В предыдущих параграфах мы изложили основные теоремы второго метода Ляпунова. Эти теоремы сводят задачу устойчивости к построению для уравнений возмущенного движения некоторых функций, обладающих специальными свойствами. Мы будем в дальнейшем эти функции, удовлетворяющие однои из основных теорем второго метода, называть функциями Ляпунова.

Мы рассмотрели ряд задач, которые удалось успешно разрешить при помощи второго метода. В каждой из этих задач было проведено конкретное построение функции Ляпунова. При этом мы видели, что это построение в каждом отдельном случае носило специфический характер, связанный с рассматриваемой конкретной задачей. Общих правил, позволяющих во всех случаях построить функцию Ляпунова, не сушествует. Если бы такие правила существовали, то этим самым задача устойчивости была бы полностью исчерпана. К сожалению, мы еще весьма далеки от этого.
1) Четаев Н. Г., К вопросу об обращении теоремы Лагранжа. Сборник научн. трудов Казанск. авиационного ин-та, №2, 1934.

Тем не менее, Ляпуновым и его последователями разработаны некоторые общие приемы и идеи построения функций Ліяпунова, которые с успехом применяются к конкретным задачам. Это позволило систематически рассмотреть некоторые основные задачи теории устойчивости при помощи второго метода. К такому систематическому рассмотрению указанных задач мы сећчас и приступаем. При этом мы начинаем с основной задачи об установлении необходимых и достаточных условий устойчивости по первому приближению. Этой задаче посвящена следующая глава. Как уже указывалось раньше, мы ограничиваемся сначала установившимися движениями.