Рассмотренная в предыдущем параграфе основная теорема Ляпунова может быть дополнена следующей теоремой, принадлежащей также Ляпунову.
Теорема Б. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти знакооп ределенную функцию $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, полная проиводная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция также знакоопределенная, знака, противоположного с $V$, то невозмущенное движение устойчиво асимтотически.
Доказательство. Не нарушая общности рассуждении, мы можем, так же как и раньше, предположить, что $V$ есть функция определенно-положительная и, следовательно, $\frac{d V}{d t}$ – определенноотрицательная, так что в области (9.1) выполняются условия
\[
V \geqslant 0, \quad \frac{d V}{d t} \leqslant 0,
\]
причем знаки равенства возможны только при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$.
Пусть $\varepsilon$ – произвольное положительное число, меньшее $h$. Так как в рассматриваемом случае выполняются условия предыдущен теоремы, то невозмущенное движение во всяком случае устойиво. Поэтому найдется такое положительное число $\eta(\varepsilon)$, что для всякого решения $x_{s}(t)$ уравнении (6.1), для которого в начальный момент времени $t=t_{0}$ выполняются неравенства
\[
\left|x_{s}^{0}\right| \equiv\left|x_{s}\left(t_{0}\right)\right| \leqslant \eta .
\]
будут при всех $t>t_{0}$ выполняться неравенства
\[
\left|x_{s}(t)\right|<\varepsilon .
\]
Покажем, что при этом будем иметь:
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} x_{s}(t)=0,
\]
т. е. что невозмущенное движение устойчиво асимптотически.
В самом деле, так как рассматриваемое решение все время лежит в области (9.1), то производная по времени функции $V\left[x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right]$ будет по условию теоремы оставаться все время отрицательной, не обращаясь в нуль ни при каких значениях $t$. Последнее вытекает из того обстоятельства, что функции $x_{s}(t)$ не могут обратиться в нуль одновременно ни при каких значениях $t$, ибо если бы это имело место при каком-нибудь значении $t=T$, то, приняв $T$ за начальный момент времени, мы имели бы два разных решения уравнений (6.1) с нулевыми начальными значениями: рассматриваемое $x_{s}(t)$ и тривиальное $x_{1}=\ldots=x_{n}$. Это, однако, невозможно, так как уравнения (6.1) таковы, что для них при заданных начальных условиях существует только одно решение.
Итак, производная $\frac{d V}{d t}$ остается все время отрицательной. Следовательно, функция $V\left[x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right]$ будет монотонной убывающей и поэтому она при $t \rightarrow \infty$ будет необходимо стремиться к некоторому пределу $\alpha$, оставаясь все время больше этого предела, так что все время будем иметь:
\[
V\left[x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right]>\alpha .
\]
Докажем, что $\alpha=0$. С этой целью допустим противное: что $\alpha
eq 0$ и, следовательно, в силу положительности $V, \alpha>0$. Так как $V$ есть функция непрерывная, то из (10.3) вытекает, что
\[
x(t)=\max \left\{\left|x_{1}(t)\right| \ldots,\left|x_{n}(t)\right|\right\}>a,
\]
где $a$ – некоторое положительное число. Но так как $\frac{d V}{d t}$ есть функция определенно-отрицательная, то из (10.4) вытекает, что
\[
\frac{d V}{d t} \leqslant-b,
\]
где $b$-также положительное число.
Следовательно, при всех $t>t_{0}$ будет выполняться неравенство
\[
\begin{aligned}
V\left[x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right]=V\left[x_{1}\left(t_{0}\right), \ldots, x_{n}\left(t_{0}\right)\right]+\int_{t_{0}}^{t} \frac{d V}{d t} d t & \leqslant \\
& \leqslant V\left[x_{1}\left(t_{0}\right), \ldots, x_{n}\left(t_{0}\right)\right]-b\left(t-t_{0}\right),
\end{aligned}
\]
что, очевидно, невозможно, так как правая часть этого неравенства при достаточно больших $t$ делается отрицательной, что противоречит условию положительности $V\left[x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right]$. Таким образом, мы приходим к заключению, что
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} V\left[x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right]=0,
\]
откуда вследствие знакоопределенности $V$ вытекает (10.2), что и доказывает теорему.
Примечание. Назовем областью асимптотической устойчивости наибольшую область начальных значений $x_{s}^{0}$, при которых для решений уравнении (6.1) выполняются условия (10.2). Из предыдущего доказательства вытекает, что эта область во всяком случае не меньше области (10.1), где $\eta=\eta(\varepsilon)$, причем $\eta(\varepsilon)$ строится по числу $\varepsilon$ так, как указано в примечании в конце предыдущего параграфа $\left.{ }^{1}\right)$.
