Решение задачи устойчивости в критическом случае пары чисто мнимых корней по методам, изложенным в предыдущих параграфах, приводит обычно к очень громоздким вычислениям. Уже для системы второго порядка, если, например, решать задачу приемом § 36 , приводящим обычно к наиболее простым вычислениям, приходится определять при помощи квадратур коэффициенты $r_{i}$ из уравнений (36.8), имеющих вид
\[
\frac{d r_{i}}{d t}=F_{i}\left(\vartheta, r_{2}, \ldots, r_{i-1}\right),
\]

где $F_{i}$ являются полиномами относительно $r_{2}, \ldots, r_{i-1}$. Хотя функции $F_{i}$ будут получаться полиномами от $\cos \vartheta$ и $\sin \vartheta$, вычисление указанных квадратур приводит к громоздким выкладкам, в особенности код за задача устоичивости решается членами порядка выше третьего, ввиду быстрого усложнения функций $F_{i}$ по мере возрастания $i$.

Задача значительно усложняется для систем $(n+2)$-го порядка. В этом случае приходится проделывать дополнительные громоздкие вычисления, связанные с необходимостью действительного определения форм $v_{s}^{(k)}(x, y)$, удовлетворяющих уравнениям (41.8). Для каждого $k$ эти формы содержат $n(k+1)$ коэффициентов, для нахождения которых мы получим из (41.8) систему из $n(k+1)$ линениых неоднородных уравнений. Даже в простеншем случае, когда задача устоћчивости решается членами не выше третьего порядка, необходимо, как мы видели, определить формы $v_{s}^{(1)}$ и $v_{s}^{(2)}$ и,
следовательно, решать две системы линейных уравнений, содержащих, соответственно, $2 n$ и $3 n$ неизвестных.

Определение форм $v_{s}^{(k)}$ значительно упрощается, если, следуя Ляпунову, уже в уравнениях (41.9) ввести вместо $x$ и $y$ полярные координаты $r$ и $\vartheta$, имея в виду решать затем задачу для системы второго порядка методом § 36. Еще больших упрощений можно добиться приемом, указанным автором ${ }^{1}$ ). Однако, вся задача значительно упрощается, если ее решать иным приемом ${ }^{2}$ ), к рассмотрению которого мы сейчас и переходим.

Рассмотрим сначала систему второго порядка. Во всех вышеизложенных приемах мы приводили уравнения возмущенного двйжения к виду (36.1). Мы будем сейчас исходить из другого вида уравнений возмущенного движения, а именно: мы будем предполагать, что эти уравнения преобразованы к виду
\[
\frac{d x}{d t}=i \lambda x+X(x, y), \quad \frac{d y}{d t}=-i \lambda y+Y(x, y),
\]

что всегда может быть выполнено при помощи линейного преобразования. Если уравнения, как это часто бывает на практике, были сразу заданы в виде (36.1), то для приведения их к виду (42.1) достаточно в качестве новых переменных принять величины $x+i y$ и $x-i y$.

Если уравнения движения приведены к виду (42.1), то переменные $x$ и $y$ будут комплексно сопряженными, и поэтому второе из этих уравнений может быть получено из первого заменой $l$ на $i$, $x$ на $y$ и $y$ на $x$.

Для решения задачи устойчивости введем в уравнения (42.1) вместо переменных $x$ и $y$ переменные $u$ и $v$ при помощи подстановки
\[
\left.\begin{array}{l}
x=u+x^{(2)}(u, v)+x^{(3)}(u, v)+\ldots, \\
y=v+y^{(2)}(u, v)+y^{(3)}(u, v)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где $x^{(j)}$ и $y^{(j)}$ – некоторые формы $j$-го порядка, которыми мы постараемся распорядиться таким образом, чтобы уравнения для $u$ и приняли вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d u}{d t}=i \lambda u+A_{3} u^{2} v+A_{5} u^{3} v^{2}+\ldots+A_{2 k+1} u{ }^{k+1} v^{k}+\ldots \\
\frac{d v}{d t}=-i \lambda v+\overline{A_{3}} u v^{2}+\overline{A_{5}} u^{2} v^{3}+\ldots+\overline{A_{2 k+1}} u^{k} v^{k+1}+\ldots
\end{array}\right\}
\]
1) Малкин И. Г., О решении задачи устойчивости в критическом случае пары чисто мнимых корней. ПММ, т. XV, вып. 2, 1951.
2) Малкин И. Г., Об одеом способе решения задачи устойчивости в критическом случае пары чисто мнимых корней, ПММ, т. XV, вып. 4, 1951 .

Здесь $A_{j}$ и $\bar{A}_{j}$ – некоторые подлежащие определению постоянные, причем $\bar{A}_{j}$ комплексно сопряжены с $A_{j}$. При таком условии второе уравнение (42.3) получится из первого заменой $i$ на $-i, u$ на $v$ и $v$ на $u$, вследствие чего переменные $u$ и $v$ будут также комплексно сопряженными.

Подставляя в уравнения (42.1) вместо $x$ и $y$ их выражения (42.2) и принимая во внимание (42.3), получим:
\[
\begin{array}{l}
\left(1+\frac{\partial x^{(2)}}{\partial u}+\frac{\partial x^{(3)}}{\partial u}+\ldots\right)\left(i \lambda u+A_{3} u^{2} v+\ldots\right)+ \\
+\left(\frac{\partial x^{(2)}}{\partial v}+\frac{\partial x^{(3)}}{\partial v}+\ldots\right)\left(-i \lambda v+\widetilde{A_{3}} u v^{2}+\ldots\right)= \\
\quad=i \lambda\left(u+x^{(2)}+\ldots\right)+X(u+\ldots v+\ldots) \\
\left(\frac{\partial y^{(2)}}{\partial u}+\frac{\partial y^{(3)}}{\partial u}+\ldots\right)\left(i \lambda u+A_{3} u^{2} v+\ldots\right)+ \\
+\left(1+\frac{\partial y^{(2)}}{\partial v}+\frac{\partial y^{(3)}}{\partial v}+\ldots\right)\left(-i \lambda v+\overline{A_{3}} u v^{2}+\ldots\right)= \\
\quad=-i \lambda\left(v+y^{(2)}+\ldots\right)+Y(u+\ldots v+\ldots) .
\end{array}
\]

Приравнивая в обеих частях совокупности членов одинаковых порядков, получим для нахождения форм $x^{(j)}$ и $y^{(j)}$ следующие уравнения:
\[
\begin{aligned}
-i \lambda x^{(j)}+i \lambda\left(\frac{\partial x^{(j)}}{\partial u} u-\frac{\partial x^{(j)}}{\partial v} v\right) & =-A_{j} u^{\frac{1}{2}(j+1)} v^{\frac{1}{2}(j-1)}+X^{(j)}(u, v), \\
i \lambda y^{(j)}+i \lambda\left(\frac{\partial y^{(j)}}{\partial u} u-\frac{\partial y^{(j)}}{\partial v} v\right) & =-\bar{A}_{j} u^{\frac{1}{2}(j-1)} v^{\frac{1}{2}(j+1)}+Y^{(j)}(u, v) .
\end{aligned}
\]

Здесь $A_{j}$ при $j$ четном равно нулю и $X^{(j)}(u, v), Y^{(j)}(u, v)-$ формы $j$-го порядка, зависящие от форм $X^{(b)}$ и $Y^{(b)}$ и постоянных $A_{b}$, для которых $b<j$. Уравнения (42.4) дают возможность без всяких вычислений последовательно определять как формы $x^{(j)}$ и $y^{(j)}$, так и постоянные $A_{j}$.

В самом деле, допустим, что все формы $x^{(b)}, y^{(b)}$ и постоянные $A_{b}$, для которых $b<j$, уже определены. Тогда $X^{(j)}(u, v)$ будет известной формой. Пусть
\[
X^{(j)}=\sum_{p+q=j} A_{p q} u^{p} v^{q}, x^{(j)}=\sum_{p+q=j} a_{p q} u^{p} v^{q},
\]

где $A_{p q}$ – известные коэффициенты, а $a_{p q}$ – подлежащие определению. Тогда, приравнивая в первом уравнении (42.4) коэффициенты при $u^{p} v^{q}$, получим, что при $j$ четном коэффициент $a_{p q}$ определяется по формуле
\[
(p-q-1) i \lambda a_{p q}=A_{p q} .
\]

Той же формулой определяются коэффициенты и при нечетном $j$, за исключением коэффициента $a_{p q}$, для которого $p=\frac{1}{2}(j+1), q=\frac{1}{2}(j-1)$. Для этого коэффициента получается уравнение
\[
0 \cdot a_{p q}=-A_{j}+A_{p q} \quad\left(p=\frac{1}{2}(j+1), q=\frac{1}{2}(j-1)\right) .
\]

Следовательно, коэффициент $a_{p q}$, для которого $p=\frac{1}{2}(j+1)$, $q=\frac{1}{2}(j-1)$, остается произвольным. Мы положим его равным нулю. Вместе с тем уравнение (42.6) однозначно определяет величину $A_{j}$, для которой находим:
\[
A_{j}=A_{\rho q}\left(p=\frac{1}{2}(j+1), \quad q=\frac{1}{2}(j-1)\right) .
\]

Точно таким же путем определяются коэффициенты форм $y^{(j)}$. Однако ни в вычислении этих коэффициентов, ни в составлении для них уравнений нет необходимости, так как в силу сопряженности переменных $x, y$, а также переменных $u$ и $v$, мы можем сразу писать:
\[
y^{(j)}=\sum_{p+q=j} \bar{a}_{p q} u^{q} v^{p} .
\]

Таким путем можно подсчитать любое число форм $x^{(j)}$ и $y^{(j)}$, а также постоянных $A_{j}$. Вычисления нужно производить до тех пор, пока мы не придем к постоянной $A_{j}$ с отличной от нуля вещественной частью. Дело в том, что знаком этой вещественной части и решается задача устойчивости.

В самом деле, пусть $A_{k}$ – первая из постоянных $A_{3}, A_{5}, \ldots$, вещественная часть которой отлична от нуля, так что
\[
A_{3}=i B_{3}, A_{5}=i B_{5}, \ldots, A_{k-2}=i B_{k-2}, \quad A_{k}=g+i B_{k},
\]

где постоянные $B_{3}, \ldots, B_{k}, g$ вещественны. Покажем, что при $g>0$ невозмущенное движение неустойчиво, а при $g<0$ оно устойчиво асимптотически. Преобразуеи с этой целью уравнения (42.3) при помощи подстановки
\[
u=r(\cos \vartheta+i \sin \vartheta), \quad v=r(\cos \vartheta-i \sin \vartheta) .
\]

Будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r}{d t}(\cos \vartheta+i \sin \vartheta)+i(\cos \vartheta+i \sin \vartheta) r \frac{d \vartheta}{d t}= \\
=i \lambda r(\cos \vartheta+i \sin \vartheta)+ A_{3} r^{3}(\cos \vartheta+i \sin \vartheta)+\ldots \\
\ldots+A_{k} r^{k}(\cos \vartheta+i \sin \vartheta)+\ldots
\end{array}
\]

где ненаписанные члены имеют порядок, больший $k$. При этом мы предполагаем, что в подстановке (42.2) ряды оборваны на членах $k$-го порядка. Выделяя в полученном уравнении вещественные и мнимые части, найдем:
\[
\frac{d r}{d t}=g r^{k}+\ldots, \frac{d \vartheta}{d t}=\lambda+B_{3} r^{3}+\ldots+B_{k} r^{k}+\ldots
\]

Все сделанные нами преобразования таковы, что задача устойчивости для исходных уравнений эквивалентна той же задаче для уравнений (42.9). Что же касается последней задачи, то она, очевидно, решается знаком величины $g$. Таким образом, наше предложение доказано.

Если бы $\operatorname{Re}\left(A_{k}\right)=0$ при любом $k$, то это свидетельствовало бы о том, что задача устойчивости не решается конечным числом членов. В этом случае начало координат было бы центром, невозмущенное движение было бы устойчиво, но не асимптотически.

Приведенный способ решения задачи устойчивости требует только составления уравнения (42.4) для последовательных приближений. Это может оказаться утомительным, если задача устойчивости решается членами высоких порядков. Однако такие выкладки приходится делать при любом способе решения задачи, после чего в других способах приходится либо вычислять громоздкие квадратуры (метод § 36), либо разрешать сложные системы линейных алгебраических уравнений (метод § 37).

Рассмотрим теперь систему $(n+2)$-го порядка. Уравнения возмущенного движения берем не в форме (40.1), как в предыдущем параграфе, а в форме
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d x}{d t}=i \lambda x+X\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d y}{d t}=-i \lambda y+Y\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+p_{s} x+q_{s} y+X_{s}\left(x, y, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
\quad(s=1,2, \ldots, n) .
\end{array}\right\}
\]

Для решения задачи устойчивости мы можем теперь воспользоваться изложенным в предыдущем параграфе методом Ляпунова и привести систему (42.10) к системе второго порядка. Для этого нужно будет взять только первые два уравнения (42.10) и заменить в них величины $x_{s}$ формальными решениями $v_{s}(x, y)$ уравнений с частными производными (41.9). При этом, вследствие того что уравнения возмущенного движения взяты в виде (42.10), а не в виде (40.1), вычисления значительно упрощаются.

В самом деле, уравнения (41.9) принимают сенчас вид
\[
\frac{\partial v_{s}}{\partial x}(i \lambda x+X)+\frac{\partial v_{s}}{\partial y}(-l \lambda y+Y)=p_{s 1} v_{1}+\ldots+p_{s n} v_{n}+p_{s} x+q_{s} y+X_{s},
\]

и вследствие этого уравнения (41.8), определяющие формы $v_{s}^{(k)}(x, y)$, имеют теперь вид
\[
i \lambda\left(\frac{\partial v_{s}^{(k)}}{\partial x} x-\frac{\partial v_{s}^{(k)}}{\partial y} y\right)=p_{s 1} v_{1}^{(k)}+\ldots+p_{s n} v_{n}^{(k)}+X_{s}^{(k)}(u, v) .
\]

Если в этих уравнениях положить:
\[
x_{s}^{(k)}=\sum_{p+q=k} b_{p q}^{(s)} x^{p} y^{q}, \quad X_{s}^{(k)}=\sum_{p+q=k} B_{p q}^{(s)} x^{p} y^{q},
\]

где $B_{p q}^{(s)}$ – известные, а $b_{p q}^{(s)}$ – подлежащие определению коэффициенты, то будем иметь:
\[
\begin{array}{c}
p_{s 1} b_{F q}^{(1)}+\ldots+\left[p_{s s}-(p-q) i \lambda\right] b_{p q}^{(s)}+\ldots+p_{s n} b_{p q}^{(n)}+B_{p q}^{(s)}=0 \\
(s=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Таким образом, для определення коэффициентов $b_{p q}^{(s)}$ мы получаем не систему из $n(k+1)$ уравнений, как это было бы, если бы мы пользовались уравнениями (40.1), а $k+1$ самостоятельных систем, состоящих из $n$ уравнений каждая. Это, разуместся, вносит существенные упрощения в вычисления. Но этим дело не ограничивается. Если пользоваться уравнениями в форме (40.1), то определители систем $n(k-1)$-го порядка, определяющих коэффициенты $b_{p q}^{(s)}$, будут разными для форм разных порядков, т. е. они будут зависеть от индекса $k$. Если же пользоваться уравнениями (42.10), то придется все время решать системы одного и того же порядка $n$, определители которых отличаются лишь диагональными членами. И если
\[
C_{s}(\mu)=\sum_{j=1}^{n} c_{j s}(l \mu) a_{j}
\]

является решением уравнений
\[
p_{s 1} C_{1}+\ldots+\left(p_{s s}-i \mu\right) C_{s}+\ldots+p_{s n} C_{n}+a_{s}=0,
\]

выраженным явно через $\mu$, то для формы $v_{s}^{(k)}$ любого порядка $k$ можно сразу писать:
\[
v_{s}^{(k)}=\sum_{j=1}^{n} \sum_{p+q=k} c_{j s}[(p-q) i \lambda] B_{p q}^{(s)} x^{p} y^{q} .
\]

Таким образом, для нахождения всех форм $v_{s}^{(k)}$ достаточно разрешить лишь одну систему $n$-го порядка (42.11), т. е. вычислить определитель и его миноры.
Отметим в заключение, что изложенный сећчас метод можно видоизменить таким образом, что можно будет сразу исходить из системы (35.1), не приводя ее предварительно к виду (42.10), т. е. не выделяя критических корнен. Мы не останавливаемся, однако, на этом вопросе, отсылая интересующихся к уже цитированной работе ${ }^{1}$ ).
Пример. Рассмотрим снова уравнение
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+x=\alpha\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2 n+1}+F\left[x,\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}\right],
\]

исследованное уже в § 36 . Здесь $F$-аналитическая функция своих аргументов, разложение которой не имеет членов ниже второго порядка относительно $x$ и $\frac{d x}{d t}$. Полагая $\xi=x-i \frac{d x}{d t}, \eta=x+i \frac{d x}{d t}$, получим систему
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \xi}{d t}=i \xi+\frac{(-1)^{n} \alpha}{2^{2 n+1}}(\xi-\eta)^{2 n+1}+i F^{*}(\xi, \eta), \\
\frac{d \eta}{d t}=-i \eta-\frac{(-1)^{n} \alpha}{2^{2 n+1}}(\xi-\eta)^{2 n+1}-i F^{*}(\eta, \xi),
\end{array}
\]

где $F^{*}$ – вещественная функция.
Делая подстановку
\[
\begin{array}{l}
\xi=u+\xi^{(2)}(u, v)+\xi^{(3)}(u, v)+\ldots, \\
\eta=v+\eta^{(2)}(u, v)+\eta^{(3)}(u, v)+\ldots,
\end{array}
\]

будем на основании (42.3) иметь:
\[
\begin{array}{l}
\left(1+\frac{\partial \xi^{(2)}}{\partial u}+\ldots\right)\left(i \lambda u+A_{3} u^{2} v+\ldots\right)+ \\
\quad+\left(\frac{\partial \xi^{(2)}}{\partial v}+\ldots\right)\left(-i \lambda v+\overline{A_{3}} u v^{2}+\ldots\right)=i\left(u+\xi^{(2)}+\ldots\right)+ \\
\quad+\frac{(-1)^{n} a}{2^{2 n+1}}(u-v+\ldots)^{2 n+1}+i F^{*}(u+\ldots, v+\ldots) .
\end{array}
\]

Отсюда сразу видно, что все формы $\xi^{(2)}, \ldots, \xi^{(2 n)}$ получатся вещественными, а все числа $A_{3}, A_{5}, \ldots, A_{2 n-1}$ – чисто мнимыми. То же самое будет справедливо для форм $\xi^{(k)}$ и чисел $A_{k}$ при
1) См. сноску ${ }^{2}$ ) на стр. 170 , любом $k$, если только $\alpha=0$. Поэтому при $\alpha=0$ будем иметь устойчивость, но не асимптотическую.
Допустим, что $\alpha
eq 0$. Тогда уравнение для $\xi^{(2 n+1)}$ будет:
\[
\begin{array}{l}
i\left(u \frac{\partial \xi^{(2 n+1)}}{\partial u}-v \frac{\partial \xi^{(2 n+1)}}{\partial v}\right)=i \xi^{(2 n+1)}+i F^{(2 n+1)}(u, v)- \\
-A_{2 n+1} u^{n+1} v^{n}+\frac{(-1)^{n} \alpha}{2^{2 n+1}}(u-v)^{2 n+1},
\end{array}
\]

где $F^{(2 n+1)}$ – вещественная форма $(2 n+1)$-го порядка. Приравнивая коэффициент при $\boldsymbol{u}^{n+1} v^{n}$, найдем:
\[
\operatorname{Re}\left(A_{2 n+1}\right)=A_{2 n+1}=\frac{(2 n+1) 2 n \ldots(n+2)}{2^{2 n+1} \cdot n !} \alpha .
\]

Следовательно, при $\alpha>0$ невозмущенное движение неустойчиво, а при $\alpha<0$ оно устойчиво асимптотически.