Пусть $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ – какая-нибудь форма $m$-го порядка. Рассмотрим производную этой формы по времени, составленную в силу уравнений (19.3), т. е. форму того же порядка:
\[
\frac{d V}{d t}=\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right),
\]

и поставим задачу определить форму $V$ таким обгазом, чтобы выполнялось соотношение
\[
\frac{d V}{d t}=\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right)=\lambda V .
\]

где $\lambda$ – постоянная. Коэффициенты искомой формы должны удовлетворять некоторой системе уравнений, которые мы получим, приравнивая коэффициенты при подобных членах в правой и левой частях уравнения (20.1). Исследуем подробнее эти уравнения. Для этого допустим сначала, что $m=1$, т. е. положим
\[
V=a_{1} x_{1}+\ldots+a_{n} x_{n} .
\]

Подставляя (20.2) в (20.1) и приравнивая коэффициенты при $x_{1}, \ldots, x_{n}$, получим следующую систему уравнении, которым должны удовлетворять коэффициенты $a_{1}, \ldots, a_{n}$ :
\[
\begin{array}{c}
p_{11} a_{1}+p_{21} a_{2}+\ldots+p_{n 1} a_{n}=\lambda a_{1}, \\
p_{12} a_{1}+p_{22} a_{2}+\ldots+p_{n 2} a_{n}=\lambda a_{2}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot p_{n n} a_{n}=\lambda a_{n} .
\end{array}
\]

Для того чтобы эта система линейных однородных уравнений имела решение, отличное от тривиального, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы

обращался в нуль. Таким образом, для того чтобы уравнение (20.1) могло быть удовлетворено линеинной формой, необходимо и достаточно, чтобы $\lambda$ было корнем характеристического уравнения. Каждому корню этого уравнения отвечает своя форма, и если характеристическое уравнение имеет $n$ различных корней, то мы получим $n$ различных линейных форм, удовлетворяющих уравнению (20.1).

Допустим теперь, что. $m>1$. Обозначим через $N$ число членов формы $m$-го порядка ${ }^{1}$ ). Этих чтенов будет, очевидно, столько, сколько существует различных систем целых неотрицательных чисел $m_{1}, \ldots, m_{n}$, связанных соотношением
\[
m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}=m .
\]

Перенумеровав все члены формы $V$ в каком-нибудь порядке, обозначим через $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}$ коэффициенты при этих членах. Тогда подставляя форму $V$ в уравнение (20.1) и приравнивая коэффициенты при подобных членах в правой и левой частях этого урав-
1) Число $N$ определяется формулой
\[
N=\frac{n(n+1) \ldots(n+m-1)}{m !} .
\]

нения, мы получим для определения $a_{j}$ систему линеиных однородных уравнений вида
\[
A_{i 1} a_{1}+A_{i 2} a_{2}+\ldots+A_{i N} a_{N}=\lambda a_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

где $A_{i j}$ – некоторые постоянные, являющиеся линейными комбинациями коэффициентов $p_{s \sigma}$. Так, например, при $m=2$ и $n=2$ система (20.4) будет иметь вид:
\[
\begin{aligned}
2 p_{11} a_{1}+p_{21} a_{2} & =\lambda a_{1}, \\
2 p_{12} a_{1}+\left(p_{11}+\dot{p}_{22}\right) a_{2}+2 p_{21} a_{3} & =\lambda a_{2}, \\
p_{12} a_{2}+2 p_{22} a_{3} & =\lambda a_{3},
\end{aligned}
\]

если
\[
V=a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{1} x_{2}+a_{3} x_{2}^{2} .
\]

Для того чтобы система (20.4) имела решение, отличное от тривиального $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{N}=0$, необходимо и достаточно, чтобы $\lambda$ удовлетворяло уравнению

Таким образом, для того чтобы уравнению (20.1) можно было удовлетворить формой $m$-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы величина $\lambda$ была корнем алгебраического уравнения $N$-и степени (20.5).

Между корнями уравнения (20.5) и корнями характеристического уравнения существует простая зависимость, а именно, имеет место следующая изящная теорема, принадлежащая Ляпунову.

Теорема 1. Все корни уравнения (20.5) определяются бормулой
\[
\lambda=m_{1} \lambda_{1}+m_{2} \lambda_{2}+\ldots+m_{n} \lambda_{n},
\]

где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$-корни характеристического уравнения, а $m_{1}$, $m_{2}, \ldots, m_{n}$-любые целые неот рицательные числа, связанные соотношением
\[
m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}=m .
\]

Доказательство. Как мы видели выше, каждому корню $\lambda_{j}$ характеристического уравнения отвечает, по крайней мере, одна линейная форма, удовлетворяющая уравнению (20.1). Пусть $V_{j}$ – линейная форма, отвечающая корню $\lambda_{j}{ }^{1}$ ), так что
\[
\begin{array}{c}
\frac{d V_{j}}{d t}=\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial V_{j}}{\partial x_{s}}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right)=\lambda_{j} V_{j} \\
(j=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Рассмотрим форму $m$-го порядка
\[
V=V_{1}^{m_{1}} V_{2}^{m_{2}} \ldots V_{n}^{m_{n}},
\]

где $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}$-любые целье неотрицательные числа, связанные соотношением (20.7). Составляя производную этой функиии по времени в силу уравнений (19.3), будем на основании (20.8) иметь:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d V}{d t}=m_{1} V_{1}^{m_{1}-1} V_{2}^{m_{2}} \ldots V_{n}^{m_{n}} \frac{d V_{1}}{d t}+m_{2} V_{1}^{m_{1}} V_{2}^{m_{2}-1} \ldots V_{n}^{m_{n}} \frac{d V_{2}}{d t}+\ldots+ \\
+m_{n} V_{1}^{m_{1}} V_{2}^{m_{2}} \ldots V_{n}^{m_{n}-1} \frac{d V_{n}}{d t}=\left(m_{1} \lambda_{1}+m_{2} \lambda_{2}+\ldots+m_{n} \lambda_{n}\right) V . \\
\end{array}
\]

Таким образом, форма $m$-го порядка $V$ удовлетворяет уравнению (20.1) со значением $\lambda$, равным величине (20.6). Но для этого, как мы видели, необходимо, чтобы $\lambda$ было корнем уравнения (20.5). Итак, доказано, что все величины (20.6) являются корнями уравнения (20.5).

Нам остается показать, что величины (20.6) исчерпывают все корни уравнения (20.5), т. е. что других корней это уравнение не имеет. Это обстоятельство совершенно очевидно для того случая, когда все числа (20.6) различны. Действительно, в этом случае формула (20.6) определяет столько различных корней уравнения (20.5), сколько существует различных систем целых неотрицательных чисел $m_{1}, \ldots, m_{n}$, связанных соотношением (20.7). Но таких систем существует как раз $N$, что равно степени уравнения (20.5).

Допустим теперь, что коэффициенты $p_{s \sigma}$ уравнений (19.3) таковы, что среди чисел (20.6) имеются одннаковые при разных системах значений $m_{1}, \ldots, m_{n}$, связанных соотношением (20.7). Покажем, что и в этом случае уравнение (20.5) не имеет корней, не содержащихся в выражении (20.6). Допустим противное, что $\lambda=\lambda$ * является корнем уравнения (20.5), не содержащимся среди чисел (20.6). Обозначим через $\alpha$ модуль разности между корнем $\lambda^{*}$ и наиболее близким к нему числом из системы (20.6). Измении теперь коэффициенты $p_{s \sigma}$, заменив их величинами $p_{s \sigma}^{\prime}$. Тогда уравнение (20.5) заменится новым уравнением $D_{m}^{\prime}(\lambda)=0$, и корни нового характеристического уравнения будут уже другими величинами, которые мы обозначим через $\lambda_{1}^{\prime}, \ldots, \lambda_{n}^{\prime}$. Если величины $p_{s \sigma}^{\prime}$ достаточно мало отличаются от $p_{s \sigma}$, то корни
1) Между этими формами могут быть одинаковые, если не все числа $\lambda_{\text {J }}$ различны.

$\lambda_{1}^{\prime}, \ldots, \lambda_{n}^{\prime}$ будут сколь угодно мало отличаться от корней $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ и корни уравнения $D_{m}^{\prime}(\lambda)=0$ будут сколь угодно мало отличаться от корней уравнения (20.5). В частности, уравнение $D_{m}^{\prime}(\lambda)=0$ будет иметь корень, сколь угодно мало огличающийся от $\lambda^{*}$. Но $p_{s \sigma}^{\prime}$ можно выбрать так, чтобы все числа
\[
m_{1} \lambda_{1}^{\prime}+m_{2} \lambda_{2}^{\prime}+\ldots+m_{n} \lambda_{n}^{\prime}
\]

были различны при любых целых неотрицательных $m_{j}$, связанных соотношением (20.7). Тогда все корни уравнения $D_{m}^{\prime}(\lambda)=0$, и в частности тот, который сколь угодно мало отличается от $\lambda$ *, будут находиться среди чисел (20.9). Следовательно, $\lambda^{*}$ сколь угодно мало отличается от одного из чисел (20.9), которое в свою очередь сколь угодно мало отличается от соответствующего ему числа из системы (20.6), что невозможно, так как разность между $\lambda$ * и ближайшим к нему числом (20.6) равна конечной величине $\alpha$.

Итак, и в случае, когда среди чисел (20.6) имеются равные, все корни уравнения (20.5) находятся среди этих чисел. Только в рассматриваемом случае уравнение (20.5) будет иметь кратные корни. Таким образом, теорема полностью доказана.

Пусть теперь $U\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ – заданная форма $m$-го порядка. Постараемся определить форму $V$ того же порядка таким образом, чтобы выполнялось уравнение
\[
\frac{d V}{d t}=\sum_{s=1}^{n}\left(p_{s 1} x_{1}+\ldots+p_{s n} x_{n}\right) \frac{\partial V}{\partial x_{s}}=U .
\]

Обозначим, как и прежде, через $a_{1}, \ldots, a_{N}$ коэффициенты формы $V$, а коэффициенты заданной формы $U$ обозначим через $b_{1}, \ldots, b_{N}$. Приравнивая в уравнении (20.10) коэффициенты при подобных членах, мы получим для определения $a_{1}, \ldots, a_{N}$ уравнения, отличающиеся от (20.4) только правыми частями, которые теперь будут равны не величинам $\lambda a_{i}$, а величинам $b_{i}$, так что эти уравнения имеют вид:
\[
\begin{array}{c}
A_{i 1} a_{1}+A_{i 2} a_{2}+\ldots+A_{l N} a_{N}=b_{N} \\
(l=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Определитель этой системы совпадает, очевидно, с $D_{m}(0)$, и если он отличен от нуля, то уравнения (20.11) будут допускать одно и только одно решение для $a_{1}, \ldots, a_{N}$. В этом случае будет существовать одна и только одна форма $V$, удовлетворяющая уравнению (20.10). Но все корни полинома $D_{m}(\lambda)$ определяются выражением (20.6), и мы приходим, таким образом, к следующей теореме.

Теорема 2. Если корни $\lambda_{j}$ ха ракте ристического уравнения таковы, что выражение (20.6) не обращается в нуль ни при

каких целых неот рицательных $m_{1}, \ldots, m_{n}$, связанных соотношением (20.7), то какова бы ни была наперед заданная форма $m$-го порядка $U\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, существует одна и только одна борма того же порядка $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, удовлетворяющая уравнению (20.10).