Теорема В, так же как и теоремы А и Б, допускает простое геометрическое истолкование.

Примем для простоты, что $n=2$, и рассмотрим сначала тот случай, когда функция $V$ не является знакоопределенной. В этом случае кривая $V=0$ имеет одну (рис. 4) или несколько (рис. 5) вещественных ветвей, проходящих через начало координат.
Рис. 4.
Рис. 5.
Допустим, что производная $\frac{d V}{d t}$ определенно-положительна. По условию теоремы в окрестности начала координат необходимо существует, по крайней мере, одна область, где $V>0$. Эти области, очевидно, ограничены кривыми $V=0$. Пусть на фиг. 4 и 5 сектор $A O B$ представляет одну из этих областей и допустим, что пунктирные линии обозначают кривые $V=c>0$, заполняющие эту область.

Рассмотрим интегральную кривую $M P$, выходящую из произвольной точки $M$ границы области. Эта точка может быть взята сколь угодно близко от начала координаг. Так как $\frac{d V}{d t}>0$, то эта интегральная кривая при возрастании $t$ необходимо входит внутрь области $V>0$ и пересекает кривые семейств $V=c$ в сторону, соответствующую возрастанию $c$, т. е. удаляясь от границы $V=0$. При этом интегральная кривая все время будет удаляться от начала координат и в конце концов покинет область (13.1), если только она в некоторый момент времени не достигнет другой границы области $V>0$. Это, однако, невозможно, так как если бы такое пересечение в какойнибудь точке $N$ (рис. 6) имело место, то в этой точке, очевидно, было бы $\frac{d V}{d t} \leqslant 0$, так как функция $V$, изменяясь от положительных значений к нулевому, необходимо уменьшалась бы.

Таким образом, имеются интегральные кривые, выходящие из точек, сколь угодно близко расположенных к началу координат, и покидающие в некоторый момент времени область (13.1). Отсюда и вытекает неустойивость движения.

Мы предположили, что функция $V$ не является знакоопределенной. Ничто, однако, не изменится, если $V$ и является знакоопределенной функциен. В этом случае областью $V>0$ будет вся окрестность начала координат.

Приведенное геометрическое истолкование теоремы В сразу приводит к важному обобщению этой теоремы. Действительно, во всех предыдущих рассуждениях не играло никакой роли то обстоятельство, что производная $\frac{d V}{d t}$ является знакоопределенной. Все предыдущие рассуждения останутся в силе, если вместо знакоопределенности предположить, что $\frac{d V}{d t}$ принимает положительные значения во всех точках области $V \gtrdot 0$. Мы приходим, таким образом, к следующей теореме, установленной Н. Г. Четаевым ${ }^{1}$ ).

Теорема Н.Г.Четаева. Еслидля дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти такую функцию $\left.V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), ч т о ~ 1\right)$ в сколь угодно малой окрестности
1) Четаев Н. Г., Одна теорема о неустойчивости, ДАН, т. І, № 9. 1934. См. также монографию: Четае в Н. Г., Устойчивость движения (Гостехиздат, 1946), где дана более точная формулировка теоремы.

начала координат существует область, где $V>0$, на границе которой $V=0$, a 2) во всех точках области $V>0$ производная $\frac{d V}{d t}$ принимает положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.

Точное аналитическое доказательство теоремы Н. Г. Четаева мы дадим в главе V, где эта теорема будет изложена в более общен формулировке.