Рассмотрим уравнения возмущенного движения вида
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}+\varphi_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \\
(s=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $p_{s j}$ ограничены и непрерывны при $t \geqslant 0$, и соответствующую систему уравненин первого приближения
\[
\frac{d x_{s}}{d t}=p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n} .
\]

Первым, установившим достаточные условия устоћчивости по первому приближению для уравнений вида (87.1), был сам А. М. Ляпунов. При этом Ляпунов предполагал, что функции $\varphi_{s}$, ограниченные по отношению к $t$, разлагаются в ряды по степеням переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$, начинающиеся членами не ниже второго порядка. Критерий Ляпунова обобщен Э. Коттоном и К. П. Персидским ${ }^{2}$ ), наложившими на $\varphi_{s}$ менее ограничительные условия. Мы докажем теорему Ляпунова в предположении, что функции $\varphi_{s}$ удовлетворяют в области
\[
\left|x_{s}\right| \leqslant H, \quad t \geqslant 0
\]

неравенствам
\[
\left|\varphi_{s}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right|<A\left\{\left|x_{1}\right|+\ldots+\left|x_{n}\right|\right\}^{m},
\]

где $A$ и $m$ – положительные числа, из которых второе больше единицы. Кроме того, предполагается, как обычно, что уравнения (87.1) допускают в рассматриваемой области единственное решение при заданных начальных условиях. Наложенные на $\varphi_{s}$ ограничения зна-
1) Четаев Н. Г., Теорема о неустойчивости для правильных систем. ПММ, т. XII, вып. 5, 1944; Чет а в Н.Г., О некоторых вопросах об устойчивости и неустойчивости для неправильных систем. ПММ, т. XII, вып 5, 1948; Чета е Н.Г., Устойчивость движения, Гостехиздат, 1946.
${ }^{2}$ ) См. работу, цитированную на стр. 367.

чительно слабее,- чем у Э. Коттона, и несколько сильнее, чем у К. П. Персидского.
Критерий Ляпунова выражается следующей теоремой.
Теорема. Если система уравнений первого приближения (87.2) правильная и если все ее характеристичные числа положительны, то невозмущенное движение для уравнений (87.1) асимптотически устойчиво при любом выборе функций $\varphi_{s}$, удовлетворяющих в области (87.3) неравенствам (87.4).

Доказательство. Обозначим через $x_{s j}(t)$ нормальную систему решений уравнений (87.2), а через $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ – ее характеристичные числа, так что
\[
X\left\{x_{1 j}, \ldots, x_{n j}\right\}=\lambda_{j} \quad(j=1,2, \ldots, n) .
\]

По условию теоремы все величины $\lambda_{j}$ положительны. Обозначим далее через $\bar{x}_{s j}(t)$ фундаментальную систему решений уравнений (87.2), определяемую начальными условиями $\bar{x}_{s i}(0)=\delta_{s j}\left(\delta_{s j}\right.$ – символ Кронекера). Тогда, если
\[
\lambda=\min \left\{i_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right\}
\]

то во всяком случае
\[
X\left\{\vec{x}_{j j}\right\} \geqslant \lambda .
\]

Пусть $\Delta=\left|x_{s j}\right|$ – определитель Вронского решений $x_{s j}$, а $\Delta_{s j}$ минор этого определителя, соответствующий элементу $x_{s j}$. Оценим характеристичное число функций $\Delta_{s j} / \Delta$. Применяя теоремы о характеристичных числах произведения и суммы, получим:
\[
X\left\{\frac{\Delta_{s j}}{\Delta}\right\} \geqslant X\left\{\Delta_{s j}\right\}+X\left\{\frac{1}{\Delta}\right\} \geqslant \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}-\lambda_{j}+X\left\{\frac{1}{\Delta}\right\} .
\]

Но, так как система (87.2) – правильная, то
\[
X\left\{\frac{1}{\Delta}\right\}=X\left\{\frac{1}{\Delta(0)} e^{-\sum_{i=1}^{n} \int p_{i i} d t}\right\}=-\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}
\]

и, следовательно,
\[
X\left\{\frac{\Delta_{s j}}{\Delta}\right\} \geqslant-\lambda_{j}
\]

Из (87.5), (87.6) и (87.7) находим, что при всех $t \geqslant 0$ справедливы оценки
\[
\left.\begin{array}{c}
\left|\bar{x}_{s j}(t)\right|<B e^{(-\lambda+\alpha) t}, \quad\left|x_{s j}(t)\right|<B e^{\left(-\lambda_{j}+\alpha\right) t}, \\
\left|\frac{\Delta_{s j}}{\Delta}\right|<B e^{\left(\lambda_{j}+\alpha\right) t},
\end{array}\right\}
\]

где $\alpha$-сколь угодно малое положительное число, а $B \geqslant 1$ – некоторая постоянная (зависящая от $\alpha$ ).
Сделаем теперь в уравнениях (87.1) замену переменных
\[
y_{s}=x_{s} e^{\gamma t},
\]

где $\gamma<\lambda$. Получим:
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=p_{s 1} y_{1}+\ldots+p_{s n} y_{n}+\gamma y_{s}+e^{\gamma t} \varphi_{s}\left(t, e^{-\gamma t} y_{1}, \ldots, e^{-\gamma t} y_{n}\right),
\]

причем система первого приближения (87.2) перейдет в систему
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=p_{s 1} y_{1}+\cdots+p_{s n} y_{n}+\gamma y_{s} .
\]

Пусть $\bar{y}_{s j}(t)$-фундаментальная система решении уравнении (87.11), определяемая начальными условиями $\bar{y}_{s j}(0)=\delta_{s j}, y_{s j}(t)$ – нормальная система решений этих уравнении, соответствующая системе $x_{s j}$ уравнении (87.2), $D=\left|y_{s j}\right|$ и $D_{s j}$ – минор определителя $D$, соответствующий элементу $y_{s j}$. Тогда, очевидно,
\[
\bar{y}_{s j}=e^{\gamma t} \bar{x}_{s j}, \quad y_{s j}=e^{\gamma t} x_{s j}, \quad \frac{D_{s j}}{D}=e^{-\gamma t} \frac{\Delta_{s j}}{\Delta},
\]

и из (87.8) находим:
\[
\left.\begin{array}{c}
\left|\bar{y}_{s j}(t)\right|<B e^{(-\lambda+\alpha+\gamma) t},\left|y_{s j}(t)\right|<B e^{\left(-\lambda_{j}+\alpha+\gamma\right) t}, \\
\left|\frac{D_{s j}}{D}\right|<B e^{\left(\lambda_{j}+\alpha-\gamma\right) t} .
\end{array}\right\}
\]

Мы будем предполагать, что а настолько мало, что
\[
-\lambda_{j}+\alpha+\gamma \leqslant-\lambda+\alpha+\gamma<0 .
\]

Рассмотрим неоднородную систему
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=p_{s_{1}} y_{1}+\cdots+p_{s n} y_{n}+\gamma y_{s}+f_{s}(t),
\]

где $f_{s}$-произвольные непрерывные функции времени. Частное решение этих уравнений, если его искать по методу вариации произвольных постоянных Лагранжа, имеет вид
\[
y_{s}=\sum_{i, j=1}^{n} y_{s j} \int_{0}^{t} \frac{D_{i j}}{D} f_{i}(t) d t .
\]

Поэтому общее решение этих уравнений определяется равенствами
\[
y_{s}=\sum_{i=1}^{n} c_{i} \vec{y}_{s i}(t)+\sum_{i, j=1}^{n} y_{s j} \int_{0}^{t} \frac{D_{i j}}{D} f_{i}(t),
\]

где $c_{s}$ – начальные значения величин $y_{s}$.

Установив это, рассмотрим произвольное решение $y_{s}(t)$ уравнений (87.10) с начальными условиями $y_{s}(t)=y_{s}^{0}$. На основании (87.13) мы можем писать:
\[
\begin{aligned}
y_{s}(t)= & \sum_{i=1}^{n} y_{i}^{0} \bar{y}_{s i}(t)+ \\
& +\sum_{i, j=1}^{n} y_{i j} \int_{0}^{t} \frac{D_{i j}}{D} e^{\gamma t} \varphi_{i}\left[t, e^{-\gamma t} y_{1}(t), \ldots, e^{-\gamma t} y_{n}(t)\right] d t .
\end{aligned}
\]

Пусть $\varepsilon$ – произвольное сколь угодно малое положительное число. Мы будем при этом предполагать, что оно настолько мало, что выполняется неравенство
\[
n^{m+1} B^{2} A \varepsilon^{m-1} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\left|\lambda_{j}+a-m \gamma\right|}<\frac{1}{2} .
\]

Так как $m>1$, то это будет выполняться при всяком $\varepsilon<h$, где $h$ достаточно мало. Выберем теперь $\eta(\varepsilon)$ согласно неравенству
\[
\eta<\frac{1}{2 n B} \varepsilon<\frac{\varepsilon}{2}
\]

и покажем, что если $\left|y_{s}^{0}\right| \leqslant \eta$, то при всех $t>0$ будет $\left|y_{s}(t)\right|<\varepsilon$, т. е. что невозмущенное движение относительно переменных $y_{s}$ устойчиво.

В самом деле, пусть $t=T$ – первый момент времени, при котором хотя бы одна из величин $\left|y_{s}\right|$ достигает значения $\varepsilon$. На всем отрезке [0,T] на основании (87.4) справедливы оценки
\[
\left|\varphi_{i}\left(t, e^{-\gamma t} y_{1}(t), \ldots, e^{-\gamma t} y_{n}(t)\right)\right|<n^{m} A e^{-m \gamma t_{\varepsilon}} .
\]

Поэтому, принимая во внимание (87.12), из (87.14) найдем:
\[
\begin{array}{l}
\left|y_{s}(T)\right|<n B \eta e^{(-\lambda+\alpha+\gamma) t}+\sum_{j=1}^{n} n^{m+1} B^{2} A \varepsilon^{m} e^{\left(-\lambda_{j}+\alpha+\gamma\right) t} \int_{0}^{t} e^{\left(\lambda_{j}+\alpha-m \gamma\right) t} d t= \\
=n B \eta e^{(-\lambda+\alpha+\gamma) t}+n^{m+1} B^{2} A \varepsilon^{m} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\lambda_{j}+\alpha-m \gamma}\left(e^{(2 \alpha+\gamma-m \gamma) t}-e^{\left(-\lambda_{j}+\alpha+\gamma\right) t}\right) .
\end{array}
\]

Так как $m>1$, то $\alpha$ можно выбрать настолько малой, чтобы $2 \alpha+\gamma-m \gamma<0$. Тогда на основании (87.13) показатели степеней в правых частях полученных неравенств будут отрицательны. Поэтому указанные неравенства принимают вид
\[
\left|y_{s}(T)\right|<n B \eta+n^{m+1} B^{2} A \varepsilon^{m} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\left|\lambda_{j}+\alpha-m \gamma\right|}
\]

и, следовательно, на основании (87.15) и (87.16)
\[
\left|y_{s}(T)\right|<\varepsilon,
\]

что противоречит условию, что хотя бы одна из величин $\left|y_{s}(T)\right|$ равна $\alpha$.

Таким образом, невозмущенное движение по отношению к переменным $y_{s}$ устойчиво. Но тогда оно на основании (87.9) будет асимптотически устойчиво по отношению к переменным $x_{s}$, что и доказывает теорему.

Примечание 1. Из устойчивости невозмущенного движения по отношению $y_{s}$ и равенств (87.9) вытекает, что характеристичное число функций $x_{s}(t)$ не менее величины $\gamma$, которая является любым положительным числом, меньшим наименьшего из характеристичных чисел системы первого приближения.

Примечание 2. Допустим, что система (87.2) не является правильной, так что
\[
X\left\{e^{\sum_{i=1}^{n} \int_{0}^{t} p_{i i} d t}\right\}-\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=a>0 .
\]

Ляпунов показал, что доказанная теорема останется в силе, если $a$. меньше наименьшего характеристического числа системы (87.2).