Главная > ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ (И.Г.МАМКИЕ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Пусть V(x1,,xn) — какая-нибудь форма m-го порядка. Рассмотрим производную этой формы по времени, составленную в силу уравнений (19.3), т. е. форму того же порядка:
dVdt=s=1nVxs(ps1x1++psnxn),

и поставим задачу определить форму V таким обгазом, чтобы выполнялось соотношение
dVdt=s=1nVxs(ps1x1++psnxn)=λV.

где λ — постоянная. Коэффициенты искомой формы должны удовлетворять некоторой системе уравнений, которые мы получим, приравнивая коэффициенты при подобных членах в правой и левой частях уравнения (20.1). Исследуем подробнее эти уравнения. Для этого допустим сначала, что m=1, т. е. положим
V=a1x1++anxn.

Подставляя (20.2) в (20.1) и приравнивая коэффициенты при x1,,xn, получим следующую систему уравнении, которым должны удовлетворять коэффициенты a1,,an :
p11a1+p21a2++pn1an=λa1,p12a1+p22a2++pn2an=λa2,pnnan=λan.

Для того чтобы эта система линейных однородных уравнений имела решение, отличное от тривиального, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы

обращался в нуль. Таким образом, для того чтобы уравнение (20.1) могло быть удовлетворено линеинной формой, необходимо и достаточно, чтобы λ было корнем характеристического уравнения. Каждому корню этого уравнения отвечает своя форма, и если характеристическое уравнение имеет n различных корней, то мы получим n различных линейных форм, удовлетворяющих уравнению (20.1).

Допустим теперь, что. m>1. Обозначим через N число членов формы m-го порядка 1 ). Этих чтенов будет, очевидно, столько, сколько существует различных систем целых неотрицательных чисел m1,,mn, связанных соотношением
m1+m2++mn=m.

Перенумеровав все члены формы V в каком-нибудь порядке, обозначим через a1,a2,,aN коэффициенты при этих членах. Тогда подставляя форму V в уравнение (20.1) и приравнивая коэффициенты при подобных членах в правой и левой частях этого урав-
1) Число N определяется формулой
N=n(n+1)(n+m1)m!.

нения, мы получим для определения aj систему линеиных однородных уравнений вида
Ai1a1+Ai2a2++AiNaN=λai(i=1,2,,N),

где Aij — некоторые постоянные, являющиеся линейными комбинациями коэффициентов psσ. Так, например, при m=2 и n=2 система (20.4) будет иметь вид:
2p11a1+p21a2=λa1,2p12a1+(p11+p˙22)a2+2p21a3=λa2,p12a2+2p22a3=λa3,

если
V=a1x12+a2x1x2+a3x22.

Для того чтобы система (20.4) имела решение, отличное от тривиального a1=a2==aN=0, необходимо и достаточно, чтобы λ удовлетворяло уравнению

Таким образом, для того чтобы уравнению (20.1) можно было удовлетворить формой m-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы величина λ была корнем алгебраического уравнения N-и степени (20.5).

Между корнями уравнения (20.5) и корнями характеристического уравнения существует простая зависимость, а именно, имеет место следующая изящная теорема, принадлежащая Ляпунову.

Теорема 1. Все корни уравнения (20.5) определяются бормулой
λ=m1λ1+m2λ2++mnλn,

где λ1,λ2,,λn-корни характеристического уравнения, а m1, m2,,mn-любые целые неот рицательные числа, связанные соотношением
m1+m2++mn=m.

Доказательство. Как мы видели выше, каждому корню λj характеристического уравнения отвечает, по крайней мере, одна линейная форма, удовлетворяющая уравнению (20.1). Пусть Vj — линейная форма, отвечающая корню λj1 ), так что
dVjdt=s=1nVjxs(ps1x1++psnxn)=λjVj(j=1,2,,n).

Рассмотрим форму m-го порядка
V=V1m1V2m2Vnmn,

где m1,m2,,mn-любые целье неотрицательные числа, связанные соотношением (20.7). Составляя производную этой функиии по времени в силу уравнений (19.3), будем на основании (20.8) иметь:
dVdt=m1V1m11V2m2VnmndV1dt+m2V1m1V2m21VnmndV2dt+++mnV1m1V2m2Vnmn1dVndt=(m1λ1+m2λ2++mnλn)V.

Таким образом, форма m-го порядка V удовлетворяет уравнению (20.1) со значением λ, равным величине (20.6). Но для этого, как мы видели, необходимо, чтобы λ было корнем уравнения (20.5). Итак, доказано, что все величины (20.6) являются корнями уравнения (20.5).

Нам остается показать, что величины (20.6) исчерпывают все корни уравнения (20.5), т. е. что других корней это уравнение не имеет. Это обстоятельство совершенно очевидно для того случая, когда все числа (20.6) различны. Действительно, в этом случае формула (20.6) определяет столько различных корней уравнения (20.5), сколько существует различных систем целых неотрицательных чисел m1,,mn, связанных соотношением (20.7). Но таких систем существует как раз N, что равно степени уравнения (20.5).

Допустим теперь, что коэффициенты psσ уравнений (19.3) таковы, что среди чисел (20.6) имеются одннаковые при разных системах значений m1,,mn, связанных соотношением (20.7). Покажем, что и в этом случае уравнение (20.5) не имеет корней, не содержащихся в выражении (20.6). Допустим противное, что λ=λ * является корнем уравнения (20.5), не содержащимся среди чисел (20.6). Обозначим через α модуль разности между корнем λ и наиболее близким к нему числом из системы (20.6). Измении теперь коэффициенты psσ, заменив их величинами psσ. Тогда уравнение (20.5) заменится новым уравнением Dm(λ)=0, и корни нового характеристического уравнения будут уже другими величинами, которые мы обозначим через λ1,,λn. Если величины psσ достаточно мало отличаются от psσ, то корни
1) Между этими формами могут быть одинаковые, если не все числа λ различны.

λ1,,λn будут сколь угодно мало отличаться от корней λ1,,λn и корни уравнения Dm(λ)=0 будут сколь угодно мало отличаться от корней уравнения (20.5). В частности, уравнение Dm(λ)=0 будет иметь корень, сколь угодно мало огличающийся от λ. Но psσ можно выбрать так, чтобы все числа
m1λ1+m2λ2++mnλn

были различны при любых целых неотрицательных mj, связанных соотношением (20.7). Тогда все корни уравнения Dm(λ)=0, и в частности тот, который сколь угодно мало отличается от λ *, будут находиться среди чисел (20.9). Следовательно, λ сколь угодно мало отличается от одного из чисел (20.9), которое в свою очередь сколь угодно мало отличается от соответствующего ему числа из системы (20.6), что невозможно, так как разность между λ * и ближайшим к нему числом (20.6) равна конечной величине α.

Итак, и в случае, когда среди чисел (20.6) имеются равные, все корни уравнения (20.5) находятся среди этих чисел. Только в рассматриваемом случае уравнение (20.5) будет иметь кратные корни. Таким образом, теорема полностью доказана.

Пусть теперь U(x1,,xn) — заданная форма m-го порядка. Постараемся определить форму V того же порядка таким образом, чтобы выполнялось уравнение
dVdt=s=1n(ps1x1++psnxn)Vxs=U.

Обозначим, как и прежде, через a1,,aN коэффициенты формы V, а коэффициенты заданной формы U обозначим через b1,,bN. Приравнивая в уравнении (20.10) коэффициенты при подобных членах, мы получим для определения a1,,aN уравнения, отличающиеся от (20.4) только правыми частями, которые теперь будут равны не величинам λai, а величинам bi, так что эти уравнения имеют вид:
Ai1a1+Ai2a2++AlNaN=bN(l=1,2,,N).

Определитель этой системы совпадает, очевидно, с Dm(0), и если он отличен от нуля, то уравнения (20.11) будут допускать одно и только одно решение для a1,,aN. В этом случае будет существовать одна и только одна форма V, удовлетворяющая уравнению (20.10). Но все корни полинома Dm(λ) определяются выражением (20.6), и мы приходим, таким образом, к следующей теореме.

Теорема 2. Если корни λj ха ракте ристического уравнения таковы, что выражение (20.6) не обращается в нуль ни при

каких целых неот рицательных m1,,mn, связанных соотношением (20.7), то какова бы ни была наперед заданная форма m-го порядка U(x1,,xn), существует одна и только одна борма того же порядка V(x1,,xn), удовлетворяющая уравнению (20.10).

1
Оглавление
email@scask.ru