А. М. Ляпунов показал, что всякую систему линеиных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами можно преобразовать при помощи линеиной подстановки с периодическими коэффициентами в систему уравнений с постоянными коэффициентами.

Для выполнения этого преобразования рассмотрим систему линенных уравнений
\[
\frac{d y_{s}}{d t}+p_{1 s} y_{1}+p_{2 s} y_{2}+\ldots+p_{n s} y_{n}=0 \quad(s=1,2, \ldots, n), \quad(54.1)
\]

сопряженную с системой (50.1). Если $y_{s}(t)$ – какое-нибудь решение системы (54.1), то линейная форма
\[
y_{1}(t) x_{1}+y_{2}(t) x_{2}+\ldots+y_{n}(t) x_{n}
\]

переменных $x_{s}$ определяет, как известно, первый интеграл уравнений (50.1). Подставляя в эту форму вместо $y_{s}(t)$ какие-нибудь $n$ независимых частных решений уравнений (54.1), мы получим $n$ независимых первых интегралов системы (50.1).

Пусть $\rho_{1}, \rho_{2}, \ldots, \rho_{m}$ – корни характеристического уравнения системы (54.1) ${ }^{1}$ ) и $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m}$ – соответствующие характеристические показатели. При этом каждый кратный корень мы выписываем столько раз, сколько групп решений ему соответствует. Таким образом, среди чисел $\rho_{j}$ могут быть и равные, но каждому из них соответствует только одна группа решений.

Обозначим через $n_{p}$ число решений в группе, отвечающей корню $\rho_{p}$. При этом, очевидно,
\[
n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{m}=n .
\]

Тогда, как было показано в § 52, система (54.1) имеет $n$ независимых решений следующего вида:
\[
\begin{array}{l}
y_{s 1}^{(p)}=e^{\alpha} p^{t} \varphi_{s 1}^{(p)}(t), \\
y_{s 2}^{(p)}=e^{\alpha} p^{t}\left(t \varphi_{s 1}^{(p)}(t)+\varphi_{s 2}^{(p)}(t)\right), \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\begin{array}{c}
y_{s n_{p}}^{(p)}=e^{\alpha} p^{t}\left(\frac{t^{n_{p}-1}}{\left(n_{p}-1\right) !} \varphi_{s 1}^{(p)}(t)+\ldots+t \varphi_{s, n_{p}-1}^{(p)}+\varphi_{s, n_{p}}^{(p)}(t)\right) \\
(s=1,2, \ldots, n ; p=1,2, \ldots, m),
\end{array} \\
\end{array}
\]

где $\varphi_{s j}^{(p)}(t)$ – периодические функции $t$ периода $\omega$. Мы придерживаемся при этом следующей системы обозначения решений: верхний индекс в $y_{s j}^{(p)}$ обозначает номер группы (номер корня), к которой принадлежит решение, а второй нижний индекс – номер решения в группе. Положим
\[
\begin{array}{c}
y_{j}^{(p)}=\varphi_{1 j}^{(p)} x_{1}+\varphi_{2 j}^{(p)} x_{\varepsilon}+\ldots+\varphi_{n j}^{(p)} x_{n} \\
\left(p=1,2, \ldots, m ; j=1,2, \ldots, n_{p}\right) .
\end{array}
\]
1) Обращаем внимание читателя, что в отличие от предыдущих параграфов через $\rho_{j}$ обозначены корни характеристического уравнения системы (54.1), а не системы (50.1).

Тогда, подставляя решения (54.3) в (54.2), мы получим следующие $n$ первых интегралов уравнений (50.1):
\[
\begin{array}{l}
e^{\alpha p^{t}} y_{1}^{(p)}=\text { const. } \\
e^{\alpha p^{t}}\left(t y_{1}^{(p)}+y_{2}^{(p)}\right)=\text { const. } \\
e^{a} p^{\prime}\left(\frac{t^{n} p^{-1}}{\left(n_{p}-1\right) !} y_{1}^{(p)}+\frac{t^{n}-2}{\left(n_{p}-2\right) !} y_{2}^{(p)}+\ldots+y_{n_{p}}^{(p)}\right)=\text { const. } \\
(p=1,2, \ldots, m) \text {. } \\
\end{array}
\]

Соотношения (54.4) определяют линейную подстановку с периоді ческими коэффициентами, которая ни при каких значениях $t$ не является особенной. В самом деле, определитель, составленный из $n^{2}$ фун! ций (54.3), отличен от нуля, так как эти функции образуют фундаментальную систему решений линейных уравнений Но этот определитель, как легко видеть, отличается никогда не обращающимся в нуль множителем
\[
e^{\left(n_{1} \alpha_{1}+n_{2} \alpha_{2}-\cdots+n_{p} \alpha_{p}\right)^{t}}
\]

от определителя подстановки (54.4), и следовательно, подстановка (54.4) не является особенной ни при каких значениях $t$.

Установив это, преобразуем систему (50.1) при помощи подстановки (54.4). Учтем, что выражения (54.5) являются первыми интегралами системы (50.1). Дифференцируя эти интегралы по $t$ и приравнивая производные нулю, легко получим следующие дифференциальные уравнения:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d y_{1}^{(p)}}{d t}=-\alpha_{p} y_{1}^{(p)}, \\
\frac{d y_{2}^{(p)}}{d t}=-\alpha_{p} y_{2}^{(p)}-y_{1}^{(p)}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\frac{d_{y_{p}^{(p)}}^{d t}}{d t}=-\alpha_{p} y_{n_{p}^{(p)}}-y_{n_{p}-1}^{(p)} \\
\quad(p=1,2, \ldots, m) .
\end{array}\right\}
\]

Это и будут преобразованные уравнения, обладающие постоянными коэффициентами. Таким образом, при помощи неособенной линейной подстановки с периодическими коэффициентами (54.4) система уравнений (50.1) преобразована в систему уравнений с постоянными коэффициентами.

Полученная система (54.6) будет иметь комплексные коэффициенты, так как величины $\alpha_{D}$ будут, вообще говоря, комплексными.

Поэтому, если мы желаем иметь дело только с вещественными уравнениями, то необходимы будут дальнейшие преобразования. Покажем, как это сделать.

Величина $\alpha_{p}$ будет комплексной либо тогда, когда соответствующий корень $\rho_{p}$ характеристического уравнения является комплексным, либо когда этот корень является вещественным, но отрицательным.

Рассмотрим сначала первый случай. Допустим, что корень $\rho_{i}$ является комплексным. Так как коэффициенты уравнений (50.1) вещественны, то все комплексные корни характеристического уравнения и все комплексные решения системы (54.1) распадаются на пары сопряженных. Пусть $\rho_{l}$ комплексно сопряжен с $\rho_{i}$. Тогда решения системы (54.1), отвечающие корню $\rho_{l}$, т. е. функции $y_{s j}^{(l)}$, будут комплексно сопряженными с решениями $y_{s j}^{(i)}$ и, следовательно, $n_{l}=n_{i}$ и переменные $y_{j}^{(l)}$ будут комплексно сопряжены с переменными $y_{j}^{(i)}$. Пусть
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{i}=\lambda_{i}+\sqrt{-1} \mu_{i}, \quad \alpha_{l}=\lambda_{i}-\sqrt{-1} \mu_{i}, \\
y_{j}^{(i)}=u_{j}^{(i)}+\sqrt{-1} v_{j}^{(l)}, \quad y_{j}^{(l)}=u_{j}^{(i)}-\sqrt{-1} v_{j}^{(i)} \\
(j=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

и примем $u_{j}^{(l)}$ и $v_{j}^{(i)}$ в качестве новых переменных вместо $y_{j}^{(l)}$ и $y_{j}^{(l)}$. Тогда, выделяя в $l$-й и $l$-й группах уравнений (54.6) вещественные и мнимые части, мы получим вместо двух указанных групп, состоящих из $n_{i}=n_{l}$ уравнений каждая и обладающих комплексными коэффишиентами, одну группу, состоящую из $2 n_{i}$ уравнений с вещественными коэффициентами следующего вида:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d u_{1}^{(i)}}{d t}=\lambda_{i} u_{1}^{(i)}-\mu_{i} v_{1}^{(i)}, \quad \frac{d v_{1}^{(i)}}{d t}=\lambda_{i} v_{1}^{(i)}+\mu_{i} u_{1}^{(i)}, \\
\frac{d u_{j}^{(i)}}{d t}=\lambda_{i} u_{j}^{(i)}-\mu_{i} v_{j}^{(i)}-u_{j-1}^{(i)}, \\
\frac{d v_{j}^{(i)}}{d t}=\lambda_{i} v_{j}^{(i)}+\mu_{i} v_{j}^{(i)}-v_{j-1}^{(i)} \\
\left(j=2, \ldots, n_{i}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Допустим теперь, что $\rho_{i}$ является отришательным вещественным числом. В этом случае, взяв арифметическое значение логарифма, мы можем писать:
\[
\alpha_{i}=\frac{1}{\omega} \ln \left(-\rho_{i}\right)+\frac{(2 q+1) \pi \sqrt{-1}}{\omega}=\lambda_{i}+\frac{(2 q+1) \pi \sqrt{-1}}{\omega},
\]

где $q$-целое число и величина $\lambda_{l}$ вещественна. Решения (54.3), отвечающие корню $\rho_{l}$, будут получаться комплексными. Но так как коэффициенты уравнений (54.1) вещественны, то вещественные части этих решений будут также являться решениями. Следовательно, корню $\rho_{l}$ отвечают решения
\[
\begin{array}{l}
y_{s 1}^{(i)}=e^{\lambda_{i} t} \psi_{s 1}^{(i)}(t) \\
y_{s 2}^{(i)}=e^{\lambda_{i} t}\left(t \psi_{s 1}^{(i)}(t)+\psi_{s 2}^{(i)}(t)\right) \text {, } \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
y_{s n_{i}}^{(i)}=e^{\lambda_{i} t}\left\{\frac{t^{n_{i}-1}}{\left(n_{i}-1\right) !} \psi_{s 1}^{(i)}(t)+\ldots+t \psi_{s, n_{i}-1}^{(i)}(t)+\psi_{s n_{i}}^{(i)}(t),\right\}, \\
\psi_{s j}^{(i)}=\operatorname{Re}\left\{\left(\cos \frac{(2 q+1) \pi t}{\omega}+\sqrt{-1} \sin \frac{(2 q+1) \pi t}{\omega}\right) \varphi_{s j}^{(i)}\right\}, \\
\end{array}
\]

где

и мы получаем для этого корня дифференциальные уравнения с вещественными коэффициентами:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d z_{1}^{(l)}}{d t} & =\lambda_{i} z_{1}^{(1)}, \\
\frac{d z_{j}^{(i)}}{d t} & =\lambda_{i} z_{j}^{(i)}-z_{j-1}^{(i)} \\
\quad(j & \left.=2, \ldots, \dot{n}_{i}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Здесь переменные $z_{j}^{(i)}$ отличаются от переменных $y_{j}^{(i)}$, определяемых формулами (54.4), только тем, что функции $\varphi_{s j}^{(i)}$ заменены функциями $\psi_{s j}^{(i)}$.

Таким образом, можно считать доказанным, что систему уравнений (50.1) при помощи вещественной неособенной линеиной подстановки можно привести к системе уравнений с постоянными коэффициентами. При этом, если характеристическое уравнение системы (54.1) не имеет вещественных отрицательных корней, то коэффициенты подстановки будут периодическими функциями периода $\omega$. Если же указанное характеристическое уравнение имеет вещественные отрицательные корни, то коэффициенты подстановки будут также периодическими функциями, но период этих функций будет, вообще, равен $2 \omega$. Это непосредственно вытекает из того обстоятельства, что период функции (54.8) будет, вообще говоря, $2 \omega$, так как этим периодом обладает множитель
\[
\left(\cos (2 q+1) \frac{\pi t}{\omega}+\sqrt{-1} \sin (2 q+1) \frac{\pi t}{\omega}\right) .
\]

Пусть предложена система линейных уравнений
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=q_{s 1} x_{1}+\ldots+q_{s n} x_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]

где $q_{s j}$-какие-нибудь непрерывные ограниченные функции $t$ при всех $t \geqslant t_{0}$. Допустим, что эта система может быть преобразована в систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами при помощи линеинного преобразования
\[
y_{s}=f_{s 1} x_{1}+\ldots+f_{s n} x_{n},
\]

обладающего тем свойством, что его коэффициенты $f_{s j}$, так же как и коэффициенты обратного преобразования, являются непрерывными и ограниченными функциями $t$ при всех $t \geqslant t_{0}$. В этом случае систему (54.10) А. М. Ляпунов предложил называть п риводи мой. Таким образом, любая линеиная система уравнений с непрерывными периодическими коэффициентами является приводимой ${ }^{1}$ ).