В предыдущем параграфе установлены три эквивалентных между собой критерия устоичивости по первому приближению. Естественно, возникает вопрос, будут ли указанные критерии эквивалентны критерию Ляпунова или они дают более широкие условия устоичивости по первому приближению, или, напротив, более узкие условия. Нижеприводимые примеры показывают, что ни одно из этих предположений неверно. Может случиться, что для системы первого приближения выполняются условия Ляпунова и не выполняются условия теорем предыдущего параграфа, и наоборот, существуют системы, для которых выполняются условия указанных теорем и не выполняются условия Ляпунова. Чтобы это показать, рассмотрим сначала систему ${ }^{3}$ )
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}}{d t}=-(2-\sin [\ln (t+1)]) x_{1}=p x_{1}, \\
\frac{d x_{2}}{d t}=x_{1}-x_{2} .
\end{array}
\]
Эта система имеет положительные характеристичные числа, но она не является правильной, так как выражение
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{t} \int_{0}^{t} p d t=-2+\frac{1}{2}[\sin \ln (t+1)- & \cos \ln (t+1)]+ \\
& +\frac{1+\sin \ln (t+1)-\cos \ln (t+1)}{2 t}
\end{aligned}
\]
1) Малкин И. Г., Об устойчнвости по первому приближению. Сб. научных трудов Казанск. авиац. ин-та, № 3,1935 .
2) См. примечание в конце книги (стр. 528).
3) См. работу автора, цитированную в сноске ‘).
не стремится ни к какому пределу при $t \rightarrow \infty$, что является (см. § 79) необходимым и достаточным условием правильности такого рода систем. Вместе с тем, производная от функции $V=\frac{1}{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)$, составленная в силу этих уравнений, равная
\[
\frac{d V}{d t}=-[2-\sin \ln (t+1)] x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}-x_{2}^{2},
\]
будет определенно-отрицательной, и следовательно, выполняются условия теоремы 1, а также и двух других теорем предыдущего параграфа.
Рассмотрим теперь систему ${ }^{1}$ ), состоящую из одного уравнения
\[
\frac{d x}{d t}=-(1+2 \pi \cos \sqrt{t}) x=p x \text {. }
\]
Так как
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t} p d t=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t}[-t-4 \pi \cos \sqrt{t}-4 \pi \sqrt{t} \sin \sqrt{t}+4 \pi]=-1 \text {, }
\]
то система правильна и обладает положительным характеристичным числом, равным единице. Следовательно, выполняются условия критерия Ляпунова. Вместе с тем легко показать, что для этого уравнения не выполняются неравенства (88.5) и, следовательно, критерии предыдущего параграфа. Действительно, в рассматриваемом случае
\[
\begin{array}{l}
x\left(t, t_{0}\right)=\exp \left[-\left(t-t_{0}\right)-4 \pi\left(\cos \sqrt{t}-\cos \sqrt{t_{0}}\right)-\right. \\
\left.-4 \pi\left(\sqrt{t} \sin \sqrt{t}-\sqrt{t_{0}} \sin \sqrt{t_{0}}\right)\right] .
\end{array}
\]
ІІлагая $t_{0}=\left(2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{2}$ и $t=(2 k \pi+\pi)^{2}>t_{0}$, где $k$ – целое число, будем иметь:
\[
x_{s}\left(t, t_{0}\right)=\exp \left[-\left(4 k \pi+\frac{3}{2} \pi\right) \frac{\pi}{2}+4 \pi+4 \pi\left(2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right)\right]>e^{6 k \pi^{2}} .
\]
С неограниченным возрастаниеи $k$ правая часть этого неравенства неограниченно возрастает и, следовательно, условия (88.5) не выполняются.
Приведем, наконец, еще один критерий устойчивости по первому приближению, указанный автором ${ }^{2}$ ). Этот критерий утверждает, что невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво при любом
1) Персидский К. П., К теории устойчивости интегралов систем дифференциальных уравнений. Изв. физ.-матем. об-ва при Казанск. гос. ун-те, т. VIII, 1936-1937.
${ }^{2}$ ) Ма лк ин И.Г., Об устойчивости движения по первому приближению. ДАН, т. XVIII, № 3, 1938.
выборе функций $\varphi_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, удовлетворяющих в области (88.2) условию (87.4), если вместо неравенств (88.5), фигурирующих в теореме 2 предыдущего параграфа, будут выполняться при всех $t_{0}>0$ и $t>t_{0}$ неравенства
\[
\left|x_{s j}\left(t, t_{0}\right)\right|<B e^{\beta t_{0}} e^{-a\left(t-t_{0}\right)},
\]
где $B$ и $\alpha$-не зависящие от $t_{0}$ положительные постоянные, а $\beta$ – также положительная постоянная, удовлетворяющая неравенству
\[
\beta<(2 m-1) \alpha \text {. }
\]
