Рассмотрим систему ( $n+4$ )-го порядка с постоянными коэффициентами, для которой характеристическое уравнение первого приближения имеет две пары чисто мнимых корней $\pm {\lambda }_{1}l$ и $\pm {\lambda }_{2}l$ и $n$ корней с отрицательными вещественными частями. Мы будем предполагать, что отношение $\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}$ иррационально. Подходящим выбором переменных эту систему можно представить в виде
$$\begin{array}{c}\frac{d{x}_j}{dt}={\lambda }_{j}i{x}_j+X_j(x_1,y_1,x_2,y_2,z_1,\dots ,z_n),\\ \frac{d{y}_j}{dt}=-{\lambda }_{j}i{y}_j+Y_j(x_1,y_1,x_2,y_2,z_1,\dots ,z_n),\\ \frac{d{z}_s}{dt}=p_{s1}{z}_1+\dots +p_{sn}{z}_n+{\alpha }_s{x}_1+{\beta }_s{y}_1+{\gamma }_s{x}_2+{\delta }_s{y}_2+\\ +Z_s(x_1,y_1,x_2,y_2,z_1,\dots ,z_n)\\ (j=1,2;s=1,2,\dots ,n),\end{array}\}$$

где коэффициенты $p_{si}$ таковы, что уравнение
$$|p_{si}-{\delta }_{si}\rho |=0$$
1) См. примечание в конце книги (стр. 530).
2) Малкин И. Г., Решение некоторых критических случаев задачи устойчивости движения. Прикл. матем. и мех., т. ХV. вып. 5, 1951.

имеет корни только с отрицательными вещественными частями. Функции $X_j,Y_j,Z_s$, как обычно, предполагаются аналитическими с разложениями, начинающимися членаии не ниже второго порядка.
Наряду с системой (95.1) рассмотрим «укороченную» систему
$$\begin{array}{c}\frac{d{x}_j}{dt}={\lambda }_{j}i{x}_j+X_j(x_1,y_1,x_2,y_2,u_1,\dots ,u_n),\\ \frac{d{y}_j}{dt}=-{\lambda }_{j}i{y}_j+Y_j(x_1,y_1,x_2,y_2,u_1,\dots ,u_n)\\ (j=1,2),\end{array}\}$$

где $u_s(x_1,y_1,x_2,y_2)$ — ряды по степеням переменных $x_1,y_1,x_2,y_2$, не имеющие свободных членов и представляюцие формальные решения уравнений с частными производными:
$$\begin{array}{c}\sum _{j=1}^2[\frac{\partial u_s}{\partial x_j}{\lambda }_{j}i{x}_j+X_j(x_1,y_1,x_2,y_2,u_1,\dots ,u_n)+\\ +\frac{\partial u_s}{\partial y_j}-{\lambda }_{j}i{y}_j+Y_i(x_1,y_1,x_2,y_2,u_1,\dots ,u_n)]=\\ =p_{s1}{u}_1+\dots +p_{sn}{u}_n+{\alpha }_s{x}_1+{\beta }_s{y}_1+{\gamma }_s{x}_2+{\delta }_s{y}_2+\\ +Z_s(x_1,y_1,x_2,y_2,u_1,\dots ,u_n)\\ (s=1,2,\dots ,n).\end{array}$$

Пусть $X_j^{(m)},Y_j^{(m)}$ — формы $m$-го порядка переменных $x_1,y_1$, $x_2,y_2$, представляющие, соответственно, члены $m$-го порядка в правых частях уравнений ((95.2). Рассмотрим систему
$$\begin{array}{c}\frac{d{x}_j}{dt}={\lambda }_{j}i{x}_j+X_j^{(2)}+\dots +X_j^{(N)}+{\phi }_j(t,x_1,y_1,x_2,y_2),\\ \frac{d{y}_j}{dt}=-{\lambda }_{j}i{y}_j+Y_j^{(2)}+\dots +Y_j^{(N)}+{\psi }_j(t,x_1,y_1,x_2,y_2)\\ (j=1,2),\end{array}\}$$

где $N$ — сколь угодно большое целое число, а ${\phi }_j$ и ${\psi }_j$-зависящие от $t$ аналитические функции перєменных $x_1,y_1,x_2,y_2$, удовлетворяющие при всех $t⩾0$ в некоторои окрестности начала координат условиям
$$\begin{array}{l}\left|{\phi }_j(t,x_1,y_1,x_2,y_2)\right|<A{\{\left|x_1\right|+\left|y_1\right|+\left|x_2\right|+\left|y_2\right|\}}^{N+1},\\ \left|{\psi }_j(t,x_1,y_1,x_2,y_2)\right|<A{\{\left|x_1\right|+\left|y_1\right|+\left|x_2\right|+\left|y_2\right|\}}^{N+1},\end{array}\}$$

где $A$ — некоторая постоянная. Если невозмущенное движение $x_1=$ $=y_1=x_2=y_2=0$ для системы (95.3) будет устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво при любом выборе функций ${\phi }_j$ и ${\psi }_j$, то согласно $\mathrm{\S }93$ невозмущенное движение $x_1=y_1=x_2=$ $=y_2=z_1=\dots =z_n=0$ для системы (95.1) будет также соответственно, устойчиво или асимптотически устойчиво, или неустойчиво. Таким ббразом, задача сводится к исследованию системы (95.3).

Заметим прежде всего, что переменные $x_j$ и $y_j$ являются комплексно сопряженными. Поэтому вторая группа уравнений (95.3) может быть получена из первой заменой $i$ на $-i,x_j$ на $y_j,y_j$ на $x_j$. Этим обстоятельством мы неоднократно будем пользоваться в дальнейшем.

Введем теперь в уравнения (95.3) вместо переменных $x_1,y_1$, $x_2,y_2$ переменные $u_1,v_1,u_2,v_2$ при помощи подстановки
$$\begin{array}{l}{x}_j=u_j+u_j^{(2)}(u_1,v_1,u_2,v_2)+\dots +u_j^{(N)}(u_1,v_1,u_2,v_2)\text{, }\\ \begin{array}{c}{y}_j=v_j+v_j^{(2)}(u_1,v_1,u_2,v_2)+\dots +v_j^{(N)}(u_1,v_1,u_2,v_2)\\ (j=1,2)\end{array}\}\end{array}$$

где $u_j^{(m)}(u_1,v_1,u_2,v_2)$ и $v_j^{(m)}(u_1,v_1,u_2,v_2)$ — некоторые подлежащие определению формы $m$-го прядка переменных $u_1,v_1,u_2,v_2$. Эти формы мы постараемся подобрать таиим образом, чтобы преобразованные уравнения приняли вид
$$\begin{array}{c}\frac{d{u}_j}{dt}={\lambda }_{j}i{u}_j+\sum _{k=1}^{\frac{1}{2}(N-1)}{U}_j^{(2k+1)}(u_1,v_1,u_2,v_2)+{\mathrm{\Phi }}_j(t,u_1,v_1,u_2,v_2),\\ \frac{d{v}_j}{dt}=-{\lambda }_{j}i{v}_j+\sum _{k=1}^{\frac{1}{2}(N-1)}{\overline{U}}_j^{(2k+1)}(v_1,u_1,v_2,u_2)+{\mathrm{\Psi }}_j(t,u_1,v_1,u_2,v_2)\\ (j=1,2).\end{array}\}$$

Здесь функции ${\mathrm{\Phi }}_j$ и ${\mathrm{\Psi }}_j$ начинаются членами не ниже $(N+1)$-го порядка (число $N$ предполагаем нечетным), $U_j^{(m)}(u_1,v_1,u_2,v_2)$ и ${\overline{U}}_j^{(m)}(v_1,u_1,v_2,u_2)$ — формы $m$-го порядка переменных $u_1,v_1,u_2,v_2$. Черта над буквой обозначает комплексную сопряженность, так что формы ${\overline{U}}_j^{(m)}(v_1,u_1,v_2,u_2)$ получаются из $U_j^{(m)}(u_1,v_1,u_2,v_2)$ заменой $i$ на $-i,u_j$ на $v_j$ и $v_j$ на $u_j$, т. е. если
$$\begin{array}{c}{U}_j^{(m)}(u_1,v_1,u_2,v_2)=\sum A_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}{u}_1^{m_1}{v}_1^{m_2}{u}_2^{n_1}{v}_2^{n_2}\\ (j=1,2;m_1+m_2+n_1+n_2=m),\end{array}$$
ro
$$\begin{array}{c}{\overline{U}}_j^{(m)}(v_1,u_1,v_2,u_2)=\sum {\overline{A}}_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}{v}_1^{m_1}{u}_1^{m_2}{v}_2^{n_1}{u}_2^{n_2}\\ (j=1,2;m_1+m_2+n_1+n_2=m).\end{array}$$

Формы $U_j^{(m)}$, кроме того, таковы, что
$$\begin{array}{l}{A}_1^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}=0,\text{ если }{(n_1-n_2)}^2+{(m_1-m_2-1)}^{2}eq0;\\ A_2^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}=0,\text{ если }{(m_1-m_2)}^2+{(n_1-n_2-1)}^{2}eq0,\end{array}$$

так что из всех коэффициентов $A_1^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}$ отличными от нуля являются лишь те, для. которых одновременно $n_1=n_2$ и $m_1-m_2=1$, а из коэффициентов $A_2^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}$ отличными от нуля будут лишь те, для которых одновременно $m_1=m_2,n_1-n_2-1=0$.

Мы сейчас покажем, что эти условия могут быть удовлетворены и что они определяют как формы $u_j^{(m)},v_j^{(m)}$, так и коэффициенты $A_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}$, причем все эти величины определяются крайне простыми вычислениями, так как дія каждого коэффициента форм $u_j^{(m)},v_j^{(m)}$ и для каждого коэффициента $A_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}$ получится линейное алгебраическое уравнение с одной неизвестной

Заметим прежде всего, что, как показывают уравнения (95.6), вторая группа этих уравнений должна получиться (по крайней мере, с точностью до членов $N$-го порядка) из первой группы заменой $i$ на $-i,u_j$ на $v_j,v_j$ на $u_j$, т. е. переменные $u_j$ и $v_j$ должны получиться комплексно сопряженными. Так как такими же свойствами обладают и исходные уравнения (95.3), то должно быть $v_j^{(m)}(u_1,v_1$, $u_9,v_2)={\overline{u}}_j^{(m)}(v_1,u_1,v_2,u_2)$, т. е. если
$$\begin{array}{l}{u}_j^{(m)}=\sum B_j^{(m_1,m_2,n_{\mathrm{t}},n_2)}{u}_1^{m_1}{v}_1^{m_2}{u}_2^{n_1}{v}_2^{n_2}\\ (j=1,2;m_1+m_2+n_1+n_2=m),\end{array}$$

To
$$\begin{array}{l}{v}_j^{(m)}=\sum {\overline{B}}_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}{v}_1^{m_1}{u}_1^{m_2}{v}_2^{n_1}{u}_2^{n_2}\\ (j=1,2;m_1+m_2+n_1+n_2=m).\end{array}$$

Если при выполнении этих условий удастся подобрать преобразование (95.5) так, чтобы первая группа уравнений (95.6) имела требуемый вид, то требуемый вид будет иметь также и вторая группа этих уравнений.

Заменяя в первой группе уравнений (95.3) $x_j$ и $y_j$ их выражениями (95.5) и принимая во внимание (95.6), получим:
$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{j}i{u}_j& +U_j^{(3)}+\dots +\sum _{\beta =2}^N\sum _{\alpha =1}^2\{\frac{\partial u_j^{(\beta )}}{\partial u_{\alpha }}({\lambda }_{\alpha }i{u}_{\alpha }+U_a^{(3)}+\dots )+\\ & +\frac{\partial u_j^{(\beta )}}{\partial v_{\alpha }}(-{\lambda }_{\alpha }i{v}_{\alpha }+{\overline{U}}_{\alpha }^{(3)}+\dots )\}={\lambda }_{j}l(u_j+u_j^{(2)}+\dots )+\\ & +X_j^{(2)}(u_1+\dots ,\dots ,v_2+\dots )+\dots (j=1,2).\end{array}$$

Задавшись произвольным числом $m<N$, приравняем в обеих $m_1+m_2+n_1+n_2=m$. Тогда, принимая во внимание (95.7), (95.8), (95.10) и (95.11), мы получим для определения коэффициентов $B_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}$ следующие уравнения:
$$\begin{array}{l}[(m_1-m_2){\lambda }_1+(n_1-n_2){\lambda }_2-{\lambda }_j]B_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}+\\ +\alpha A_j^{(m_1,n_2,n_1,n_2)}=C_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)},\end{array}$$

где $\alpha =0$ при $m$ четном и $\alpha =1$ при $m$ нечетном.
Здесь $C_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}$ — целые рациональные функции от тех коэффициентов $A_s^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}$ и $B_s^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}$ (и комплексно сопряженньх с ними величин), для которых $m_1+m_2+n_1+n_2<m$. Допустим, что все эти коэффициенты уже определены и, следовательно, веливым из них будет тот, когда при $j=1$ одновременно выполняются условия $m_1=m_2+1,n_1=n_2$, а при $=2$ — условия $m_1=m_2$, $n_1=n_2+1$. Этот случай возможен лишь при $m$ нечетном. В первом случае коэффициент при $B_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}$ в уравнении (95.13) обращается
$$A_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}=C_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2).}$$

Коэффициент $B_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}$ остается произвольным, и мы его можем положить равным нулю.

Во втором случае вышеуказанные условия относительно индексов не выполняются. В этом случае коэффициент при $B_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}$ в уравнении (95.13) не обращается в нуль, так как, по условию, отношение ${\lambda }_1/{\lambda }_2$ является числом иррациональным. Мы можем тогда положить
$$A_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}=0,B_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}=\frac{C_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}}{(m_1-m_2){\lambda }_1+(n_1-n_2){\lambda }_2-{\lambda }_j}.$$

Если теперь учесть, что при $m=1$ коэффициенты $C_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}$ являются известными величинами, то из вышесказанного вытекает, что мы можем действительно определить преобразование (95.5), приводящее систему (95.3) к виду (95.6), причем для коэффициентов форм $U_{(j)}^m(u_1,v_1,u_2,v_2)$ будут выполняться условия (95.9). Само определение преобразования, как мы сейчас видели, чрезвычайно просто и сводится к составлению уравнений (95.13), что требует лишь развертывания левых и правых частей уравнений (95.12).

Рассмотрим подробнее преобразованные уравнения. Очевидно, прежде всего, что функции ${\mathrm{\Phi }}_j$ и ${\mathrm{\Psi }}_j$ удовлетворяют при всех $t⩾0$ и при значениях $u_j$ и $v_j$, достаточно малых, неравенствам
$$\begin{array}{l}{\mathrm{\Phi }}_j(t,u_1,v_1,u_2,v_2)<B{\{\left|u_1\right|+\left|v_1\right|+\left|u_2\right|+\left|v_2\right|\}}^{N+1},\}\\ {\mathrm{\Psi }}_j(t,u_1,v_1,u_2,v_2)<B{\{\left|u_1\right|+\left|v_1\right|+\left|u_2\right|+\left|v_2\right|\}}^{N+1},\}\end{array}$$

где $B$ — некоторое положительное число.
Положим теперь
$$\begin{array}{c}{u}_j={\rho }_j(\cos {\vartheta }_j+i\sin {\vartheta }_j),v_j={\rho }_j(\cos {\vartheta }_j-i\sin {\vartheta }_j)\\ (j=1,2),\end{array}$$

где ${\rho }_1,{\rho }_2,{\vartheta }_1$ и ${\vartheta }_2$ — новые переменные. Тогда, принимая во внимание (95.7), (95.8) и (95.9), легко найдем, что уравнения (95.6) примут вид
$$\begin{array}{l}+e^{i\vartheta j}j{\mathrm{\Psi }}_j(t,{\rho }_1{e}^{i{\vartheta }_1},\dots ,{\rho }_2{e}^{-i{\theta }_2})\\ (j=1,2;m_1+m_2+n_1+n_2=3,5,\dots ,N).\end{array}$$

Полагая

и выделяя вещественные и мнимые части, получим две группы уравнений
$$\begin{array}{l}(j=1,2;m_1+m_2+n_1+n_2=3,5,\dots ,N)\end{array}$$

и

Здесь функции $R_j,{\theta }_j$, очевидно, таковы, что при всех $t⩾0$, при всех значениях ${\vartheta }_1,{\vartheta }_2$ и при достаточно малых значениях ${\rho }_1$ и ${\rho }_2$ выполняются неравенства
$$\begin{array}{l}\left|R_j(t,{\vartheta }_1,{\vartheta }_2,{\rho }_1,{\rho }_2)\right|<C\{\left|{\rho }_1\right|+{\left|{\rho }_2\right|}^{N+1},\}\\ \left|{\theta }_j(t,{\vartheta }_1,{\vartheta }_2,{\rho }_1,{\rho }_2)\right|<C\{\left|{\rho }_1\right|+{\left|{\rho }_2\right|}^{N+1},\}\end{array}$$

где $C$ — положительная постоянная.

Если невозмущенное движение ${\rho }_1={\rho }_2=0$ для уравнений (95.16), в которых ${\vartheta }_1$ и ${\vartheta }_2$ рассматриваются как произвольные функции времени, устойчиво, асимптотически устоичиво или неустойчиво при любом выборе функций $R_j$, удовлетворяющих условиям (95.17), то по характеру преобразования (95.15) то же самое будет иметь место и для невозмущенного движения $x_1=y_1=x_2=y_2=0$ уравнений (95.3) при любом выборе функций ${\phi }_j$ и ${\psi }_j$, удовлетворяющих условиям (95.4). Справедливо, очевидно, и обратное соотношение между системами (95.3) и (95.16). Поэтому задача сводится к исследованию на устойчивость системы второго порядка (95.16).

Обращаясь к последней, замечаем, что она представляет некоторый частный случай задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе, и для решения ее мы можем воспользоваться полученными в этом параграфе результатами. Запишем с этой целью уравнения (95.16) в виде
$$\begin{array}{l}\frac{d{\rho }_j}{dt}=R_j^{(m)}({\rho }_1,{\rho }_2)+R_j^{(m+2)}({\rho }_1,{\rho }_2)+\dots +R_j^{(N)}({\rho }_1,{\rho }_2)+\\ +R_j(t,{\vartheta }_1,{\vartheta }_2,{\rho }_1,{\rho }_2)\\ (j=1,2),\end{array}$$

где $m⩾3$ ( $m$ — нечетное), а $R_j^{(k)}$ — формы $k$-го порядка переменных ${\rho }_1$ и ${\rho }_2$. При этом, принимая во внимание (95.9), мы можем писать:
$$\begin{array}{l}{R}_1^{(m)}=A_m{\rho }_1^m+A_{m-2}{\rho }_1^{m-2}{\rho }_2^2+\dots +A_1{\rho }_1{\rho }_2^{m-1},\\ R_2^{(m)}=B_m{\rho }_2^m+B_{m-2}{\rho }_2^{m-2}{\rho }_1^2+\dots +B_1{\rho }_2{\rho }_1^{m-1},\end{array}$$

где $A_s$ и $B_s$ — некоторые постоянные.
Составляя далее формы $P({\rho }_1,{\rho }_2)$ и $G({\rho }_1,{\rho }_2)$ (§94), будем иметь:
$$\begin{array}{l}P({\rho }_1,{\rho }_2)={\rho }_1{R}_1^{(m)}+{\rho }_2{R}_2^{(m)}=\\ =A_m{\rho }_1^{m+1}+(A_{m-2}+B_1){\rho }_1^{m-1}{\rho }_2^2+\dots +B_m{}_2^{m+1},\\ G({\rho }_1,{\rho }_2)={\rho }_1{R}_2^{(m)}-{\rho }_2{R}_1^{(m)}=\\ ={\rho }_1{\rho }_2[(B_1-A_m){\rho }_1^{m-1}+(B_3-A_{m-2}){\rho }_1^{m-3}{\rho }_2^2+\dots +(B_m-A_1){\rho }_2^{m-1}].\end{array}$$

В рассматриваемом случае $G$ никогда не будет знакоопределенной При этом уравнение $G=0$ выполняется для осей координат ${\rho }_1={\rho }_2=0$ и прямых, определяемых уравнением
$$\begin{array}{l}{G}^{\ast }({\rho }_1,{\rho }_2)=(B_1-A_m){\rho }_1^{m-1}+(B_3-A_{m-2}){\rho }_1^{m-3}{\rho }_2^2+\cdots +\\ +(B_m-A_1){\rho }_2^{m-1}=0.\end{array}$$

На осях координат ${\rho }_1=0$ и ${\rho }_2=0$ форма $P$ принимает соответственно значения $B_m{\rho }_2^{m+1}$ и $A_m{\rho }_1^{m+1}$. Поэтому на основании теоремы предыдущего параграфа невозмущенное движение будет неустойчиво, если хотя бы одна из величин $A_m,B_m$ положительна. Если $A_m⩽0$ и $B_m⩽0$, то невозмущенное движение будет неустойчиво, если хотя бы на одной из вещественных прямых, определяемых уравнением (95.19), форма $P$ может принимать положительные значения. Напротив, если на каждой такой вещественной прямой форма $P$ может принимать только отрицательные значения и если при этом $A_m<0,B_m<0$, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически. Если форма $P$ обращается в нуль либо при ${\rho }_1=0$ (т. е. $B_m=0$ ), либо при ${\rho }_2=0$ (т. е. $A_m=0$ ), либо на одной из прямых (95.19) и если при этом ни на одной из прямых (95.19) или осях координат она не может принимать положительных значений, то решение задачи требует рассмотрения в уравнениях (95.18) членов порядков более высоких, чем $m$. На этих исключительных случаях мы здесь не останавливаемся.

В тех случаях, которые мы сеичас рассмотрели, задача решается членами наинизшего порядка в уравнениях (95.18). Следовательно, коэффициенты $A_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}$ нужно вычислять до тех пор, пока мы не придем к некоторому порядку $m$, для которого не все величины $\mathrm{Re}\left(A_1^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}\right)$ равны нулю при $m_1+m_2+n_1+n_2=m$. Может случиться, что все величины $\mathrm{Re}\left(A_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}\right)$ обращаются в нуль, как бы велико ни было число $m_1+m_2+n_1+n_2$. Этот исключительный случай, при котором задача устойчивости вообще не решается конечным числом членов, как и все другие аналогичные случаи, здесь не рассматривается.

Таким образом, мы получили решение задачи устоичивости для рассматриваемого критического случая, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет две пары чисто мнимых корней ${}^1$ ).
Пример. Пусть предложена система четвертого порядка
$$\begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\lambda }^{2}x=f[x,y,{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2,{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2]+a{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^3,\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=F[x,y,{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2,{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2]+b{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^3,\end{array}$$

где $a$ и $b$-постоянные, а $f$ и $F$-аналитические функции своих аргументов, разложения которых по степеням $x,y,\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}$
1) Этот критический случай рассмотрен впервые в работе Г. В. Каменкова, цитированной на стр. 411, который также приводит задачу к случаю двух нулевых корней. Однако предложенный $\mathrm{\Gamma }$. В. Каменковым метод решения задачи требует проведения большого числа предварительных преобразований, каждое из которых приводит к очень громоздким вычислениям.

начинаются членами не ниже третьего порядка. Полагая
$$\begin{array}{l}{x}_1=x-\frac{i}{\lambda }\frac{dx}{dt},y_1=x+\frac{i}{\lambda }\frac{dx}{dt},\\ x_2=y-\frac{i}{\omega }\frac{dy}{dt},y_2=y+\frac{1}{\omega }\frac{dy}{dt},\end{array}$$

приведем данную систему к виду
$$\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{dt}=i\lambda x_1+i{\phi }_1(x_1,y_1,x_2,y_2)+\frac{a{\lambda }^3}{8\omega }{(y_1-x_1)}^3,\\ \frac{d{x}_2}{dt}=i\omega x_2+i{\phi }_2(x_1,y_1,x_2,y_2)+\frac{b{\omega }^3}{8\lambda }{(y_2-x_2)}^3,\\ \frac{d{y}_1}{dt}=-i\lambda y_1-i{\phi }_1(y_1,x_1,y_2,x_2)+\frac{a{\lambda }^3}{8\omega }{(x_1-y_1)}^3,\\ \frac{d{y}_2}{dt}=-i\omega y_2-i{\phi }_2(y_1,x_1,y_2,x_2)+\frac{b{\omega }^3}{8\lambda }{(x_2-y_2)}^3,\end{array}$$

где ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$ — вещественные аналитические функции своих аргументов, разложения которых начинаются членами не ниже третьего порядка. Делаем далее подстановку (95.5), в которой можно положить $u_j^{(2)}=v_j^{(2)}=0$, так как правые части уравнений (95.20) не содержат членов второго порядка. Таким образом, полагаем:
$$\begin{array}{c}{x}_j=u_j+u_j^{(3)}(u_1,v_1,u_2,v_2)+\dots ,\\ y_j=v_j+v_j^{(3)}(u_1,v_1,u_2,v_2)+\dots \\ (j=1,2),\\ u_j^{(3)}=\sum B_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}{u}_1^{m_1}{v}_1^{m_2}{u}_2^{n_1}{v}_2^{n_2},\\ v_j^{(3)}=\sum {\overline{B}}_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}{v}_1^{m_1}{u}_1^{m_2}{v}_2^{n_1}{u}_2^{n_2}\\ (j=1,2;m_1+m_2+n_1+n_2=3).\end{array}\}$$

где
$$\begin{array}{c}{u}_j^{(3)}=\sum B_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}{u}_1^{m_1}{v}_1^{m_2}{u}_2^{n_1}{v}_2^{n_2},\\ v_j^{(3)}=\sum {\overline{B}}_j^{(m_1,m_2,n_1,n_2)}{v}_1^{m_1}{u}_1^{m_2}{v}_2^{n_1}{u}_2^{n_2}\\ (j=1,2;m_1+m_2+n_1+n_2=3).\end{array}\}$$

Подстановку (95.21) подбираєм таким образом, чтобы уравнения приняли вид (95.6) с соблюдением условий (95.9), так что можно положить:
$$\begin{array}{l}\frac{d{u}_1}{dt}=i\lambda u_1+{\alpha }_1{u}_1^2{v}_1+{\beta }_1{u}_1{u}_2{v}_2+\dots ,\\ \frac{d{u}_2}{dt}=i\omega u_2+{\alpha }_2{u}_2^2{v}_2+{\beta }_2{u}_1{u}_2{v}_1+\dots \\ \frac{d{v}_1}{dt}=-i\lambda v_1+{\overline{\alpha }}_1{v}_1^2{u}_1+{\overline{\beta }}_1{v}_1{v}_2{u}_2+\dots \\ \frac{d{v}_2}{dt}=-i\omega v_2+{\overline{\alpha }}_2{v}_2^2{u}_2+{\overline{\beta }}_2{v}_1{v}_2{u}_1+\dots \end{array}\}$$

где ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2$ — подлежащие определению постоянные и ненаписанные члены имеют порядок не ниже четвертого.

Подставляя в первое уравнение (95.20) вместо $x_1,y_1,x_2,y_2$ их значения из (95.21), заменяя при этом производные $\frac{d{u}_j}{dt},\frac{d{v}_j}{dt}$ их выражениями (95.23) и приравнивая члены третьего порядка, получим:
$$\begin{array}{r}{\alpha }_1{u}_1^2{v}_1+{\beta }_1{u}_1{u}_2{v}_2+i\lambda u_1\frac{\partial u_1^{(3)}}{\partial u_1}-i\lambda v_1\frac{\partial u_1^{(3)}}{\partial v_1}+i\omega u_2\frac{\partial u_1^{(3)}}{\partial u_2}-i\omega v_2\frac{\partial u_1^{(3)}}{\partial v_2}=\\ =i\lambda u_1^{(3)}+i{\phi }_1^{(3)}(u_1,v_1,u_2,v_2)+\frac{a{\lambda }^3}{8\omega }{(v_1-u_1)}^3,\end{array}$$

где ${\phi }_1^{(3)}$ — совокупность членов третьего порядка в функции ${\phi }_1$. Приравнивая в обеих частях (95.24) коэффициенты при $u_1^2{v}_1$ и $u_1{u}_2{v}_2$, учитывая при этом (95.22), найдем:
$$\begin{array}{rl}{\alpha }_1+(2i\lambda -i\lambda )B_1^{(2,1,0,0}& =i\lambda B_1^{(2,1,0,0)}+i{a}_1+\frac{3a{\lambda }^3}{8\omega },\\ {\beta }_1+(i\lambda +i\omega -i\omega )B_1^{(1,0,1,1)}& =i\lambda B_1^{(1,0,1,1)}+i{b}_1,\end{array}$$

или
$${\alpha }_1=\frac{3a{\lambda }^3}{8\omega }+l{a}_1,{\beta }_1=i{b}_1.$$

Здесь $a_1$ и $b_1$ — вещественные числа, представляющие собой коэффициенты при $u_1^2{v}_1$ и $u_1{u}_2{v}_2$ в функции ${\phi }_1(u_1,v_1,u_2,v_2)$. Аналогичным образом находим:
$${\alpha }_2=\frac{3b{\omega }^3}{8\lambda }+i{a}_2,{\beta }_2=i{b}_2,$$

где $a_2$ и $b_2$-коэффициенты при $u_2^2{v}_{{\mathrm{\Sigma }}_2}$ и $u_1{u}_2{v}_1$ в функции ${\phi }_2(u_1,v_1,u_2,v_2)$.
Делая теперь подстановку (95.15), окончательно найдем:
$$\frac{d{\rho }_{\mathrm{t}}}{dt}=\frac{3a{\lambda }^3}{8\omega }{\rho }_1^3+\dots ,\frac{d{\rho }_2}{dt}=\frac{3b{\omega }^3}{8\lambda }{\rho }_2^3+\dots ,$$

где ненаписанные члены имеют порядок не ниже четвертого. Отсюда сразу следует, что если хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ положителен, то невозмущенное движение неустойчиво. Если же оба коэффициента отрицательны, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически.