Рассмотрим несколько примеров, поясняющих метод предыдущего параграфа.

Пример 1. Определим первую область неустойчивости (т. е. соответствующую $n=1$ ) в задаче колебаний спарников электровоза. Как было показано в § 60 , дифференциальное уравнение колебаний имеет вид
\[
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}+\frac{1}{\omega^{2}} \psi(\tau) x=0,
\]

где
\[
\psi(\tau)=\frac{a+b \cos 2 \tau+c \cos 4 \tau}{p+q \cos 2 \tau+r \cos 4 \tau} \frac{J_{1}+J_{2}}{J_{1} J_{2}} .
\]

Мы будем предполагать, что коэффициенты $b, c, q, r$ малы по сравнению с $a$ и $b$. Тогда, представляя $\psi$ в виде
\[
\begin{array}{l}
\psi=\frac{J_{1}+J_{2}}{J_{1} J_{2}}\left\{\frac{a}{p}+\frac{b}{p} \cos 2 \tau+\frac{c}{p} \cos 4 \tau\right\} \times \\
\times\left\{1-\left(\frac{q}{p} \cos 2 \tau+\frac{r}{p} \cos 4 \tau\right)+\left(\frac{q}{p} \cos 2 \tau+\frac{r}{p} \cos 4 \tau\right)^{2}+\ldots\right\}
\end{array}
\]

и вводя обозначения
\[
\begin{array}{c}
\frac{a}{p} \frac{J_{1}+J_{2}}{J_{1} J_{2}}=g_{0}, \quad \frac{b}{p} \frac{J_{1}+J_{2}}{J_{1} J_{2}}=g_{1} \mu, \quad \frac{c}{p} \frac{J_{1}+J_{2}}{J_{1} J_{2}}=g_{2} \mu, \\
\frac{q}{p}=g_{3} \mu, \quad \frac{r}{p}=g_{4} \mu,
\end{array}
\]

мы можем записать уравнение (63.1) в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}+\frac{g_{0}}{\omega^{2}}\left(1+\left(a_{1} \cos 2 \tau+a_{2} \cos 4 \tau\right) \mu+\right. \\
\left.+\left(a_{3} \cos 2 \tau+a_{4} \cos 4 \tau+a_{5} \cos 6 \tau+a_{6} \cos 8 \tau\right) \mu^{2}+\ldots\right\} x=0,
\end{array}
\]

где $a_{j}$-постоянные, которые могут быть выражены через $g_{0}, g_{1}$, $g_{2}, g_{3}, g_{4}$. В частности, имеем:
\[
a_{1}=\frac{g_{1}-g_{3} g_{0}}{g_{0}}, \quad a_{2}=\frac{g_{2}-g_{4} g_{0}}{g_{0}}, \quad a_{3}=\frac{2 g_{3} g_{4} g_{0}-g_{1} g_{4}-g_{2} g_{3}}{2 g_{0}} .
\]

Для нахождения первой области неустойчивости полагаем в уравнении (63.2)
\[
\frac{g_{0}}{\omega^{2}}=1+\alpha_{1} \mu+\alpha_{2} \mu^{2}+\ldots
\]
is пытаемся ему удовлетворить формальным рядом вида
\[
x=x_{0}+\mu x_{1}+\mu^{2} x_{2}+\ldots=A_{0} \cos \tau+B_{0} \sin \tau+\mu x_{1}+\mu^{2} x_{2}+\ldots
\]

где $A_{0}$ и $B_{0}$ – постоянные, а $x_{i}$-периодические функции $\tau$ (периода $2 \pi$ ). Для $x_{1}$ и $x_{2}$ получаем следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x_{1}}{d \tau^{2}}+x_{1}=-\left(a_{1} \cos 2 \tau+a_{2} \cos 4 \tau\right) x_{0}-\alpha_{1} x_{0}= \\
=-\left(\frac{a_{1}}{2}+\alpha_{1}\right) A_{0} \cos \tau+\left(\frac{a_{1}}{2}-\alpha_{1}\right) B_{0} \sin \tau- \\
-\frac{1}{2}\left(a_{1}+a_{2}\right) A_{0} \cos 3 \tau-\frac{1}{2}\left(a_{1}-a_{2}\right) B_{0} \sin 3 \tau- \\
\quad-\frac{A_{0} a_{2}}{2} \cos 5 \tau-\frac{B_{0} a_{2}}{2} \sin 5 \tau, \\
\frac{d^{2} x_{2}}{d \tau^{2}}+x_{2}=-\left(a_{1} \cos 2 \tau+a_{2} \cos 4 \tau\right) x_{1}- \\
-\left(a_{3} \cos 2 \tau+a_{4} \cos 4 \tau+a_{5} \cos 6 \tau+a_{6} \cos 8 \tau\right) x_{1}-\alpha_{1} x_{0}- \\
\quad-\alpha_{1}\left(a_{1} \cos 2 \tau+a_{2} \cos 4 \tau\right) x_{0}-\alpha_{2} .
\end{array}
\]

Для того чтобы функция $x_{1}$ вышла периодической, необходимо и достаточно, чтобы в правой части уравнения, определяющего эту функцию, не содержалось членов ни с $\cos \tau$, ни с $\sin \tau$. Приравнивая коэффициенты при этих величинах нулю, получим систему линенных и однородных уравнений для определения $A_{0}$ и $B_{0}$, которые в рассматриваемом случае имеют вид
\[
\left(\frac{a_{1}}{2}+\alpha_{1}\right) A_{0}=0, \quad\left(\frac{a_{1}}{2}-\alpha_{1}\right) B_{0}=0 .
\]

Приравнивая нулю определитель этой системы, получим для $\alpha_{1}$ два различных решения:
\[
\alpha_{1}=-\frac{a_{1}}{2}, \quad \alpha_{1}=\frac{a_{1}}{2} .
\]

Каждое из этих решений дает начало ряду (63.3). Рассматривая оба эти решения, мы получим два ряда (63.3), которые, по доказанному, сходятся и определяют границы области неустойчивости.

Примем сначала $\alpha_{1}=-\frac{a_{1}}{2}$. В этом случае уравнения (63.4) дают для $B_{0}$ значение, равное нулю. Величину $A_{0}$, остающуюся произвольной, мы можем согласно общей теории принять равной единице. При этих предположениях уравнение д.я $x_{1}$ принимает вид
\[
\frac{d^{2} x_{1}}{d \tau^{2}}+x_{1}=-\frac{a_{1}+a_{2}}{2} \cos 3 \tau-\frac{a_{2}}{2} \cos 5 \tau .
\]

Для общего решения этого уравнения имеем:
\[
x_{1}=A_{1} \cos \tau+B_{1} \sin \tau+\frac{a_{1}+a_{2}}{16} \cos 3 \tau+\frac{a_{2}}{48} \cos 5 \tau .
\]

Это решение является периодическим и содержит две произвольные постоянные $A_{1}$ и $B_{1}$. Так как $x_{0}(0)=A_{0}
eq 0$, то согласно общей теории мы можем положить $A_{1}=0$. Что же касается постоянной $B_{1}$, то она определится вместе с $\alpha_{2}$ из условия периодичности $x_{2}$. Чтобы получить эти условия, подставим в уравнение для $x_{2}$ найденные значения $x_{0}, x_{1}$ и $\alpha_{1}$ и приравняем нулю коэффициенты при $\cos \tau$ и $\sin \tau$. Таким путем мы должны согласно общей теории получить два линейных неоднородных уравнения для $B_{1}$ и $\alpha_{2}$, из которых они однозначно определяются. В рассматриваемом случае мы получим:
\[
B_{1}=0, \quad \alpha_{2}=-\frac{\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}{32}-\frac{a_{2}^{2}}{96}+\frac{a_{1}^{2}}{4}–\frac{a_{3}}{2} .
\]

Таким путем можно найти и дальнейшие приближения, но мы ограничимся первыми двумя.

Положим теперь $\alpha_{2}=\frac{a_{1}}{2}$. В этом случае из уравнений (63.4) находим: $A_{0}=0, B_{0}=1$. Так как теперь $A_{0}=0$, но $B_{0}
eq 0$, то в выражении (63.5) для $x_{1}$ мы не можем полагать $A_{1}=0$, но можем положить $B_{1}=0$. Если теперь найденные значения $x_{0}, x_{1}$ и $\alpha_{1}$ подставить в уравнение для $x_{2}$, то, приравнивая в нем нулю коэффициенты при $\cos \tau$ и $\sin \tau$, мы будем иметь:
\[
\begin{array}{c}
A_{1}=0, \\
\alpha_{2}=-\frac{\left(a_{2}-a_{1}\right)^{2}}{32}+\frac{a_{1}^{2}}{4}-\frac{a_{2}^{2}}{96}+\frac{a_{3}}{2} .
\end{array}
\]

Таким образом, первая область критических значений угловой скорости $\omega$ вала определяется неравенствами
\[
\begin{aligned}
1-\frac{a_{1}}{2} \mu+ & \frac{1}{96}\left(21 a_{1}^{2}-4 a_{2}^{2}-6 a_{1} a_{2}-48 a_{3}\right) \mu^{2}+\ldots \leqslant \frac{g_{0}}{\omega^{2}} \leqslant \\
& \leqslant 1+\frac{1}{2} a_{1} \mu+\frac{1}{96}\left(21 a_{1}^{2}-4 a_{2}^{2}+6 a_{1} a_{2}+48 a_{3}\right) \mu^{2}+\ldots
\end{aligned}
\]

Пример 2. Определим вторую область неустойчивости для колебаний в электрическом контуре с переменной емкостью, рассмотренных в § 60. Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{\prime 2}}+\frac{4 L-R^{2} C_{0}}{4 L^{2} C_{0} \omega^{2}} \cdot\left(1+\mu \cos t^{\prime}\right) x=0,
\]

где
\[
\mu=\frac{4 L m}{4 L-R^{2} C_{0}} .
\]

Мы будем предполагать, что величина $\mu$ мала. Чтобы можно было приложить без всяких изменений правила предыдущего параграфа, необходимо изменить независимую переменную таким образом, чтобы период правой части уравнения (63.6) был равен $\pi$. Для этого, очевидно, достаточно положить $t^{\prime}=2 \tau$, после чего уравнение (63.6) примет вид
\[
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}+\lambda^{2}(1+\mu \cos 2 \tau) x=0,
\]

где
\[
\lambda^{2}=\frac{4 L-R^{2} C_{0}}{L^{2} C_{0} \omega^{2}} .
\]

Для определения области неустоичивости, расположеннои вблизи $\lambda=2$, полагаем в уравнении (63.7)
\[
\lambda^{2}=4+\alpha_{1} \mu+\alpha_{2} \mu^{2}+\ldots
\]

и стараемся удовлетворить ему формальным рядом
\[
x=x_{0}+\mu x_{1}+\mu^{2} x_{2}+\ldots
\]

с периодическими (периода $\pi$ ) коэффициентами. При этом
\[
x_{0}=A_{0} \cos 2 \tau+B_{0} \sin 2 \tau \text {. }
\]

Далее,
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x_{1}}{d \tau^{2}}+4 x_{1}=-4 x_{0} \cos 2 \tau-\alpha_{1} x_{0}= \\
\quad=-2 A_{0}-2 A_{0} \cos 4 \tau-2 B_{0} \sin 4 \tau-\alpha_{1}\left(A_{0} \cos 2 \tau+B_{0} \sin 2 \tau\right), \\
\frac{d^{2} x_{2}}{d \tau^{2}}+4 x_{2}=-4 x_{1} \cos 2 \tau-\alpha_{2} x_{0}, \\
\frac{d^{2} x_{3}}{d \tau^{2}}+4 x_{3}=-4 x_{2} \cos 2 \tau-\alpha_{2} x_{1}-\alpha_{2} \cos 2 \tau \cdot x_{0}-\alpha_{3} x_{0}- \\
\quad-\alpha_{1} x_{2}-\alpha_{1} \cos 2 \tau \cdot x_{1} .
\end{array}
\]

Приравнивая нулю коэффициенты при $\cos 2 \tau$ и $\sin 2 \tau$ в уравнении для $x_{1}$, находим:
\[
\alpha_{1}=0,
\]

причем величины $A_{0}$ и $B_{0}$ остаюгся произвольными. Мы имеем как раз дело с отмеченным в предыдущем параграфе случаем, когда введенная там величина $\beta^{2}+\gamma^{2}$ обращается в нуль. Как мы там указывали, величины $A_{0}$ и $B_{0}$ будут, вообще говоря, связанными между собой, но эта связь установится при рассмотрении дальнейших приближений. Вычислим эти приближения. На основании (63.8) имеем:
\[
x_{1}=-\frac{A_{0}}{2}+\frac{A_{0}}{6} \cos 4 \tau+\frac{B_{0}}{6} \sin 4 \tau+A_{1} \cos 2 \tau+B_{1} \sin 2 \tau,
\]

где $A_{1}$ и $B_{1}$ – произвольные постоянные. Так как мы еще не знаем, какая из величин $A_{0}$ и $B_{0}$ заведомо отлична от нуля, то мы не можем пока ни одну из постоянных $A_{1}$ и $B_{1}$ принять равной нулю. Подставив $x_{0}$ и $x_{1}$ в уравнение для $x_{2}$, получим:
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} x_{2}}{d \tau^{2}}+4 x_{2}= & \left(\frac{5}{3}-\alpha_{2}\right) A_{0} \cos 2 \tau-\left(\frac{1}{3}+\alpha_{2}\right) B_{0} \sin 2 \tau- \\
& -2 A_{1} \cos 4 \tau-2 B_{1} \sin 4 \tau-\frac{A_{0}}{3} \cos 6 \tau-\frac{B_{0}}{3} \sin 6 \tau-2 A_{1} .
\end{aligned}
\]

Условия периодичности дают:
\[
\left(\frac{5}{3}-\alpha_{2}\right) A_{0}=0,\left(\frac{1}{3}+\alpha_{2}\right) B_{0}=0,
\]

и следовательно, для $\alpha_{2}$ получаются два различных решения. Имеем, таким образом, два варианта. При первом варианте
\[
\alpha_{2}=\frac{5}{3}, \quad A_{0}=1, \quad B_{0}=0,
\]

а при втором варианте
\[
\alpha_{2}=-\frac{1}{3}, \quad A_{0}=0, \quad B_{0}=1 .
\]

Рассмотрим сначала первый вариант. Так как в этом варианте $A_{0}
eq 0$, то мы можем положить в (63.9) величину $A_{1}$ равной нулю. После этого получим:
\[
x_{2}=\frac{1}{6} B_{1} \sin 4 \tau+\frac{1}{96} \cos 6 \tau+B_{2} \sin 2 \tau \text {, }
\]

где $B_{2}$ – произвольная постояннап. Подставляя найденные приближения в уравнение для $x_{3}$ и выписывая условия периодичности этой функции, получим два линеиных неоднородных уравнения для $\alpha_{3}$ и $B_{1}$. Эти уравнения имеют вид
\[
B_{1}=0, \alpha_{3}=0 .
\]

Аналогично подсчитываются и дальнейшие приближения. При этом в отличие от предыдущего примера, соответствующего случаю $\beta^{2}+\gamma^{2}
eq 0$, постоянные $B_{k}$, входящие в $x_{k}$, определяются не из условия периодичности функции $x_{k+1}$, а из условия периодичности функцић $x_{k+2}$.
Рассмотрим теперь второй вариант. В этом случае
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\frac{1}{6} \sin 4 \tau+A_{1} \cos 2 \tau, \\
x_{2}=-\frac{1}{2} A_{1}+\frac{1}{6} A_{1} \cos 4 \tau+\frac{1}{96} \sin 6 \tau+A_{2} \cos 2 \tau,
\end{array}
\]

и условия периодичности для $x_{3}$ дают:
\[
\alpha_{3}=0, \quad A_{1}=0 .
\]

Таким образом, с точностью до величин третьего порядка относительно $\mu$ вторая область значений частоты $\omega$ изменения емкости, при которых уравнение (63.7) имеет неустойчивые решения, определяется неравенствами
\[
4-\frac{1}{3} \mu^{2}+\ldots \leqslant \frac{4 L-R^{2} C_{0}}{L^{2} C_{0} \omega^{2}} \leqslant 4+\frac{5}{3} \mu^{2}+\ldots
\]

Из этих неравенств видно, что, для того чтобы указанная область неустойчивости существовала, необходимо прежде всего, ‘чтобы выполнялось условие
\[
4 L-R^{2} C_{0}>0 .
\]

Мы будем предполагать, что это условие выполняется. Но и при выполнении этого условия еще нельзя быть уверенным, что в указанной области в рассматриваемом электрическом контуре действительно возникнут неустойчивые колебания. Дело в том, что переменная $x$, фигурирующая в уравнении (63.7), является вспомогательной. Для тока $q$ имеем, как мы это видели в $\S 60$, выражение
\[
q=e^{-\frac{R}{2 L} t} x .
\]

Следовательно, на границах области (63.10), где вещественная часть характеристических показателей уравнения (63.7) равна нулю, колебания тока будут затухающими. Если при этом величина $\frac{R}{2 L}$ достаточно мала, а именно меньше наибольшего значения вещественной части характеристического показателя уравнения (63.7) в области (63.10), то будет существовать область неустойчивости для тока $q$, расположенная внутри области (63.10). Если это условие относительно $\frac{R}{2 L}$ не выполняется, то во всей области (63.10) колебания тока будут затухающими.

Пример 3. Рассмотрим снова уравнение (63.7) и определим границы области неустойчивости, расположенной вблизи $\lambda=3$.
Полагая
\[
\lambda^{2}=9+\alpha_{1} \mu+\alpha_{2} \mu^{2}+\ldots
\]

и
\[
x=A_{0} \cos 3 \tau+B_{0} \sin 3 \tau+\mu x_{1}+\mu^{2} x_{2}+\ldots .
\]

будем теперь иметь:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x_{1}}{d \tau^{2}}+9 x_{1}=-9 \cos 2 \tau \cdot x_{0}-\alpha_{1} x_{0}, \\
\frac{d^{2} x_{2}}{d \tau^{2}}+9 x_{2}=-9 \cos 2 \tau \cdot x_{1}-\alpha_{1}\left(x_{1}+\cos 2 \tau \cdot x_{0}\right)-\alpha_{2} x_{0}, \\
\frac{d^{2} x_{3}}{d \tau^{2}}+9 x_{3}=-9 \cos 2 \tau \cdot x_{2}-\alpha_{1}\left(x_{2}+\cos 2 \tau \cdot x_{1}\right)- \\
\quad-\alpha_{2}\left(x_{1}+\cos 2 \tau \cdot x_{0}\right)-\alpha_{3} x_{0}, \\
\frac{d^{2} x_{4}}{d \tau^{2}}+9 x_{4}=-9 \cos 2 \tau \cdot x_{3}-\alpha_{1}\left(x_{3}+\cos 2 \tau \cdot x_{2}\right)- \\
-\alpha_{2}\left(x_{2}+\cos 2 \tau \cdot x_{1}\right)-\alpha_{3}\left(x_{1}+\cos 2 \tau \cdot x_{0}\right)-\alpha_{3} x_{0} .
\end{array}
\]

Условие периодичности $x_{1}$ дает:
\[
a_{1}=0 \text {, }
\]

причем $A_{0}$ и $B_{0}$ остаются неопределенными. Для $x_{1}$ получаем выражение
\[
\begin{aligned}
x_{1}=-\frac{9}{16} A_{0} \cos \tau-\frac{9}{16} B_{0} \sin \tau+\frac{9}{32} A_{0} \cos 5 \tau & +\frac{9}{32} B_{0} \sin 5 \tau+ \\
& +A_{1} \cos 3 \tau+B_{1} \sin 3 \tau .
\end{aligned}
\]

где $A_{1}$ и $B_{1}$ – произвольные постоянные. Так же как и в предыдущем примере, ни одну из этих постоянных мы не можем пока приравнять нулю. Подставляя в уравнение для $x_{2}$ найденные значения $\alpha_{1}$ и $x_{1}$, получим:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} x_{2}}{d \tau^{2}}+9 x_{2}=\frac{9}{2}\left(\frac{9}{16} A_{0}-A_{1}\right) \cos \tau-\frac{9}{2}\left(\frac{9}{16} B_{0}+B_{1}\right) \sin \tau- \\
-\frac{9}{2} A_{1} \cos 5 \tau-\frac{9}{2} B_{1} \sin 5 \tau-\frac{81}{64} A_{0} \cos 7 \tau-\frac{81}{64} B_{0} \sin 7 \tau+ \\
+\left(\frac{81}{64}-\alpha_{2}\right) A_{0} \cos 3 \tau+\left(\frac{81}{64}-\alpha_{2}\right) B_{0} \sin 3 \tau,
\end{array}
\]

и следовательно, условия периодичности $x_{2}$ имеют вид
\[
\left(\frac{81}{64}-\alpha_{2}\right) A_{0}=0, \quad\left(\frac{81}{64}-\alpha_{2}\right) B_{0}=0 .
\]

Получающееся отсюда решение для $\alpha_{2}$ :
\[
\alpha_{2}=\frac{81}{64}
\]

будет опять двухкратным, причем $A_{0}$ и $B_{0}$ по-прежнему остаются неопределенными. Из (63.11) находим:
\[
\begin{array}{l}
x_{2}=\frac{9}{16}\left(\frac{9}{16} A_{0}-A_{1}\right) \cos \tau-\frac{9}{16}\left(\frac{9}{16} B_{0}+B_{1}\right) \sin \tau+ \\
+\frac{9}{32} A_{1} \cos 5 \tau+\frac{9}{32} B_{1} \sin 5 \tau+\frac{81}{2560} A_{0} \cos 7 \tau+\frac{81}{2560} B_{0} \sin 7 \tau+ \\
+A_{2} \cos 3 \tau+B_{2} \sin 3 \tau .
\end{array}
\]

где $A_{2}$ и $B_{2}$ – постоянные, остающиеся пока неопределенными.
Уравнение для $x_{3}$ после подстановки найденных значений $x_{1}, x_{2}$, $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x_{3}}{d \tau^{2}}+9 x_{3}=-\frac{9}{2}\left(\frac{153}{512} A_{0}-\frac{9}{16} A_{1}+A_{2}\right) \cos \tau- \\
\quad-\frac{9}{2}\left(\frac{153}{512} B_{0}+\frac{9}{16} B_{1}+B_{2}\right) \sin \tau-\left(\alpha_{3}+\frac{729}{512}\right) A_{0} \cos 3 \tau+ \\
\quad+\left(\frac{729}{512}-\alpha_{3}\right) B_{0} \sin 3 \tau-\frac{5103}{10240} A_{0} \cos 5 \tau-\frac{5103}{10240} B_{0} \sin 5 \tau- \\
-\frac{9}{2} A_{2} \cos 5 \tau-\frac{9}{2} B_{2} \sin 5 \tau+a_{7} \cos 7 \tau+b_{7} \sin 7 \tau+a_{9} \cos 9 \tau+b_{9} \sin 9 \tau,
\end{array}
\]

где $a_{7}, a_{9}, b_{7}, b_{9}$ – некоторые вполне определенные коэффициенты, которые нам нет необходимости выписывать. Следовательно, условия периодичности $x_{3}$ имеют вид
\[
\left(\alpha_{3}+\frac{729}{512}\right) A_{0}=0, \quad\left(\alpha_{3}-\frac{729}{512}\right) B_{0}=0 .
\]

Эти условия дают два различных значения для $\alpha_{3}$, и дальнейше вычисления нужно вести в двух вариантах. При первом варианте мы имеем:
\[
\alpha_{3}=-\frac{729}{512}, \quad B_{0}=0, \quad A_{0}=1 .
\]

Теперь уже мы можем положить $A_{1}=A_{2}=0$ и во всех дальнейших приближениях в выражения для $x_{k}$ не вводить членов с $\cos 3 \tau$. При этих предположениях будем иметь:
\[
\begin{aligned}
x_{3}=- & \frac{1377}{8192} \cos \tau-\frac{9}{16}\left(\frac{9}{16} B_{1}+B_{2}\right) \sin \tau+ \\
& +\frac{5103}{163840} \cos 5 \tau+\frac{9}{32} B_{2} \sin 5 \tau-\frac{a_{7}}{40} \cos 7 \tau-\frac{b_{7}}{40} \sin 7 \tau- \\
& \quad-\frac{a_{9}}{72} \cos 9 \tau-\frac{b_{9}}{72} \sin 9 \tau+B_{3} \sin 3 \tau,
\end{aligned}
\]

где $B_{3}$ – неопределенная постоянная. Подставляя найденные приближения в уравнение для $x_{4}$ и составляя условия периодичности этой функции, мы получим два линейных неоднородных уравнения для определения $B_{1}$ и $\alpha_{4}$. Получим:
\[
B_{1}=0, \quad \alpha_{4}=-\frac{235467}{327680} .
\]

Если вычисление приближенић продолжить, то последовательно определятся постоянные $\alpha_{5}, \alpha_{6}, \ldots$ При этом каждая постоянная $\alpha_{k}$ определится одновременно с постоянной $B_{k-2}$ из условий периодичности функции $\dot{x}_{k}$, которые дадут для этих двух величин разрешимую систему линейных неоднородных уравнений
При втором варианте будем иметь:
\[
\alpha_{3}=\frac{729}{512}, \quad B_{0}=1, \quad A_{0}=0,
\]

и все дальнейшие вычисления будут такими же, как и при первом варианте, с той лишь разницей, что теперь уже нужно будет положить равными нулю все величины $B_{k}$, а величины $A_{k}$ определять из условий периодичности функций $x_{k+2}$. Для величин $A_{1}$ и $\alpha_{4}$ мы получим следующие значения:
\[
A_{1}=0, \quad \alpha_{4}=\frac{260953}{327680} .
\]

Таким образом, искомая область неустоичивости определяется следующими неравенствами:
\[
\begin{array}{l}
9+\frac{81}{64} \mu^{2}-\frac{729}{512} \mu^{3}-\frac{235467}{327680} \mu^{4}+\ldots \leqslant \lambda^{2} \leqslant \\
\leqslant 9+\frac{81}{64} \mu^{2}+\frac{729}{512} \mu^{3}+\frac{260953}{327680} \mu^{4}+\ldots
\end{array}
\]