В этой главе мы занимаемся установлением необходимых и достаточных условий устойчивости по первому приближению для того случая, когда дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид
$$\begin{array}{c}\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n+X_s(x_1,\dots ,x_n)\\ (s=1,2,\dots ,n).\end{array}$$

Здесь $p_{sj}$ — постоянные, $X_s$ — не зависящие от $t$ функции переменных $x_1,\dots ,x_n$, разлагающиеся в области
$$|x|⩽H$$

в ряды по степеням этих переменных, причем разложения начинаются членами не ниже второго порядка.
Рассмотрим уравнения первого приближения
$$\frac{d{x}_s}{dt}=p_{s1}{x}_1+\dots +p_{sn}{x}_n(s=1,2,\dots ,n).$$

Теория интегрирования такого рода уравнений хорошо известна. Напомним основные положения этой теории ${}^1$ ).
Рассмотрим уравнение $n$-й степени
1) См., например, Степанов В. В., Курс обыкновенных дифференциальных уравнений, Гостехиздат, 1950.

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а определитель $D(\lambda )$-характеристическим определителем. Пусть ${\lambda }_i$ — какой-нибудь корень этого уравнения. Этому корню отвечает частное решение системы (19.3) вида
$$x_s=A_s{e}^{{\lambda }_{i}t}(s=1,2,\dots ,n),$$

где $A_s$ — постоянные, определяемые однородными алгебраическими уравнениями
$$p_{s1}{A}_1+\dots +(p_{ss}-{\lambda }_i)A_s+\dots +p_{sn}{A}_n=0,$$

имеющими в силу $D\left({\lambda }_i\right)=0$ нетривиальное решение.
Если уравнение (19.4) имеет только простые корни, то, полагая в (19.5) $i=1,2,\dots ,n$, мы получим $n$ частных решений системы (19.3). Эти решения будут притом независимы.

Допустим теперь, что ${\lambda }_i$ является кратным корнем и что кратность этого корня равна $l$. Этому корню по-прежнему соответствует решение (19.5), где $A_s$ по-прежнему удовлетворяют уравнениям (19.6). Но в рассматриваемом случае корню ${\lambda }_i$ будут отвечать еще и другие частные решения системы (19.3), отличные от (19.5). Эти решения имеют вид
$$x_s=f_s(t)e^{{\lambda }_{i}t}(s=1,2,\dots ,n),$$

где $f_s(t)$ — некоторые полиномы относительно $t$. Степень этих полиномов никогда не превосходит $l-1$, но может быть меньше этой величины. Здесь приходится различать два случая в зависимости от того, будет ли ранг определителя $D\left({\lambda }_i\right)$ равен $n-1$ или меньше этой величины.

Допустим сначала, что ранг определителя $D\left({\lambda }_i\right)$ равен $n-1$, т. е. что хотя бы один из минороз ( $n-1$ )-го порядка ${}^1$ ) этого определителя отличен от нуля. В этом случае система (19.3) имеет хотя бы одно решение вида (19.7). в котором хотя бы один из полиномов $f_s(t)$ имеет степень $l-1$. Заменяя в этом решении полиномы $f_s(t)$ их производными какого-нибудь порядка, мы снова получим решения системы (19.3). Таким путем получается $l$ решений системы (19.3), имеющих вид
$$\begin{array}{l}{x}_s^{(1)}=f_{\dot{s}}(t)e^{{\lambda }_{i}t},\\ x_s^{(2)}=\frac{d{f}_s}{dt}{e}^{{\lambda }_{i}t},\\ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\ x_s^{(l)}=\frac{d^{(l+1)}{f}_s}{d{t}^{\prime -1}}{e}^{{\lambda }_{i}t}\end{array}\}$$
1). Минором ( $n-k$ )-го порядка мы называем определитель, получающийся из основного вычеркиванием $k$ строк и колонок.

Все эти решения независимы. Последнее из них совпадает с (19.5). Мы будем говорить, что в рассматриваемом случае кратному корню ${\lambda }_i$ отвечает одна группа решений.

Допустим теперь, что ранг определителя $D\left({\lambda }_i\right)$ меньше $n-1$. Пусть, например, ранг этого определителя равен $n-2$, так что все миноры ( $n-1$ )-го порядка равны нулю, но хотя бы один из миноров ( $n-2$ )-го порядка отличен от нуля. В этом случае система (19.3) допускает два частных решения вида (19.7), в которых наивысшие степени полиномов $f_s(t)$ равны, соответственно, $p$ и $q$, причем $p+q=l-2$. Эти решения таковы, что если, исходя из каждого из них, составлять новые решения путем замены полиномов $f_s(t)$ их производными какого-нибудь порядка, то все полученные таким образом решения будут независимы.
Пусть
$$\begin{array}{l}{x}_s=f_s^{\prime }{e}^{{\lambda }_{i}t},\\ x_s=f_s^{\prime \prime }{e}^{{\lambda }_{i}t}\end{array}\}$$

суть указанные частные решения. Степени полиномов $f_s^{\prime }(t)$ не превосходят $p$, причем степень хотя бы одного из них достигает этого значения. Старшая степень полиномов $f_s^{\prime \prime }$ равна $q$. При этом, как уже указывалось выше, $p+q=1-2$.

Заменяя в решениях (19.9) полиномы их последовательными производными, мы получим две группы решений уравнений (19.3), состоящих, соответственно, из $p+1$ и $q+1$ решений каждая и имеющих вид
$$\begin{array}{l}{x}_s^{(\alpha )}=\frac{d^{\alpha -1}{f}_s^{\prime }}{d{t}^{\alpha -1}}{e}^{{\lambda }_{i}t}(\alpha =1,2,\dots ,p+1),\\ x_s^{(\beta )}=\frac{d^{\beta -1}{f}_s^{\prime \prime }}{d{t}^{\beta -1}}{e}^{{\lambda }_{i}t}(\beta =1,2,\dots ,q+1).\end{array}\}$$

Таким образом, и в рассматриваемом случае корню ${\lambda }_i$ соответствует $p+q+2=l$ частных решений. Среди этих решений имеются два (по одному в каждой группе) вида (19.5). Эти решения соответствуют двум независимым системам чисел $A_s$, удовлетворяющим однородным алгебраическим уравнениям (19.6). Последние действительно имеют два независимых решения, так как ранг определителя $D\left({\lambda }_i\right)$ равен $n-2$.

В общем случае, когда ранг определителя $D\left({\lambda }_i\right)$ равен $n-k$, корню кратности $l$ по-прежнему соответствует $l$ независимых решений, но эти решения распадаются на $k$ групп, подобных (19.10).

Ранг определителя $D\left({\lambda }_i\right)$ не может быть меньше $n-l$. В противном случае, как это легко показать, кратность корня ${\lambda }_l$ будет больше $l$. Поэтому число групп решений, соответствующих рассматриваемому корню, не может превосходить числа $l$, т. е. кратности корня. Если число групп равно $l$, то каждая группа будет состоять из одного решения и все решения будут вида (19.5).

Таким образом, во всех случаях число частных решений уравнений (19.3), соответствующих кратному корню, равно кратности этого корня. Денствительное вычисление этих решений приводится к решению систем линейных алгебраических уравнений. Наиболее простой способ составления этих уравнений указан Н. Г. Четаевым ${}^1$ ).

Рассматривая все корни уравнения (19.4), мы получим $n$ независимых частных решений уравнений (19.3). Обозначая эти решения через $x_{s1},x_{s2},\dots ,x_{sn}$ (первый индекс- номер функции, второй индекс — номер решения), мы получим общее решение уравнений (19.3) в виде
$$x_s=C_1{x}_{s1}+C_2{x}_{s2}+\dots +C_n{x}_{sn},$$

где $C_1,\dots ,C_n$ — произвольные постоянные. Эти постоянные определяются из начальных условий и если начальные значения величин $x_s$ в каком-нибудь решении малы, то и соответствующие значения постоянных $C_j$ будут также малыми.

Если корень ${\lambda }_i$ является комплексным, то решения вида (19.5) или (19.7) будут также комплексными, и так как нас интересуют только вещественные решения, то необходимо будет их преобразовать к вещественному виду. Для этого заметим, что так как коэффициенты $p_{sj}$ являются вещественными, то если дифференциальным уравнениям (19.3) удовлетворяет какая-нибудь система комплексных функций, то им удовлетворяют также вещественные и мнимые части этих функций. Пусть ${\lambda }_i=\mu +iv$. Тогда в решении (19.5) или (19.7) величины $A_s$ и $f_s(t)$ будут также комплексными. Положим $A_s=$ $=P_s+i{Q}_s,f_s={\phi }_s+i{\psi }_s$, где постоянные $P_s,Q_s$ и функции ${\phi }_s$ и ${\psi }_s$ будут вещественными. Выделяя в (19.5) и в (19.7) вещественные и мнимые части, мы получим, что рассматриваемому корню $\mu +iv$ отвечают два решения: либо вида
$$x_s=(P_s\cos vt-Q_s\sin vt)e^{\mu t},x_s=(P_s\sin vt+Q_s\cos vt)e^{\mu t}$$

либо вида
$$x_s=({\phi }_s\cos vt-{\psi }_s\sin vt)e^{\mu t},x_s=({\phi }_s\sin vt+{\psi }_s\cos vt)e^{\mu t}.$$

Эти же самые решения отвечают и корню $\mu -iv$.
Все вышесказанное позволяет легко решить задачу устоичивости для того случая, когда дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид (19.3). Действительно, характер невозмущенного движения, его устоичивость или неустоичивость, полностью определяется корнями характеристического уравнения (19.4).
1) Четаев Н. Г., Устойчивость движения, Гостехиздат, 1946.

Допустим сначала, что все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. В этом случае все рассмотренные выше частные решения независимо от того, имеют ли они вид (19.5) или (19.7), (19.12) или (19.13), стремятся к нулю при неограниченном возрастании $t$. То же самое будет справедливо и по отношению к общему решєнию (19.11), каковы бы ни были постоянные $C_j$. Кроме того, решения $x_s(t)$, отвечаюцие начальным условиям $\left|x_s\left(t_0\right)\right|⩽1$, будут равномерно ограничены при всех $t⩾t_0$. Следовательно, невозмущенное движение устоћчиво и притом асимптотически при любых начальных возмущениях.

Допустим теперь, что среди корней характеристического уравнения имеется, по крайней мере, один с положительной вещественной частью. Этому корню отвечает частное решение, неограниченно возрастающее при $t\to \mathrm{\infty }$. Умножая все функции этого решения на постоянную $C$, мы снова получим решение, для которого начальные значения функцин $x_s$ могут быть сделаны сколь угодно малыми, если $C$ выбрать достаточно малым. Таким образом, в рассматриваемом случае система (19.3) имеет решение со сколь угодно малыми начальными значениями, неограниченно возрастающее при $t\to \mathrm{\infty }$, и следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.

Допустим теперь, что характєристическое уравнение, не имея корней с положительными вещественными частями, имеет корни с вещественными частями, равными нулю. Это могут быть нулевые корни или корни чисто мнимые. Каждому нулевому корню отвечают решения вида
$$x_s=A_s\text{, }$$

если этот корень является простым или даже если он является кратным, но число групп решений равно кратности корня. В противном случае система (19.3) будет иметь решения вида
$$x_s=j_s(t)\text{, }$$

где $f_s(t)$ — полиномы. Для каждой пары чисто мнимых корней $\pm v\sqrt{-1}$ будут получаться решения вида
$$x_s=P_s\cos vt-Q_s\sin vt,x_s=P_s\sin vt+Q_s\cos vt,$$

если эти корни простые или если они кратные, но число групп решений, им соответствующих, равно их кратности. Если корни $\pm v\sqrt{-1}$ являются кратными и число групп решений, им соответствующих, меньше их кратности, то система (19.3) будет иметь решения вида
$$x_s={\phi }_s\cos vt-{\psi }_s\sin vt,x_s={\phi }_s\sin vt+{\psi }_s\cos vt,$$

где ${\phi }_s$ и ${\psi }_f$ — полиномы.

Наличие решений вида (19.14) или (19.16) не нарушает устойчивости, так как все входящие в эти решения функции ограничены. Правда, при этом устойчивость не будет, очевидно, асимптотической Наличие же решений вида (19.15) или (19.17) вызывает, очевидно, неустойчивость.

Таким образом, для случая, когда уравнения возмущенного движения имеют вид (19.3), мы приходим к следующим заключениям.

Для того чтобы невозмущенное движение было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели от риџательные вещественные части. Если среди корней этого уравнения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво. Невозмущенное движение будет устойчивым, но не асимптотически, когда характеристическое у равнение, не имея корней с положительными вещественнымичастями, имеет корни с вещественными частями, равными нулю, если эти корни простые или если они кратные, но число групп решений, им соответствующих, равно их кратности. Если характе ристическое уравнение имеет кратные корни с нулевыми вещественными частями и если число групл решений, соответствующих этим корням, меньше их кратности, то невозмущенное движение неустойчиво.

Таким образом, задача устойчивости для линейных уравнений с постоянными коэффициентами решается просто. Здесь нет необходимости пользоваться вторым методом. Тем не менее мы займемся построением функций Ляпунова для уравнений (19.3), так как эти функции будут играть фундаментальную роль в дальнейшем. Нам придется для этого предварительно доказать некоторые вспомогательные предложения.