь функции $R_{s}$ описывают постоянно действующие возмущающие факторы. Эти функции определены в области (101.2), где они непрерывны и таковы, что для уравнений (102.21) обеспечены условия единственности решений.

При этом функции $R_{s}$ в отличие от функций $X_{s}$ не обращаются, вообще говоря, в нуль при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$.

В § 70 мы доказали, что если для уравнении (101.1) существует определенно-положительная функция $V$, производная которои по времени, составленная в силу этих уравнении, есть функция определенноотрицательная, и если частные производные $\frac{\partial V}{\partial x_{s}}$ этой функции в области (101.2) ограничены, то тривиальное решение $x_{1}=\ldots$ $\ldots=x_{n}=0$ устоичиво при постоянно дейстующих возмущениях. Отсюда на основании теорем 1 и 3 мы приходим к следующему результату ${ }^{1}$ ).

Теорема 4. Если т ривиальное решение $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ системы (101.1) асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова и если при этом соотношения (102.2) выполняются равномерно относительно $x_{s}^{0}$ и $t_{0}$, лежащих в области (102.4), то это решение устойчиво при постоянно действующих возмущениях.

тической устойчивости существует сколь угодно гладкая функция Ляпунова, если предполагать лишь, что правые части уравнения (101.1) непрерывны, но не требовать существования производных $\frac{\partial V}{\partial x_{j}}$. Кроме того, Я. Курцвейлем было показано, что поверхности $V=c$ гомеоморфны сфере. Последний результат уточняет геометрическую интерпретацию теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.
1) Аналогичная теорема сформулирована в работе С. И. Горшина (Об устойчивости движения с постоянно действующими возмущениями, Изв. АН Казахской ССР, № 58, 1948). Доказательство С. И. Горшина существенно отличается от приведенного здесь, где теорема 4 оказывается следствием теоремы 1 о существовании функини Ляпунова.