Мы переходим теперь к изложению основных теорем второго метода Ляпунова исследования устойчивости движения. Нам придется при этом рассматривать одновременно с функциями $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ их производные по времени, составленные в предположении, что $x_{1}, \ldots, x_{n}$ являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям возмущенного движения (6.1). При таком предположении мы будем для этих производных по времени иметь:
\[
\frac{d V}{d t}=\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}} \frac{d x_{s}}{d t}=\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}} X_{s}=W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\]
и, следовательно, $\frac{d V}{d t}$ будет также функцией $x_{1}, \ldots, x_{n}$, обращающеніся в нуль при $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$.
Первая теорема Ляпунова об устойчивости, которая в дальнейшем будет именоваться теоремой $\mathrm{A}$, иожет быть выражена следующим образом:
Теорема А. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти знакоопределенную функцию $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, полная производная которой по в ремени, составленная в силу этих уравнений, есть функция знакопостоянная, знака, п ротивоположного с $V$, или тождественно об ращается в нуль, то невозмущенное движение устойчиво.
Доказательство. Не нарушая общности рассужденић, мы можем предположить, что $V$ есть функция определенно-положительная, так что во всех точках области
\[
\left|x_{s}\right| \leqslant h \leqslant H,
\]
за исключением начала координат, $V$ принимает только положительные значения. В той же области согласно условию теоремы справедливо неравенство
\[
\frac{d V}{d t}=\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}} X_{s} \leqslant 0 .
\]
Пусть $\varepsilon$ – произвольное сколь угодно малое положительное число, меньшее $h$. Обозначим через $x$ наибольшую из величин $\left|x_{1}\right|, \ldots,\left|x_{n}\right|$, т. е. положим
\[
x=\max \left\{\left|x_{1}\right|, \ldots,\left|x_{n}\right|\right\},
\]
и рассмотрим множество всех значений величин $x_{1}, \ldots, x_{n}$, связанных соотношением
\[
x=\varepsilon
\]
(т. е. все точки, лежащие на гранях $n$-мерного куба со стороной $2 \varepsilon$, ребра которого параллельны осям координат и центр которого совпадает с началом координат).
Пусть $l$ – точный нижний предел функции $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ при условии (9.3), так что
\[
V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \geqslant l \text { при } x=\varepsilon .
\]
Число $l$ будет, очевидно, положительным, так как $V$ может принимать на множестве (9.1) только положительные значения, и при этом в силу непрерывности $V$ нижний предел этой функции на множестве (9.3) есть одно из значений, которые она на этом множестве принимает.
Рассмотрим теперь произвольное решение $x_{s}(t)$ дифференциальных уравнений возмущенного движения, начальные значения $x_{s}^{0}=x_{s}\left(t_{0}\right)$ которого лежат в области
\[
\left|x_{s}^{0}\right| \leqslant \eta .
\]
Мы будем при этом предполагать, что число $\eta$ меньше, чем $\varepsilon$, и что оно настолько мало, что
\[
V\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)<l .
\]
Такой выбор числа $\eta$, очевидно, возможен, так как $V$ – функция непрерывная и $V(0, \ldots, 0)=0$.
Подставляя решение $x_{s}(t)$ в функцию $V$, мы получим функцию от времени, которая в силу (9.2) будет не возрастающей, по крайней мере до тех пор, пока величины $x_{s}(t)$ будут оставаться в области (9.1). Следовательно, при всех $t$, при которых $x_{s}(t)$ лежат в области (9.1), будет выполняться неравенство
\[
V\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)<V\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)<l .
\]
Отсюда непосредственно следует, что при всех $t>t_{0}$ будут выполняться неравенства
\[
\left|x_{s}\right|<\varepsilon \text {. }
\]
В самом деле, так как $\eta<\varepsilon$, то неравенства (9.7) будут выполняться в силу непрерывности $x_{s}(t)$, по крайней мере при значениях $t$, достаточно близких к $t_{0}$. И если поэтому эти неравенства когда-нибудь вообще нарушаются, то должен существовать такой момент времени $t \leftrightharpoons T$, при котором хотя бы одна из величин $x_{s}$ достигнет численно значения $\varepsilon$. Другими словами, должен существовать такой момент времени $t=T$, при котором будет выполняться условие (9.3), и, следовательно, на основании (9.4)
\[
V\left(x_{1}(T), \ldots, x_{n}(T)\right) \geqslant l .
\]
Это, однако, невозможно, так как в силу $\varepsilon<h$ множество (9.3) лежит в области (9.1) и, следовагельно, при $x=\varepsilon$ должно выполняться неравенство (9.6).
Таким образом, для всех решений дифференциальных уравнений возмущенного движения, для которых выполняются неравенства (9.5), будут при всех $t>t_{0}$ выполняться неравенства (9.7), что и доказывает устойчивость невозмущенного движения.
Заметим, что из приведенного доказательства вытекает также и способ построения по числу $\varepsilon$ соответствующего числа $\eta$. Для этого, как видно из предыдущего, неоєходимо: 1) задавшись числом $\varepsilon$, определить число $l(\varepsilon)$, являющееся точным нижним пределом функции $V$, при условии (9.3);2) по полученному числу $l(\varepsilon)$ определить $\eta(\varepsilon)$ так, чтобы при выполнении (9.5) выполнялось неравенство $V\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)<l$.
