Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустоичивости по первому приближению обобщались различными авторами. Целью этих обобщений являлось ослабление условий, налагаемых на функции $X_{s}$, которые Ляпунов, как мы видели, предполагал аналитическими с разложениями, начинающимися членами не ниже второго порядка. При этом был предложен ряд довольно сложных доказательств. Так, например, Коттон ${ }^{1}$ ) заменил систему дифференциальных уравнений (22.1) эквивалентной системой интегральных уравнений, которую он затем интегрировал методом последовательных приближений, приме-
1) Cotton E., Sur leș solutions asymptotiques des équations différentịellẹs, Annales scientifiques de l’École normale supérieure, т. 28, 1911 .

нив при этом громоздкий метод доказательства сходимости этих приближений. Аналогичным приемом пользовался Перрон ${ }^{1}$ ).

Однако метод доказательства, предложенный самим Ляпуновым, изложенный нами в $\S 22$, показывает без всяких дополнительных исследований, что указанные теоремы сохраняют силу при значительно более общих предположениях относительно $X_{s}$. А именно, при доказательстве теоремы 1 § 22 условие, что функции $X_{s}$ разлагаются в ряды, начинающиеся членами не ниже второго порядка, было использовано только для того, чтобы можно было утверждать, что функция
\[
-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right)+\sum_{s=1}^{n} X_{s} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}
\]

является определенно-отрицательной. На основании леммы $2 \S 7$ для этого достаточно, чтобы в некоторой окрестности начала координат выполнялось неравенство
\[
\left|\sum_{s=1}^{n} X_{s} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\right|<A\left\{\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|\right\}^{2},
\]

где $A$-достаточно малая постоянная, а для этого, учитывая линей ность функций $\frac{\partial V}{\partial x_{s}}$, достаточно, чтобы функции $X_{s}$ удовлетворяли неравенствам
\[
\left|X_{s}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right|<\alpha\left\{\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|\right\},
\]

где $\alpha$-также достаточно малая постоянная, зависящая исключительно от коэффициентов формы $V$.

Таким образом, теорема 1 § 22 остается справедливои, если от функций $X_{s}$ потребовать только, чтобы они в некоторой окрестности начала координат удовлетворяли неравенствам (26.3). Необходимо также потребовать, чтобы выполнялись общие предположения относительно дифференциальных уравнений возмущенного движения, сделанные нами в $\S 6$.

Все сказанное относительно теоремы 1 справедливо также и для теоремы 2.

Указанные обобщения теорем Ляпунова являются наиболее общими из известных в литературе. И мы только что видели, как просто они доказываются при помощи функций Ляпунова. Однако ценность указанных доказательств заключается не только в их простоте. Главная ценность этих доказательств заключается в том, что они дают
1) Perron O., Über Stabilität und asymptotisches Verhalten der Integrale yon Differentialgleichungssystemen, Math. Zeit., т. 29, вып. 1, 1928.

возможность практически вычислить область устойчивости, когда последняя имеет место.

Действительно, область асимптотической устойчивости в случае теоремы 1 определяется (см. примечание в конце § 10) областью знакоопреде.тенности функции (26.1). Что же касается последней, то она совпадает с областью, где выполняются условия (26.3). Это может быть все пространство, если, например, функции $X_{s}$ являются линейными с достаточно малыми коэффициентами. Если функции $X_{s}$ являются аналитическими, начинающимися членами не ниже второго порядка, то областью выполнимости условий (26.3) будет некоторая окрестность начала координат, которую нетрудно определить, если известно число $\alpha$.

Во всех случаях дело сводится к определению числа $\alpha$, а поскольку коэффициенты формы $V$ известны, то задача сводится к вычислению числа $A$, т. е. числа, при котором функция (26.1) будет определенно-отрицательной при выполнении неравенства (26.2). Последняя задача элементарна. Дейс?вительно, нужно выбрать число $A$ таким образом, чтобы выполнялось неравенство
\[
A\left\{\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|\right\}^{2}<x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} .
\]

Поскольку обе части неравенства (26.4) представляют квадратичные формы, это неравенство будет выполняться всюду, если оно выполняется на сфере единичного радиуса. Таким образом, можно положить
\[
A<\frac{1}{n},
\]

так как $\sqrt{n}$ есть максимум величины $\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|$ на сфере $\sum x_{s}^{2}=1$.

Вышеуказанный метод определения области устойчивости можно несколько видоизменить путем другого выбора функции $V$. Можно, очевидно, выбрать функцию $V$ таким образом, чтобы удовлетворялось уравнение
\[
\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial V}{\partial x_{s}}=U\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

где $U$-любая наперед заданная определенно-отрицательная квадратичная форма, а не обязательно сумма отрицательных квадратов. Тогда неравенство (26.4) заменится неравенством
\[
A\left\{\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|\right\}^{2}<-U\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\]

и для числа $A$ имеем:
\[
A<\frac{m}{n},
\]

где $m$ – наименьшее значение формы – $U$ на сфере единичного радиуса.

Таким образом, число $A$ получится зависящим от коэффициентов заданной формы $U$. Этим можно воспользоваться для расширения области устоичивости.

Можно, наконец, определить а прямо из условия, что при выполнении (26.3) должно выполняться неравенство
\[
\left|\sum_{s=1}^{n} X_{s} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\right|<-U\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

без перехода через неравенство (26.2).
Приведенные способы определения области устойчивости являются лишь некоторыми из тех, которне можно рекомендовать. Вообще здесь следует помнить, что область устойивости определяется по правилам § 10 , областью, где выполняется неравенство (26.5), и для определения последней следует воспользоваться любым способом, который в каждом отдельном случае окажется наиболее удобным.

Практически могут возникнуть следующие три основные задачи, связанные с определением области устойчивости:
1) заданы уравнения первого приближения (с отрицательными вещественными частями у корней характеристического уравнения), заданы нелинейные члены, требуется определить область устойчивости;
2) заданы уравнения первого приближения, задана требуемая область устойчивости, необходимо определить условия, которым должны удовлетворять нелинейные члены;
3) задана требуемая область устойнивости, известен характер нелинейных членов, необходимо определить условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений первого приближения.

Для пояснения всего вышеизложенного рассмотрим одну из задач этого рода, решенную М. А. Айзерманом ${ }^{1}$ ).

Допустим, что предложена регулируемая система, описываемая дифференциальными уравнениями вида
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d x_{1}}{d t}=p_{11} x_{1}+p_{12} x_{2}+\ldots+p_{1 n} x_{n}+f\left(x_{k}\right), \\
\frac{d x_{i}}{d t}=p_{i 1} x_{1}+p_{i 2} x_{2}+\ldots+p_{i n} x_{n} \\
(l=2,3, \ldots, n),
\end{array}\right\}
\]

где $f\left(x_{k}\right)$ – нелинейная функция одного аргумента $x_{k}$.
1) Айз ерман М. А., О сходимости процессов автоматического регулирования после больших начальных отклонений. Автоматика и телемеханика, т. VII, № 2-3, 1946 .

Относительно функции $f\left(x_{k}\right)$ предполагается, что при любом $x_{k}$ кривая $f=f\left(x_{k}\right)$ лежит между прямыми $f=\left(a_{0}-a_{1}\right) x_{k}$ и $f=$ $=\left(a_{0}+a_{2}\right) x_{k}$, где $a_{1}$ и $a_{2}$ – некоторые постоянные. Предполагается далее, что для соответствующей линеаризованной системы
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d x_{1}}{d t}=p_{11} x_{1}+\ldots+p_{1 n} x_{n}+a_{0} x_{k}, \\
\frac{d x_{i}}{d t}=p_{i 1} x_{1}+\ldots+p_{i n} x_{n} \\
(l=2,3, \ldots, n)
\end{array}\right\}
\]

характеристическое уравнение имеет корни только с отрицательными вещественными частями.

Требуется определить такие значения для чисел $a_{1}$ и $a_{2}$, при которых положение равновесия $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ регулируемой системы асимптотически устойчиво при любых начальных возмущениях.

Мы видим, таким образом, что задача подобна задаче об определении числа $\alpha$ в неравенствах (26.3). Эту задачу М. А. Айзерман решает следующим образом.

Пусть $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ определенно-положительная квадратичная форма, производная которой в силу линейной системы (26.7) равна наперед заданной определенно-отрицательной квадратичной форме $U\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, так что
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{i}}\left(p_{i 1} x_{1}+\ldots+p_{i n} x_{n}\right)+a_{0} x_{k} \frac{\partial V}{\partial x_{1}}=U\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \text {. }
\]

Тогда квадратичная форма
\[
\begin{array}{l}
U\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+a x_{k} \frac{\partial V}{\partial x_{1}}= \\
=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{l}}\left(p_{i 1} x_{1}+\ldots+p_{i n} x_{n}\right)+\left(a_{0}+a\right) x_{k} \frac{\partial V}{\partial x_{1}}
\end{array}
\]

будет также определенно-отрицательнои, если число $|a|$ достаточно мало. Пусть $-a_{1}$ и $a_{2}$ – наименьшее и наибольшее значения $a$, при которых форма (26.9) еще определенно-отрицательна. Эти величины легко определяются простым применением какого-нибудь признака знакоопределенности квадратичных форм. Полученные числа $a_{1}$ и $a_{2}$ и являются искомыми. Действительно, если форма (26.9) является определенно-отрицательной при $-a_{1} \leqslant a \leqslant a_{2}$, то функция
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{l}}\left(p_{i 1} x_{1}+\ldots+p_{l n} x_{n}\right)+f\left(x_{k}\right) \frac{\partial V}{\partial x_{i}}
\]

будет также определенно-отрицательнои, так как кривая $f\left(x_{k}\right)$ лежит между прямыми $f=\left(a_{0}-a_{1}\right) x_{k}$ и $f=\left(a_{0}+a_{1}\right) x_{k}$ и, следовательно, при любом $x_{k}$ найдется такое число $a$, лежащее в интервале ( $-a_{1}, a_{2}$ ), что будем иметь: $f\left(x_{k}\right)=\left(a_{0}+a\right) x_{k}$.

Пример. Проведем все выкладки на примере автоматического регулирования числа оборотов силового двигателя, рассмотренном М. А. Айзерманом. Регулирование осуществляется по схеме, изображенной на рис. 7.
Рис. 7.
Обозначим через $x$ отклонение числа оборотов от его значения, которое нужно поддерживать, считая эту величину положительной, когда число оборотов растет. Через $z$ обозначим смещение муфты измерителя. Эту величину будем считать положительной, если ее изменение вызвано ростом $x$. Далее обозначим через $s$ смещение золотника сервомотора от равновесного положения, считая эту величину положительной, когда она соответствует росту $z$. И наконец, обозначим через у смещение поршня сервомотора, считая эту величину положительной, когда смещение поршня сервомотора вызвано положительным смещением $s$.
При линейной идеализации имеем следующие уравнения:
уравнение регулируемого объекта: $\frac{d x}{d t}=-N a x-b y$;
уравнение сервомотора:
\[
\frac{d y}{d t}=c_{3} s
\]

уравнение золотника:
\[
s=c_{2} z-d_{1} y
\]

уравнение измерителя:
\[
z=c_{1} x \text {. }
\]

Здесь $a, b, c_{1}, c_{2}, c_{3}, d_{1}$ – положительные постоянные. Что же касается величины $N$, то она равна +1 , если при отсоединенном регуляторе двигатель устойчиво держит обороты, т. е. обладает положительным самовыравниванием. Напротив, $N=-1$, если двигатель обладает отрицательным самовыравниванием, и, наконец, $N=0$, если двигатель не обладает самовыравниванием.

Мы рассмотрим здесь случай, когда самовыравнивание нелинейно и характеризуется однозначной нелинейной функцией $f(x)$. Уравнение движения мы получим, заменяя в первом уравнении (26.10) член – Nax членом $f(x)$. Тогда, исключая $s$ и $z$, получим следующие уравнения задачи:
\[
\frac{d x}{d t}=f(x)-b y, \frac{d y}{d t}=c x-d y,
\]

где $c=c_{1} c_{2} c_{3}, d=d_{1} c_{3}$.
Мы будем предполагать, что самовыравнивание отрицательно. В этом случае функция $f(x)$, обращающаяся в нуль при $x=0$, будет обладать в этой точке положительной производной, которую мы обозначим через $a_{0}$.
Тогда для системы первого приближения будем иметь:
\[
\frac{d x}{d t}=a_{0} x-b y, \quad \frac{d y}{d t}=c x-d y .
\]

Для того чтобы характеристическое уравнение имело корни с отрицательными вещественными частями, необходимо, чтобы выполнялись неравенства
\[
d-a_{0}>0, \quad b c-a_{0} d>0 .
\]

Мы будем предполагать, что эти условия выполняются.
Для решения задачи положим:
\[
U=-M\left(x^{2}+y^{2}\right), \quad 2 V=A x^{2}+2 B x y+C y^{2},
\]

где $M$ – некоторая заданная положительная постоянная, и выберем $A, B, C$ таким образом, чтобы выполнялось уравнение
\[
\frac{\partial V}{\partial x}\left(a_{0} x-b y\right)+\frac{\partial V}{\partial y}(c x-d y)=-M\left(x^{2}+y^{2}\right) .
\]

Приравнивая в (26.13) коэффициенты при подобных членах, мы получим следующие уравнения для этих коэффициентов:
\[
\begin{aligned}
a_{0} A+c B & =-M, \\
-b B-d C & =-M, \\
-b A+\left(a_{0}-d\right) B+c C & =0 .
\end{aligned}
\]

Отсюда
\[
\left.\begin{array}{l}
\Delta A=M\left[d\left(d-a_{0}\right)+c(b+c)\right], \\
\Delta B=-M\left(a_{0} c+b d\right), \\
\Delta C=M\left[b(b+c)-a_{0}\left(d-a_{0}\right)\right],
\end{array}\right\}
\]

где $\Delta$ определяется формулой
\[
\Delta=\left(b c-c_{0} d\right)\left(d-a_{0}\right)
\]

и является в силу (26.12) величиной положительной.
Рассмотрим теперь форму
\[
-M\left(x^{2}+y^{2}\right)+a x \frac{\partial V}{\partial x}=(-M+a A) x^{2}+a B x y-M y^{2} .
\]

Для того чтобы эта форма была определенно-отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
\[
B^{2} a^{2}+4 M(-M+a A)<0 .
\]

Это неравенство будет выполняться при всех значениях $a$, лежащих в интервале $-a_{1}<a<a_{2}$, где $a_{1}$ и $a_{2}$ определяются формулами
\[
\left.\begin{array}{rl}
a_{2} & =\frac{2 M}{B^{2}}\left(-A+\sqrt{A^{2}+B^{2}}\right), \\
-a_{1} & =\frac{2 M}{B^{2}}\left(-A-\sqrt{A^{2}+B^{2}}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Положим $M=\Delta$, после чего (26.15) примет вид
\[
a_{1,2}=\frac{2 \Delta}{B^{2}}\left( \pm A^{*}+\sqrt{A^{*^{2}}+B^{*^{2}}}\right) .
\]

где
\[
A^{*}=d\left(d-a_{0}\right)+c(b+c), \quad B^{*}=-\left(a_{0} c+b d\right) .
\]

Таким образом, если при всех значениях $x$ кривая $f=f(x)$ лежит между прямыми $f=\left(a_{0}-a_{1}\right) x$ и $f=\left(a_{0}+a_{2}\right) x$, где $a_{1}$ и $a_{2}$ определяются формулами (26.16), то состояние равновесия регулируемой системы асимптотически устойчиво при любых начальных возмущения ${ }^{1}$ ).
1) См. примечание̨ в конце книги (стр. 521).