Рассмотрим еще один способ решения задачи устойчивости для системы
\[
\frac{d x}{d t}=-\lambda y+X(x, y), \quad \frac{d y}{d t}=\lambda x+Y(x, y),
\]

предложенный также Ляпуновым.
B § 36 было показано, что начало координат для уравнении (38.1) является либо центром, либо фокусом и что вопрос о том, какой из этих случаев имеет место, является основным для задачи устойчивости. Если начало координат является центром, то невозмущенное движение устойчиво; если оно является фокусом, то устоиччвость или неустойчивость определяется знаком введенной в § 36 постоянной $g$, определяющим направление движения по спиралям, которыми являются в этом случае интегральные кривые. Далее было показано, что в случае центра, и только в этом случае, общее решение уравнений (38.1) является периодическим. Поэтому для решения задачи устойчивости постараемся выяснить, будут ли решения уравнений (38.1) периодическими или нет. Если эти решения окажутся периодическими, то имеет место устойчивость, а если они окажутся непериодическими, то останется еще определить знак постоянной $g$.

Для выяснения этого вопроса рассмотрим решение $x(t), y(t)$ уравнений (38.1), определяемое начальными условиями
\[
x(0)=c, \quad y(0)=0,
\]

где $c$-достаточно малая произвольная постоянная.
Если начало координат является центром, то это решение будет периодическим с периодом, определяемым формулой (36.19):
\[
T=\frac{2 \pi}{\lambda}\left(1+h_{1} c+h_{2} c^{2}+\ldots\right),
\]

где $h_{1}, h_{2}, \ldots$ — некоторые постоянные, и ряд сходится при $c$ достаточно малом.

Допустим, что мы действительно имеем дело со случаем центра. Заменим в уравнениях (38.1) переменную $t$ переменной $\tau$ при помощи подстановки
\[
t=\frac{\tau}{\lambda}\left(1+h_{1} c+h_{2} c^{2}+\ldots\right) .
\]

Тогда для полученных таким образом уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d \tau}=\left(-y+\frac{1}{\lambda} X\right)\left(1+h_{1} c+h_{2} c^{2}+\ldots\right) \\
\frac{d y}{d \tau}=\left(x+\frac{1}{\lambda} Y\right)\left(1+h_{1} c+h_{2} c^{2}+\ldots\right)
\end{array}
\]

решение с начальными условиями (38.2) будет периодическим с периодом $2 \pi$.

Уравнения (38.5) содержат аналитически параметр c. Поэтому любое решение этих уравнений будет, по известной теореме, аналитическим относительно $c$. Кроме того, каждое такое решение будет аналитическим относительно своих начальных значений $x^{0}$ и $y^{0}$. Применяя это к рассматриваемому периодическому решению, для которого $x^{0}=c, y^{0}=0$, придем к заключению, что это решение будет аналитическим относительно $c$.
Следовательно, это решение имеет вид
\[
\left.\begin{array}{l}
x=c x_{1}(\tau)+c^{2} x_{2}(\tau)+\ldots . \\
y=c y_{1}(\tau)+c^{2} y_{2}(\tau)+\ldots .
\end{array}\right\}
\]

где ряды, стоящие в правых частях, сходятся при достаточно малом $c$. Так как это решение является периодическим с периодом $2 \pi$, то все функции $x_{m}(\tau), y_{m}(\tau)$ являются также периодическими периода $2 \pi$. Кроме того, начальные условия (38.2) дают:
\[
x_{1}(0)=1, x_{2}(0)=x_{3}(0)=\ldots=y_{1}(0)=y_{2}(0)=\ldots=0 \text {. }
\]

Таким образом, если начало координат является центром, то уравнения (38.5), в которых $h_{i}$ — некоторые определенные постоянные, имеют решение вида (38.6) с периодическими $x_{m}(\tau), y_{m}(\tau)$. Если окажется, что как бы ни были выбраны постоянные $h_{i}$, система (38.5) решения вида (38.6) с периодическими $x_{m}(\tau), y_{m}(\tau)$ не имеет, то это будет свидетельствовать о том, что начало координат является фокусом.

Подставляя (38.6) в (38.5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $c$, мы получим уравнения, которым должны удовлетворять функции $x_{m}$ и $y_{m}$. Таким путем прежде всего получаем:
\[
\frac{d x_{1}}{d \tau}=-y_{1}, \frac{d y_{1}}{d \tau}=x_{1},
\]

откуда, принимая во внимание начальные условия (38.7), имеем:
\[
x_{1}=\cos \tau, \quad y_{1}=\sin \tau .
\]

После этого получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x_{2}}{d \tau}=-y_{2}-h_{1} \sin \tau+\frac{1}{\lambda} X_{2}(\cos \vartheta, \sin \vartheta), \\
\frac{d y_{2}}{d \tau}=x_{2}+h_{1} \cos \tau+\frac{1}{\lambda} Y_{2}(\cos \vartheta, \sin \vartheta),
\end{array}\right\}
\]

где $X_{2}(x, y)$ и $Y_{2}(x, y)$ — совокупность членов второго порядка в функциях $X$ и $Y$.

Аналогичные уравнения мы получим и для функций $X_{k}$ и $Y_{k}(k>2)$. IІравые части этих уравнений будут содержать постоянные $h_{1}$, $h_{2}, \ldots, h_{k-1}$. Мы выпишем явно лишь те члены, которые содержат постоянную $h_{k-1}$. Тогда будем иметь:
\[
\frac{d x_{k}}{d \tau}=-y_{k}-h_{k-1} \sin \tau+P_{k}, \quad \frac{d y_{k}}{d \tau}=x_{k}+h_{k-1} \cos \tau+Q_{k},
\]

где $P_{k}$ и $Q_{k}$ — некоторые полиномы относительно $x_{2}, y_{2}, x_{3}, y_{3}, \ldots$, $x_{k-1}, y_{k-1}$, коэффициенты которых зависят только от $h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{k-2}$.
Уравнения (38.8) имеют вид
\[
\frac{d u}{d \tau}=-v+f(\tau), \quad \frac{d v}{d \tau}=u+F(\tau),
\]

где $f(\tau)$ и $F(\tau)$ — периодические функции $\tau$ периода $2 \pi$. Задача состоит в определении периодических решений этих уравнений. Этохорошо известная элементарная задача определения вынужденных колебаний линеиной системы с одной степенью свободы. В рассматриваемом случае имеет место резонанс, так как период свободных колебаний совпадает с периодом возмущающей силы. Поэтому уравнения (38.10) в общем случае не имеют периодического решения, и для того чтобы такое решение существовало, необходимо, чтобы функции $f$ и $F$ удовлетворяли некоторым условиям, которые легко установить.
Пусть
\[
\begin{array}{l}
f=a_{0}+a_{1} \cos \tau+b_{1} \sin \tau+\sum_{n=2}^{\infty}\left(a_{n} \cos n \tau+b_{n} \sin n \tau\right), \\
F=A_{0}+A_{1} \cos \tau+B_{1} \sin \tau+\sum_{n=2}^{\infty}\left(A_{n} \cos n \tau+B_{n} \sin n \tau\right)
\end{array}
\]
— разложения фурье функций $f$ и $F$, где, в частности,
\[
\left.\begin{array}{ll}
a_{1}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(\tau) \cos \tau d \tau, & b_{1}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(\tau) \sin \tau d \tau, \\
A_{1}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} F(\tau) \cos \tau d \tau, & B_{1}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} F(\tau) \sin \tau d \tau .
\end{array}\right\}
\]

Пусть. далее,
\[
\begin{array}{l}
u=c_{0}+c_{1} \cos \tau+d_{1} \sin \tau+\sum_{n=2}^{\infty}\left(c_{n} \cos n \tau+d_{n} \sin n \tau\right), \\
v=C_{0}+C_{1} \cos \tau+D_{1} \sin \tau+\sum_{n=2}^{\infty}\left(C_{n} \cos n \tau+D_{n} \sin n \tau\right)
\end{array}
\]
— разложения фурье искомого периодического решения. Подставляя эти разложения в (38.10), мы получим $C_{0}=a_{0}, c_{0}=-A_{0}$ и следующие уравнения для определения коэффициентов:
\[
\begin{aligned}
n d_{n} & =-C_{n}+a_{n}, & n c_{n} & =D_{n}-b_{n}, \\
n D_{n} & =c_{n}+A_{n}, & -n C_{n} & =d_{n}+B_{n} .
\end{aligned}
\]

Эти уравнения дают вполне определенные решения для $c_{n}, d_{n}$, $C_{n}$. $D_{n}$ при всех $n>1$. При $n=1$ эти уравнения неразрешимы, если только не выполняются соотношения
\[
\begin{array}{l}
A_{1}-b_{1}=0, \\
B_{1}+a_{1}=0 .
\end{array}
\]

Если эти соотношения выполняются, то будем иметь:
\[
\begin{array}{ll}
D_{1}=\alpha, & d_{1}=\beta, \\
C_{1}=a_{1}-\beta, & c_{1}=\alpha-b_{1},
\end{array}
\]

где $\alpha$ и $\beta$-произвольные постоянные. Таким образом, принимая во внимание (38.11), мы приходим к следующему заключению.

Для того чтобы система (38.10) имела периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соптношения
\[
\left.\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi}[f(\tau) \cos \tau+F(\tau) \sin \tau] d \tau=0 \\
\int_{0}^{2 \pi}[F(\tau) \cos \tau-f(\tau) \sin \tau] d \tau=0
\end{array}\right\}
\]

Если эти соотношения выполняются, то указанное периодическое решение имеет вид
\[
\left.\begin{array}{l}
u=\alpha \cos \tau+\beta \sin \tau+\bar{u}(\tau) \\
v=\alpha \sin \tau-\beta \cos \tau+\bar{v}(\tau)
\end{array}\right\}
\]

где $\alpha$ и $\beta$ — произвольные постоянные, а $\bar{u}(\tau), \bar{v}(\tau)$ — периодические функции периода $2 \pi$. Это решение, содержащее две произвольные постоянные, является общим решением уравнений (38.10).

Если условия (38.12) не выполняются, то уравнения (38.10) не имеют периодического решения. Членам $a_{1} \cos \tau+b_{1} \sin \tau$ и $A_{1} \cos \tau+$ $+B_{1} \sin \tau$ будут соответствовать частные решения вида
\[
\begin{array}{l}
u_{1}=\frac{a_{1}+B_{1}}{2} \tau \cos \tau+\frac{b_{1}-A_{1}}{2} \tau \sin \tau-\frac{A_{1}+b_{1}}{2} \cos \tau, \\
v_{1}=\frac{A_{1}-b_{1}}{2} \tau \cos \tau+\frac{a_{1}+B_{1}}{2} \tau \sin \tau+\frac{a_{1}-B_{1}}{2} \cos \tau,
\end{array}
\]

и общее решение уравнений (38.10) будет иметь вид
\[
\left.\begin{array}{l}
u=\alpha \cos \tau+\beta \sin \tau+\frac{a_{1}+B_{1}}{2} \tau \cos \tau+\frac{b_{1}-A_{1}}{2} \tau \sin \tau+\bar{u}(\tau), \\
v=\alpha \sin \tau-\beta \cos \tau+\frac{A_{1}-b_{1}}{2} \tau \cos \tau+\frac{a_{1}+B_{1}}{2} \tau \sin \tau+\bar{v}(\tau),
\end{array}\right\}
\]

где $\bar{u}(\tau)$ и $\bar{v}(\tau)$ — периодические функции, а $\alpha$ и $\beta$-произвольные постоянные.

Установив это, допустим, что все функции $x_{2}, y_{2}, \ldots, x_{k-1}, y_{k-1}$ оказались периодическими и что все постоянные $h_{1}, h_{2}, \ldots, h_{k-2}$
известны. Тогда правые части уравнений (38.9), определяющих $x_{k}$ и $y_{k}$, будут известными периодическими функциями $\tau$. Эти уравнения будут, таким образом, иметь вид (39.10). Поэтому, для того чтобы функции $x_{k}$ и $y_{k}$ оказались перлодическими, необходимо и достаточно на основании (38.12), чтобы выполнялись соотношения
\[
\left.\begin{array}{rl}
2 \pi h_{k-1}+\int_{0}^{2 \pi}\left(Q_{k} \cos \tau-P_{k} \sin \tau\right) d \tau & =0, \\
\int_{0}^{2 \pi}\left(P_{k} \cos \tau+Q_{k} \sin \tau\right) d \tau & =0,
\end{array}\right\}
\]

Первое из этих соотношений однозначно определяет величину $h_{k-1}$. Что же касается второго соотношения, то оно может как выполняться, так и не выполняться. Если оно не выполняется, то уравнения (38.5) не будут иметь периодических решений, как бы ни были выбраны постоянные $h_{i}$. Следовательно, в этом случае начало координат является фокусом.

Таким образом, для того чтобы начало координат было центром, необходимо, чтобы второе условие (38.15) выполнялось для любого $k$. И если нам каким-нибудь образсм удастся установить это обстоятельство, то все функции $x_{k}, y_{k}$ получатся периодическими. Все эти функции будут вида (38.13) и входящие в каждую из них две произвольные постоянные будут однозначно определяться начальными условиями $x_{k}(0)=y_{k}(0)=0$. Ряды (38.6) будут при этом, как было установлено выше, сходиться и действительно представят периодическое решение системы (38.1). Начало координат будет в этом случае центром и невозмущенное движение будет устойиво.

Допустим, однако, что при вычислении функций $x_{k}(\tau), y_{k}(\tau)$ мы пришли в конце концов к такоиу значению индекса $k$, что для него второе соотношение (38.15) не выполняется, В этом случае, как мы уже говорили, начало координат является фокусом. Поэтому для решения задачи устойчивости остается установить знак величины $g$, введенной в § 36 . Покажем, что
\[
g=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(P_{k} \cos \tau+Q_{k} \sin \tau\right) d \tau=\frac{a_{1}+B_{1}}{2},
\]

где $a_{1}$-коэффициент при $\cos \tau$ в $P_{k}$, а $B_{1}$ — коэффициент при $\sin \tau$ в $Q_{k}$.

С этой целью рассмотрим значение величины $x$ при $t=T$ или, что то же самое, при $\tau=2 \pi$. Мы предполагаем при этом, что ряд (38.3), определяющий величину $T$, обрывается на члене $(k-1)$-го порядка. Общее решение уравнений для $x_{k}$ и $y_{k}$ имеет на основании (38.14) вид
\[
\begin{array}{l}
x_{k}=\alpha \cos \tau+\beta \sin \tau+\frac{1}{2 \pi}\left\{\int_{0}^{2 \pi}\left(P_{k} \cos \tau+Q_{k} \sin \tau\right) d \tau\right\} \tau \cos \tau- \\
\therefore-\frac{1}{2 \pi}\left\{2 \pi h_{k-1}+\int_{0}^{2 \pi}\left(Q_{k} \cos \tau-P_{k} \sin \tau\right) d \tau\right\} \tau \sin \tau+\bar{x}_{k}(\tau),
\end{array}
\]
\[
\begin{aligned}
y_{k}=\alpha \sin \tau-\beta \cos \tau & +\frac{1}{2 \pi}\left\{2 \pi h_{k-1}+\int_{0}^{2 \pi}\left(Q_{k} \cos \tau-P_{k} \sin \tau\right) d \tau\right\} \cos \tau+ \\
& +\frac{1}{2 \pi}\left\{\int_{0}^{2 \pi}\left(P_{k} \cos \tau+Q_{k} \sin \tau\right) d \tau\right\} \tau \sin \tau+\bar{y}_{k}(\tau),
\end{aligned}
\]

где $\bar{x}_{k}, \bar{y}_{k}$ — периодические функции. Для $\alpha$ и $\beta$ из начальных условий (38.7) получаем:
\[
\alpha+\bar{x}_{k}(0)=0, \quad-\beta+\bar{y}_{k}(0)=0
\]

и, следовательно,
\[
\alpha+\bar{x}_{k}^{\prime}(2 \pi)=0, \quad-\beta+\bar{y}_{k}(2 \pi)=0 .
\]

Отсюда, учитывая, что все функции $x_{2}, y_{2}, \ldots, x_{k-1}, y_{k-1}-$ периодические, а также учитывая начальные условия (38.7) и соотношения (38.17), из (38.6) ${ }^{1}$ ) получим:
\[
(x)_{t=T}=c+c^{k} \int_{0}^{2 \pi}\left(P_{k} \cos \tau+Q_{k} \sin \tau\right) d \tau+c^{k+1}(\ldots)+\ldots
\]

Найдем теперь эту же величину, исходя из результатов § 36 . Согласно этим результатам при $\forall=2 \pi$ на основании (36.6), (36.9) и (36.13) для величины $r$, а следовательно, также и для величины $x=r \cos \vartheta$, будем иметь:
\[
(x)_{\vartheta=2 \pi}=c+2 \pi g c^{m}+c^{m+1}(\ldots)+\ldots
\]

В обеих формулах (38.18) и (38.19) с обозначает одну и ту же величину — значение $r$ и $x$ при $t=\vartheta=0$. Сравнение этих формул показывает, что $m=k$, так как при $t=T$ полярный угол $\vartheta$ отличается от $2 \pi$ на величину порядка (относительно $c$ ) не менее $k$, и что $g$ действительно определяется формулой (38.16).
1) Так как мы ограничиваемся в подстановке (38.3) только конечным числом членов, то правые части уравнений (38.5) будут по-прежнему аналитическими (простыми полиномами) относительно $c$ и ряды (38.6) будут сходиться на отрезке $0 \leqslant \tau \leqslant 2 \pi$, если $c$ достаточно мало.

Вопрос устойивости решается знаком величины $g$. При $g>0$ невозмущенное движение неустойчиво, а при $g<0$ оно устойчиво асимптотически.

Таким образом, для решения задачи устойчивости мы можем руководствоваться следующим правилом.

Преобразуя уравнения (38.1) при помощи подстановки к виду (38.5), пытаемся удовлетворить им рядами
\[
\left.\begin{array}{l}
x=c \cos \tau+c^{2} x_{2}(\tau)+c^{3} x_{3}(\tau)+\ldots, \\
y=c \sin \tau+c^{2} y_{2}(\tau)+c^{3} y_{3}(\tau)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где $c$-произвольная постоянная, а $x_{j}(\tau), y_{j}(\tau)$ — периодические функции $\tau$ периода $2 \pi$, удовлетворяющие начальным условиям (38.7). Для определения функций $x_{k}, y_{k}$ получим уравнения вида (38.9). Эти уравнения будут допускать периодические решения, если выполняются условия (38.15). Первое из этих условий однозначно определяет постоянную $h_{k-1}$, а второе условие может как выполняться, так и не выполняться. В первом случае уравнения (38.9) будут допускать периодическое решение, однозначно определяемое начальными условиями. И если это будет иметь место для всех значений $k$, как бы велико это число ни было, то невозмущенное движение будет устойчиво, ряды (38.20), а также ряд (38.3) будут сходиться и представят периодическое решение и период уравнений (38.1).

Если при вычислении функций $x_{k}, y_{k}$ мы придем к такому значению индекса $k$, для которого второе условие (38.15) не выполняется, то невозмущенное движение будет неустойчиво, если величина $g$, определяемая формулой (38.16), будет положительна, и асимптотически устоичиво, если она будет отрицательна.

Приведенное правило дает очень удобный способ определения периодических решений уравнении (38.1), когда они существуют, и периода этих решений Сами решения при этом представляются в очень удобной для практики форме. Эти решения имеют большое значение в теории нелинейных колебаний ${ }^{1}$ ).

Заметим в заключение, что величина $h_{1}$ всегда получается равной нулю. Это непосредственно вытекает из (38.15) и (38.8). Можно доказать, что вообще первая отличная от нуля величина $h_{j}$ имеет четный индекс.
Пример 1. Рассмотрим снова систему
\[
\frac{d x}{d t}=-y, \quad \frac{d y}{d t}=x-\beta x^{2}-\gamma x y^{2}+\alpha y^{3} .
\]

Полагая
\[
t=\tau\left(1+h_{2} c^{2}+\ldots\right),
\]
1) См., например, Малкин И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, 1956.

будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d \tau}=-y\left(1+h_{2} c^{2}+\ldots\right) \\
\frac{d y}{d \tau}=\left(x-\beta x^{2}-\gamma x y^{2}+\alpha y^{3}\right)\left(1-h_{2} c^{2}+\ldots\right) .
\end{array}
\]

Этой системе пытаемся удовлетворить рядами (38.20). Для коэффициентов этих рядов получаем уравнения
\[
\begin{array}{ll}
\frac{d x_{2}}{d \tau}=-y_{2}, & \frac{d y_{2}}{d \tau}=x_{2}-\beta \cos ^{2} \tau=x_{2}-\frac{\beta}{2}(1+\cos 2 \tau), \\
\frac{d x_{3}}{d \tau}=-y_{3}-h_{2} \sin \tau, & \frac{d y_{3}}{d \tau}=x_{3}+h_{2} \cos \tau-\gamma \sin ^{2} \tau \cos \tau+\alpha \sin ^{3} \tau .
\end{array}
\]

Уравнения для $x_{2}$ и $y_{2}$ не содержат резонирующих гармоник, и потому $x_{2}$ и $y_{2}$ получаются периодическими. Функции же $x_{3}$ и $y_{3}$ не получатся периодическими, так как для них постоянная $g$ на основании (38.16) имеет вид
\[
g=\frac{\alpha}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{4} \tau d \tau-\frac{\gamma}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{3} \tau \cos \tau d \tau=\frac{\alpha}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{4} \tau d \tau
\]

и, следовательно, отлична от нуля. Вопрос устойчивости решается при этом знаком $g$, т. е. знаком $\alpha$.
Пример 2. В качествѐ второго примера рассмотрим уравнение
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\frac{g}{l} \sin x=-\lambda^{2} x+\frac{\lambda^{2}}{3 !} x^{3}-\frac{\lambda^{2}}{5 !} x^{5}+\ldots \\
\left(\lambda^{2}=\frac{g}{l}\right),
\end{array}
\]

определяющее, как известно, колебания математического маятника около его нижнего положения равновесия.
В рассматриваемом случае имеет место интеграл энергии
\[
\begin{array}{c}
y^{2}-2(\cos x-1)=x^{2}+y^{2}-\frac{1}{12} x^{4}+\ldots=\text { const } \\
\left(y=-\frac{1}{\lambda} \frac{d x}{d t}\right),
\end{array}
\]

и следовательно, начало координат $x=\frac{d x}{d t}=0$ является центром. Равновесие, таким образом, устойиво, и общее решение уравнения (38.21) будет периодическим. Найдем это решение.
Делая
\[
t=\frac{\tau}{\lambda}\left(1+h_{2} c^{2}+h_{4} c^{4}+\ldots\right),
\]

получим уравнение
\[
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}=\left(-x+\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{5}}{120}+\ldots\right)\left(1+h_{2} c^{2}+h_{4} c^{4}+\ldots\right) .
\]
которому стараемся удовлетворить рядом
\[
x=c \cos \tau+c^{3} x_{3}(\tau)+c^{5} x_{5}(\tau)+\ldots,
\]

где $x_{k}(\tau)$ — периодические функции $\tau$ периода $2 \pi$, удовлетворяющие условиям $x_{k}(0)=0$. При этом ряд (38.22) содержит только четные степени $c$, а ряд (38.23) только нечетные степени $c$, так как уравнение (38.21) не изменяется при замене $x$ на $-x$.
Имеем:
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} x_{3}}{d \tau^{2}} & =-x_{3}-2 h_{2} \cos \tau+\frac{\cos ^{3} \tau}{6}= \\
& =-x_{3}+\left(\frac{1}{8}-2 h_{2}\right) \cos \tau+\frac{1}{24} \cos 3 \tau .
\end{aligned}
\]

Для того чтобы это уравнение имело периодическое решение, необходимо, чтобы коэффициент при $\cos \tau$ обращался в нуль. Таким образом, получаем:
\[
h_{2}=\frac{1}{16} \text {, }
\]

после чего из уравнения (38.24), принимая во внимание начальные условия, будем иметь:
\[
x_{3}=\frac{1}{192} \cos \tau-\frac{1}{192} \cos 3 \tau .
\]

Для $x_{5}$ имеем уравнение
\[
\frac{d^{2} x_{5}}{d \tau^{2}}=-x_{5}+\left(-2 h_{4}+\frac{11}{1536}\right) \cos \tau+\frac{1}{384} \cos 3 \tau-\frac{3}{256} \cos 5 \tau,
\]

из которого находим:
\[
\begin{array}{l}
h_{4}=\frac{11}{3072}, \\
x_{5}=-\frac{1}{6144} \cos \tau-\frac{1}{3072} \cos 3 \tau+\frac{1}{2048} \cos 5 \tau .
\end{array}
\]

Этим приближением мы и ограничиваемся. Таким образом, периодическое решение уравнения (38.21) и его период определяются формулами:
\[
\begin{aligned}
T & =2 \pi \sqrt{\frac{g}{l}}\left(1+\frac{1}{16} c^{2}+\frac{11}{3072} c^{4}+\ldots\right), \\
x & =c \cos \tau+c^{3} x_{3}(\tau)+c^{5} x_{5}(\tau)+\ldots, \\
x_{3}(\tau) & =\frac{1}{192} \cos \tau-\frac{1}{192} \cos 3 \tau, \\
x_{5} & =-\frac{1}{6144} \cos \tau-\frac{1}{3072} \cos 3 \tau+\frac{1}{2048} \cos 5 \tau, \\
t & =\sqrt{\frac{g}{l}}\left(1+\frac{1}{16} c^{2}+\frac{11}{3072} c^{4}+\ldots\right) \tau .
\end{aligned}
\]

Здесь $c$-начальная амплитуда колебаний. Начальная скорость равна нулю. Заменяя $t$ на $t+\alpha$, где $\alpha$ — произвольная постоянная, получим общее решение уравнения (38.21).