Рассмотрим систему линейных уравнений
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n} \quad(s=1,2, \ldots, n),
\]
где $p_{s}$ – непрерывные периодические функшии $t$ периода $\omega$.
Пусть $x_{s j}(t)$ – фундаментальная система решений уравнений (50.1). Здесь, как и в дальнейшем, первый индекс обозначает номер функции в каком-нибудь решении, а второй индекс-номер решения. Если мы во всех функциях $x_{s j}(t)$ какого-нибудь $j$-го решения заменим $t$ на $t+\omega$, то в силу периодичности коэффициентов $p_{s j}$ мы снова получим решение, так как функции $x_{s j}(t+\omega)$ будут по-прежнему удовлетворять уравнениям (50.1), если им удовлетворяли функции $x_{s j}(t)$. Полученное решение не будет совпадать с первоначальным решением $x_{s j}(t)$, но как всякое решение уравнений (50.1) оно необходимо должно являться линейной комбинацией фундаментальной системы (t)$. Следовательно, имеем:
\[
x_{s j}(t+\omega)=a_{1 j} x_{s 1}(t)+a_{2 j} x_{s 2}(t)+\ldots+a_{n j} x_{s n}(t),
\]
где $a_{1 j}, a_{2 j}, \ldots, a_{n j}$ – некоторые постоянные. Меняя $j$ от 1 до $n$, мы получим $n^{2}$ величин $a_{s j}$.
Составим уравнение
Это уравнение, играющее основную роль в теории линейных уравнений с периодическими коэффициентами, называется характеристическим уравнением, соответствующим периоду $ю$, или, короче, характеристическим уравнением.
Установим некоторые основные свойтва характеристического уравнения.
1. Характеристическое уравнение не зависит от выбранной бундаментальной системы.
Выберем вместо фундаментальной системы $x_{s j}$ другую фундаментальную систему $y_{s j}$. Для нее будем иметь:
\[
y_{s j}(t+\omega)=c_{1 j} y_{s 1}(t)+c_{2 j} y_{s 2}(t)+\ldots+c_{n j} y_{s n}(t),
\]
где $c_{s j}$, вообще говоря, отличны от $a_{s j}$. Покажем, однако, что корни характеристического уравнения, составленного из коэффициентов $c_{s j}$, совпадают с корнями уравнения (50.3).
В самом деле, так как величины $y_{s j}$ образуют фундаментальную систему, то должно быть:
\[
\begin{array}{c}
y_{s j}(t)=b_{1 j} x_{s 1}(t)+b_{2 j} x_{s 2}(t)+\ldots+b_{n j} x_{s n}(t) \\
(s, j=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]
где $b_{s j}$ – некоторые постоянные, причем определитель матрицы $\left\{b_{s j}\right\}$ отличен от нуля. Обозначим через $x(t)$ матрицу функций $x_{s j}(t)$, через $y(t)$ – матрицу функции $y_{s j}(t)$ и, соответственно, через $a, b$, $c$ – матрицы коэффициентов $a_{s j}, b_{s j}, c_{s j}$. Тогда зависимости (50.2), (50.4) и (50.5) могут быть представлены следующим образом:
\[
x(t+\omega)=x(t) a, \quad y(t+\omega)=y(t) c, \quad y(t)=x(t) b .
\]
Далее имеем:
\[
y(t+\omega)=x(t+\omega) b=x(t) a b=y(t) b^{-1} a b
\]
и, следовательно,
\[
c \equiv b^{-1} a b .
\]
Поэтому, если $E$ – единичная матрица, то характеристическић определитель из коэффициентов $c_{s j}$ может быть представлен следующим образом:
\[
\begin{aligned}
|c-\rho E| \equiv\left|b^{-1} a b-\rho E\right| \equiv\left|b^{-1}(a-\rho E) b\right| & \\
& \equiv\left|b^{-1}\right| \cdot|a-\rho E| \cdot|b| \equiv|a-\rho E|,
\end{aligned}
\]
что и доказывает наше предложение.
2. Характеристическо уравнение не изменится, если систему (50.1) подвергнуть неособенному линейному преоб разованию с периодичекими коэффииентами периода ю.
В самом деле, преобразуем уравнения (50.1) при помощи подстановки
\[
y_{s}=q_{s 1}(t) x_{1}+\ldots+q_{s n}(t) x_{n} \quad(s=1,2, \ldots n),
\]
где $q_{s j}$ – непрерывные и дифференцируемые периодические функции $t$ периода $\omega$ и притом такие, что определитель $\left|q_{s j}\right|$ отличен от нуля при всех значениях $t$ на отрезке $[0, \omega]$.
Подставляя в (50.6) фундаментальную систему $x_{s j}(t)$, мы получим следующую фундаментальную систему решений преобразованных уравнении:
\[
y_{s j}(t)=q_{s 1}(t) x_{1 j}(t)+q_{s 2}(t) x_{2 j}(t)+\ldots+q_{s n}(t) x_{n j}(t),
\]
или в матричном обозначении
\[
y(t)=q(t) x(t),
\]
где $q$-матрица коэффициентов $q_{s j}$. Отсюда находим, что
\[
\begin{aligned}
x(t) & =q^{-1}(t) y(t), \\
y(t+\omega) & =q(t+\omega) x(t+\omega)=q(t) x(t) a=q(t) q^{-1}(t) y(t) a=y(t) a
\end{aligned}
\]
и, следовательно, характеристическое уравнение преобразованной системы совпадает с характеристическим уравнением исходной системы.
Допустим, что рассматриваемая фундаментальная система определяется начальными условиями
\[
x_{s j}(0)=\left\{\begin{array}{l}
1(s=j), \\
0(s
eq j) .
\end{array}\right.
\]
Тогда, полагая в (50.2) $t=0$, будем иметь:
\[
x_{s j}(\omega)=a_{s j} \quad(s, j=1,2, \ldots, n),
\]
и следовательнө, характеристическое уравнение мөжет быть представлено в следующем виде:
Этим видом характеристического уравнения мы будем часто пользоваться в дальнейшем.
Воспользуемся им, в частности, для вывода важной формулы, дающей выражение свободного члена характеристического уравнения. С этой целью рассмотрим детерминант Вронского
Как известно, при любых $t_{0}$ и $t$ справедливо соотношение
\[
\Delta(t)=\Delta\left(t_{0}\right) \exp \int_{t_{0}}^{t} \sum_{s=1}^{n} p_{s s} d t .
\]
Полагая в этом соотношении $t_{0}=0, t=\omega$, получим:
\[
\Delta(\omega)=\exp \int_{0}^{\omega} \sum_{s=1}^{n} p_{s s} d t .
\]
Сравнивая с (50.7), найдем, что если характеристическое уравнение представить в виде
\[
\rho^{n}+A_{1} \rho^{n-1}+\ldots+A_{n-1} \rho+A_{n}=0,
\]
то свободный член $A_{n}$ определяется формулой
\[
(-1)^{n} A_{n}=\exp \int_{0}^{\omega} \sum_{s=1}^{n} p_{s s} d t
\]
