Мы переходим к рассмотрению случая, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет два комплексных корня с модулями, равными единице. Как уже указывалось выше, мы ограничиваемся в этой главе системами второго порядка. Дифференциальные уравнения задачи установлены в § 65 и имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-\lambda y+X(t, x, y), \\
\frac{d y}{d t}=\lambda x+Y(t, x, y),
\end{array}
\]

где $X(t, x, y)$ и $Y(t, x, y)$— аналитические функции переменных $x$ и $y$, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка и обладают коэффициентами, являющимися периодическими функциями времени.

Допустим сначала, что функции $X$ и $Y$ не зависят от $t$. Тогда мы будем иметь критический случай для установившихся движений, когда определяющее уравнение системы первого приближения имеет пару чисто мнимых корней $\pm \lambda l$, и порядок системы равен двум. Эта задача подробно рассматривалась нами в $\S \$ 36$ — 38. В этих параграфах было показано, что кроме особо исключительных случаев, которые мы сейчас не будем рассматривать, задача устойчивости решается конечным числом членов в разложениях правых частей уравнений возмущенного движения. Допустим для определенности, что задача устойчивости решается первыми $m$ членами, где $m$, как было показано, всегда нечетно, так что можно положить $m=2 N-1$. Это значит, что если мы вместо уравнений (67.1), которые по предположению не зависят от $t$, рассмотрим уравнения
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-\lambda y+X_{2}(x, y)+\cdots+X_{2 N-1}(x, y)+\varphi, \\
\frac{d y}{d t}=\lambda x+Y_{2}(x, y)+\cdots+Y_{2 N-1}(x, y)+\psi,
\end{array}\right\}
\]

где $X_{k}$ и $Y_{k}$ — совокупности членов $k$-го порядка в разложениях функций $X$ и $Y$, то невозмущенное движение будет устойчивым или неустойчивым при любом выборе функций $\varphi$ и $\psi$, если последние являются аналитическими и их разложения начинаются членами не ниже $2 N$-го порядка. При этом, как было показано в $\$ 37$, существует функция Ляпунова $V(x, y)$ вида
\[
V(x, y)=x^{2}+y^{2}+f_{3}(x, y)+\ldots+f_{2 N}(x, y),
\]

производная которой, составленная в силу уравнений (67.2), имеет вид
\[
\frac{d V}{d t}=G\left(x^{2}+y^{2}\right)^{N}+\ldots
\]

Здесь $f_{k}$ — формы $k$-го порядка, не зависящие от $\varphi$ и $\psi, G$ — постоянная и неналисанные члены имеют порядок, больший $2 N$. Если $G>0$, то невозмущенное движение неустойиво, а если $G<0$, то оно устойчиво асимптотически. Это непосредственно вытекает из того обстоятельства, что $V$ есть функция определенно-положительная, а $\frac{d V}{d t}$ есть функция также знакоопределенная, знак которой совпадает со знаком $G$, каковы бы ни были функции $\varphi$ и $\psi$, удовлетворяющие указанным для них условиям.

Из существования для уравнений (67.2) функции Ляпунова (67.3) можно сделать, однако, более общие выводы. Допустим, что функции $\varphi$ и $\psi$ зависят также от $t$, по отношению к которому они ограничены, но не обязательно периодичны.

При указанных предположениях выражение (67.4) остается попрежнему знакоопределенным; следовательно, $V$ по-прежнему является функцией Ляпунова, удовлетворяющей всем условиям теоремы II § 46 или теоремы III § 47. Поэтому невозмущенное движение для уравнений (67.2) будет по-прежнему асимптотическим устойчиво или неустойчиво вне зависимости от функций $\varphi$ и $\psi$, удовлетворяющих вышеуказанным условиям. Это непосредственно приводит нас к следующему заключению.

Допустим, что в уравнениях (67.1) все члены до некоторого порядка $m$ включительно имеют постоянные коэффициенты, так что время $t$ входит лишь в те члены, порядок которых превосходит $m$. Отбросив в этих уравнениях все члены выше $m$-го порядка, рассмотрим полученную таким образом систему уравнений с постоянными коэффициентами. Эта система представляет собой частный случай системы, рассмотренной в §§ $36-38$. Допустим, наконец, что задача устойивости для этой системы с постоянными коэффициентами решается членами порядка не выше $m$. Тогда если для этой системы получится неустойчивость, то и для системы (67.1) получится неустойчивость, а если для этой системы получится устоичивость (асимптотическая), то и для системы (67.1) будет также иметь место устойчивость (асимптотическая).

Рассмотрим теперь уравнения (67.1) в общем случае. Из вышесказанного следует, что если нам удастся при помощи подходящего преобразования привести уравнения (67.1) к такому виду, в котором $t$ содержалось бы только в членах достаточно высокого порядка, то задача сведется к исследованию системы с постоянными коэффициентами, которую получим, если эти члены высокого порядка, содержащие $t$, попросту отбросим. Что же касается последней задачи, то она может быть разрешена одним из тех трех приемов, которые были установлены в главе IV.

Таким образом, задача привсдится к разысканию такого преобразования переменных $x$ и $y$ в уравнениях (67.1), чтобы преобразованные уравнения сохранили такой же вид, но чтобы в них коэффициенты членов до сколь угодно высокого порядка $m$ были постоянными. Такое преобразование, как показал Ляпунов, может быть действительно выполнено, если только число $\frac{\lambda \omega}{\pi}$ иррационально, что мы и будем предполагать ${ }^{1}$ ). Вычисления Ляпунов располагает таким образом, что задача устойчивости д.я преобразованных уравнений решается одновременно с выполнением самого преобразования. При этом задача устойчивости решается методом § 36 . Однако все вычисления значительно упрощаются, если следовать иному методу, представляющему собой непосредственное развитие метода $\S 42$. К изложению этого метода мы сейчас и переходим.

Так же как и в § 42 , мы будем предполагать, что линейная часть уравнений возмущенного движения приведена к комплексному каноническому виду, так что эти уравнения имеют вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=i \lambda x+X^{(2)}(t, x, y)+X^{(3)}(t, x, y)+\ldots, \\
\frac{d y}{d t}=-i \lambda y+Y^{(2)}(t, x, y)+Y^{(3)}(t, x, y)+\ldots
\end{array}\right\}
\]

где $X^{(k)}$ и $Y^{(k)}$ — формы $k$-го порядка переменных $x$ и у с периодическими коэффициентами. Если уравнения были заданы в форме (67.1), то, чтобы перейти к виду (67.5), достаточно будет принять в качестве новых переменных величины $x+i y$ и $x$ — $i y$. Переменные $x$ и $y$ будут в уравнениях (67.5) комплексно сопряженными, так что второе из этих уравнений получится из первого заменой $i$ на $-i, x$ на $y$ и $y$ на $x$.

Задавшись теперь числом $m$, преобразуем уравнения (67.5) при помощи подстановки
\[
\left.\begin{array}{l}
x=u+u^{(2)}(t, u, v)+u^{(3)}(t, u, v)+\ldots+u^{(m)}(t, u, v), \\
y=v+\bar{u}^{(2)}(t, v, u)+\bar{u}^{(3)}(t, v, u)+\ldots+\bar{u}^{m}(t, v, u),
\end{array}\right\}
\]

где $u^{(k)}(t, u, v)$ и $\bar{u}^{(k)}(t, v, u)$ — формы $k$-го порядка с периодическими коэффициентами. При этом формы $\overline{\bar{u}^{(k)}}(t, v, a)$ комплексно сопряжены с формами $u^{(k)}(t, a, v)$ и могут быть, следовательно, получены из $u^{(k)}(t, u, v)$ заменой $i$ на $-i, u$ на $v$ и $v$ на $a$. Отсюда следует, что переменные $и$ и $v$ являются также комплексно сопряженными.

Преобразование (67.6) мы постараемся подобрать таким образом, чтобы в преобразованных уравнениях члены до порядка $m$ имели постоянные коэффициенты. Эти уравнения должны, следовательно, иметь вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d u}{d t}=\quad i \lambda u+U^{(2)}(u, v)+\ldots+U^{(m)}(u, v)+U(t, u, v), \\
\frac{d v}{d t}=-\lambda \lambda v+\bar{U}^{(2)}(v, u)+\ldots+\bar{U}^{(m)}(v, u)+\bar{U}(t, v, u),
\end{array}\right\}(67.7)
\]
1) Относительно этого предположения см. примечание в конце параграфа.

где $U^{(k)}(u, v)$ и $\bar{U}^{(k)}(v, u)$ — формы $k$-го порядка с постоянными коэффициентами, а функции $U(t, u, v)$ и $\bar{U}(t, v, u)$ имеют порядок, больший $m$, и зависят, вообще гсворя, от $t$, по отношению к которому они периодичны. При этом функции $\bar{U}^{(k)}(v, u)$ и $\bar{U}(t, v, \quad u)$ комплексно сопряжены с $U^{(k)}(u, v)$ и $U(t, u, v)$.

Подставляя в первое уравнение (67.5) вместо $x$ и $y$ их выражения (67.6) и принимая во внимание (67.7), будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\left(1+\frac{\partial u^{(2)}}{\partial u}+\ldots+\frac{\partial u^{(m)}}{\partial u}\right)\left(i \lambda u+U^{(2)}+\ldots\right)+ \\
++\left(\frac{\partial u^{(2)}}{\partial v}+\ldots+\frac{\partial u^{(m)}}{\partial v}\right)\left(-i \lambda v+\bar{U}^{(2)}+\ldots\right)+ \\
\quad+\frac{\partial u^{(2)}}{\partial t}+\ldots+\frac{\partial u^{(m)}}{\partial t}= \\
\quad=i \lambda\left(u+u^{(2)}+\ldots\right)+X^{(2)}(t, u+\ldots, v+\ldots)+\ldots
\end{array}
\]

Отсюда, приравнивая члены одинаковых порядков, получим для форм $\boldsymbol{u}^{(k)}(t, u, v)$ следующие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u^{(k)}}{\partial t}+i \lambda\left(\frac{\partial u^{(k)}}{\partial u} u-\frac{\partial u^{(k)}}{\partial v} v\right)+U^{(k)}(u, v)= \\
=i \lambda u^{(k)}+F^{(k)}(t, u, v) \\
(k=2,3, \ldots, m) .
\end{array}
\]

Здесь $F^{(k)}$ — некоторые формы $k$-го порядка переменных $u, v$, зависящие от тех форм $u^{(i)}, U^{(i)}$, для которых $i<k$. В частности, $F^{(2)}(t, u, v)=X^{(2)}(t, u, v)$. Уравнения (67.8) дают возможность последовательно определять как формы $u^{(k)}$, так и формы $U^{(k)}$. Покажем, как это делать.

Допустим с этой целью, что все $u^{(i)}$ и $U^{(i)}$, для которых $t<k$, уже вычислены и коэффициенты форм $u^{(i)}$ вышли при этом периодическими. Тогда $F^{(k)}$ будут известными формами $k$-го порядка с периодическими коэффициентами. Пусть
\[
F^{(k)}=\sum_{\alpha+\beta=k} f_{\alpha \beta}(t) u^{\alpha} v^{\beta},
\]

где $f_{\alpha \beta}(t)$ — известные периодические функции времени периода $\omega$. Положим
\[
u^{(k)}(t, u, v)=\sum_{\alpha+\beta=k} u_{\alpha \beta}(t) u^{\alpha} v^{\beta}, \quad U^{(k)}(u, v)=\sum_{\alpha+\beta=k} A_{\alpha \beta} u^{\alpha} v^{\beta},
\]

где $A_{\alpha \beta}$ — неизвестные постоянные, а $u_{\alpha \beta}(t)$ — неизвестные периодические функции времени. Тогда, приравнивая в уравнении для $\boldsymbol{u}^{(k)}$

коэффициенты при подобных членах, получим следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:
\[
\frac{d u_{\alpha \beta}}{d t}+(\alpha-\beta-1) i \lambda u_{\alpha \beta}=f_{\alpha \beta}-A_{\alpha \beta} .
\]

Нам нужно найти периодическое решение этих уравнений. Здесь приходится различать два случая в зависимости от того, будет ли величина $\alpha-\beta-1$ равна нулю или нет. Допустим сначала, что $\alpha-\beta-1=0$. Это, очевидно, возможно только при $k$ нечетном. Пусть $k=2 n+1$. Тогда из $\alpha-\beta-1=0$ следует: $\alpha=n+1$, $\beta=n$. Уравнение для $u_{\alpha \beta}(t)$ принимает вид
\[
\frac{d u_{n+1, n}}{d t}=f_{n+1, n}-A_{n+1, n},
\]

и для того чтобы оно имело периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы
\[
A_{n+1, n}=\frac{1}{\omega} \int_{0}^{\omega} f_{n+1, n}(t) d t .
\]

При этом для $u_{n+1, n}$ получаем:
\[
u_{n+1, n}=\int f_{n+1, n}(t) d t-A_{n+1, n} t .
\]

Входящую сюда постоянную интегрирования выберем по произволу.
Допустим теперь, что $\alpha-\beta-1
eq 0$. Рассмотрим уравнение
\[
\frac{d \varphi}{d t}=a \varphi+\psi(t)
\]

где $a$ — постоянная, а $\psi(t)$ — произвольная непрерывная периодическая функция $t$, периода $\omega$. Допустим, что $a \omega
eq p \pi i$, где $p$-целое число. Тогда уравнение (67.11) имввт частное ,решение
\[
\varphi^{*}=e^{a t}\left\{\frac{e^{a \omega}}{1-e^{a \omega}} \int_{0}^{\omega} e^{-a t} \psi(t) d t+\int_{0}^{t} e^{-a t} \psi(t) d t\right\} .
\]

Это решение является периодическим с периодом $\omega$. В самом деле, из периодичности $\psi(t)$ вытекает:
\[
\int_{\omega}^{t+\omega} e^{-a t} \psi(t) d t \equiv \int_{0}^{t} e^{-a(t+\omega)} \psi(t+\omega) d t \equiv e^{-a \omega} \int_{0}^{t} e^{-a t} \psi(t) d t
\]

и, следовательно,
\[
\begin{aligned}
\varphi^{*}(t+\omega)= & \frac{e^{a \omega}}{1-e^{a \omega}} e^{a(t+\omega)} \int_{0}^{\omega} e^{-a t} \psi(t) d t+e^{a(t+\omega)} \int_{0}^{t+\omega} e^{-a t} \Psi(t) d t= \\
& =\frac{e^{a \omega}}{1-e^{a \omega}} e^{a(t+\omega)} \int_{0}^{\omega} e^{-a t} \psi(t) d t+ \\
& +e^{a(t+\omega)}\left(\int_{\omega}^{t+\omega} e^{-a t} \psi(t) d t+\int_{0}^{\omega} e^{-a t} \psi(t) d t\right)= \\
& =\frac{1}{1-e^{a \omega}} e^{a(t+\omega)} \int_{0}^{\omega} e^{-a t} \psi(t) d t+e^{a t} \int_{0}^{t} e^{-a t} \psi(t) d t=\varphi^{*}(t),
\end{aligned}
\]

что и доказывает справедливость нашего утверждения. При этом из условия относительно $a$ вытекает, что общее решение $\vec{\varphi}=e^{a t}$ однородной части уравнения (67.11) не может быть периодическим периода $\omega$, и поэтому формула (67.12) дает единственное периодическое решение уравнения (67.11).

Так как по условию число $\frac{\lambda \pi}{\omega}$ иррационально и, следовательно, $i \lambda(\alpha+\beta-1)
eq \frac{p \pi i}{\omega}$, то уравнение (67.9) при $\alpha+\beta-1
eq 0$ имеет одно и только одно периодическое решение, какова бы ни была постоянная $A_{\alpha \beta}$. Мы будем полагать:
\[
A_{\alpha \beta}=0 \quad(\alpha
eq \beta+1) .
\]

Выбрав таким образом постоянную $A_{\alpha \beta}$, мы получим вполне определенное решение для $u_{\alpha \beta}$. Это решение может быть вычислено по формуле (67.12). На практике, однако, функции $f_{\alpha \beta}$ чаще всего бывают конечными тригонометрическими суммами. В этом случае функции $u_{\alpha \beta}$ проще всего определять методом неопределенных коэффициентов, так как эти функции также получатся конечными тригонометрическими суммами.

Таким образом, мы можем последовательно определить все формы $u^{(k)}$ и $U^{(k)}$. При этом из (67.13) вытекает, что все формы $U^{(k)}$ при $k$ четном будут тождественно равны нулю, а при $k$ нечетном в этих формах будут отличными от нуля лишь по одному коэффициенту вида (67.10). Следовательно, преобразованные уравнения будут иметь вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d u}{d t}=\lambda i u+A_{3} u^{2} v+A_{5} u^{3} v^{2}+\ldots+A_{2 p+1} u^{p+1} v^{p}+U(t, u, v), \\
\frac{d v}{d t}=-\lambda i v+\bar{A}_{3} u v^{2}+\bar{A}_{5} u^{2} v^{3}+\ldots+\bar{A}_{2 p+1} u^{p} v^{p+1}+\bar{U}(t, v, u)
\end{array}\right\}
\]

где положено $A_{n+1, n}=A_{2 n+1}, m=2 p+1$.
Отбрасывая в уравнениях (67.14) члены $U$ и $\bar{U}$, мы получим уравнения с постоянными коэффициентами:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d u}{d t}=\lambda i u+A_{3} u^{2} v+\ldots+A_{2 p+1} u^{p+1} v^{p}, \\
\frac{d v}{d t}=-\lambda i v+\overline{A_{3}} u v^{2}+\cdots+\overline{A_{2 p+1}} u^{p} v^{p+1} .
\end{array}\right\}
\]

Как было показано выше, задача устойчивости для исходной системы (67.5) решается уравнениями (67.15), если для этих последних задача устоичивости решается членами не выше $(2 p+1)$-порядка. Задача устойчивости для уравнений (67.15) решается сразу без каких бы то ни было дополнительных вычислений. Действительно, уравнения (67.15) имеют как раз вид уравнений (42.3), рассмотренных в $\S 42$. И как было показано в этом параграфе, если $A_{k}$ первый из коэффициентов $A_{3}, A_{5}, \ldots$, вещественная часть которого отлична от нуля, то при $\operatorname{Re}\left(A_{k}\right)>0$ невозмущенное движение неустойчиво, а при $\operatorname{Re}\left(A_{k}\right)<0$ оно устоичиво асимптотически. Отсюда следует, что в преобразовании (67.6) можно положить $m=k$.

Таким образом, мы приходим к следующему правилу для решения задачи устойчивости в интересующем нас случае.
Делаем в уравнениях (67.5) подстановку
\[
\begin{array}{l}
x=u+u^{(2)}(t, u, v)+u^{(3)}(t, u, v)+\ldots \\
y=v+\bar{u}^{(2)}(t, v, u)+\bar{u}^{(3)}(t, v, u)+\ldots
\end{array}
\]

и стараемся формы $u^{(k)}$ подобрать таким образом, чтобы преобразованные уравнения приняли вид (67.15) и чтобы коэффициенты этих форм вышли периодическими. Такое преобразование всегда найдется, и при этом коэффициенты $A_{j}$ получатся вполне определенными. Эти коэффициенты определяем до тех пор, пока не встретимся с таким, пусть это будет $A_{k}$, — для которого $\operatorname{Re}\left(A_{k}\right)
eq 0$. Тогда при $\operatorname{Re}\left(A_{k}\right)>0$ невозмущенное движение неустоичиво, а при $\operatorname{Re}\left(A_{k}\right)<0$ оно устоћчиво асимптотически.

Может случиться, что при любом значении $k$, как бы велико оно ни было, $\operatorname{Re}\left(A_{k}\right)=0$. Этот исключительный случай мы здесь не рассматриваем.

Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+x=\varphi(t)\left(\frac{d x}{d t}\right)^{3}+F\left[t, x,\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}\right],
\]

где $\varphi(t)$ — периодическая функция времени, периода $\omega$, несоизмеримого с $\pi$, обладающая отличным от нуля средним значением, а $F$ аналитическая функция от $x$ и $\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}$, разложение которой не имеет членов ниже третьего порядка относительно $x$ и $\frac{d x}{d t}$. Коэффициенты этого разложения являются периодическими функциями $t$, периода $\omega$. Полагая $\xi=x-i \frac{d x}{d t}, \eta=x+i \frac{d x}{d t}$, получим следующую систему:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \xi}{d t}=i \xi-\frac{1}{8} \varphi(t)(\xi-\eta)^{3}+i f(t, \xi, \eta), \\
\frac{d \eta}{d t}=-i \eta+\frac{1}{8} \varphi(t)(\xi-\eta)^{3}+i f(t, \xi, \eta),
\end{array}\right\}
\]

где $f$ — вещественная функция.
Делаем далее подстановку
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi=u+u^{(3)}(t, u, v)+\ldots \cdot \\
\eta=v+\bar{u}^{(3)}(t, v, u)+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Так как в уравнениях (67.16) нет членов второго порядка, то можно положить, что и в подстановке (67.17) эти члены отсутствуют. Эту подстановку стараемся подобрать таким образом, чтобы преобразованные уравнения имели вид (67.15). Из этого условия находим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u^{(3)}}{\partial t}+\ldots+\left(1+\frac{\partial u^{(3)}}{\partial u}+\ldots\right)\left(i u+A_{3} u^{2} v+\ldots\right)+ \\
+\left(\frac{\partial u^{(3)}}{\partial v}+\ldots\right)\left(-i v+\bar{A}_{3} u v^{2}+\ldots\right)=i\left(u+u^{(3)}+\ldots\right)+ \\
\quad+\frac{1}{8} \varphi(t)(u-v+\ldots)^{3}+i f(t, u+\ldots v+\ldots) .
\end{array}
\]

Приравнивая члены третьего порядка, получим:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial u^{(3)}}{\partial t}+i\left(u \frac{\partial u^{(3)}}{\partial u}-v \frac{\partial u^{(3)}}{\partial v}\right)+A_{3} u^{2} v & = \\
& =i u^{(3)}-\frac{1}{8} \varphi(t)(u-v)^{3}+i f^{(3)}(t, u, v),
\end{aligned}
\]

где $f^{(3)}(t, u, v)$ — совокупность членов третьего порядка в функции $f(t, u, v)$. Пусть
\[
u^{(3)}=u_{30}(t) u^{3}+u_{21}(t) u^{2} v+u_{12}(t) u v^{2}+u_{03} v^{3} .
\]

Тогда приравнивая в (67.18) коэффициенты при $u^{2} v$, получим:
\[
\frac{d u_{21}}{d t}+A_{3}=\frac{3}{8} \varphi(t)+i \psi(t) .
\]

где $\psi(t)$ — коэффициент при $u^{2} v$ в $f^{(3)}(t, u, v)$.
Для того чтобы это уравненке имело периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы величина $A_{3}$ опрелелялась формулой
\[
A_{3}=\frac{3}{8 \omega} \int_{0}^{\omega} \varphi(t) d t+t \int_{0}^{\omega} \psi(t) d t .
\]

Так как по условию вещественная часть $A_{3}$ отлична от нуля, то в дальнейших вычислениях нет надобности. Невозмущенное движение будет неустойиво, если величина
\[
\int_{0}^{\omega} \varphi(t) d t
\]

положительна, и асимптотически устойчиво, если эта величина отрицательна.

Примечание. Мы предположили, что $\frac{\lambda \omega}{\pi}$ есть число иррациональное. Допустим теперь противное: пусть
\[
\lambda=\frac{p \pi}{q \omega},
\]

где $p$ и $q$-целые числа. Сделаем в уравнениях (67.1) преобразование переменных
\[
\begin{array}{l}
x=\xi \sin \frac{p \pi}{q \omega} t+\eta \cos \frac{p \pi}{q \omega} t, \\
y=-\xi \cos \frac{p \pi}{q \omega} t+\eta \sin \frac{p \pi}{q \omega} t,
\end{array}
\]

коэффициенты которого являются, очевидно, периодическими функциями периода $2 q \omega$. Преобразованные уравнения, как легко видеть, примут вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \xi}{d t}=\Xi(t, \xi, \eta) \\
\frac{d \eta}{d t}=\Upsilon(t, \xi, \eta)
\end{array}\right\}
\]

где $\Xi$ и $\Upsilon$-аналитические функции $\xi$ и $\eta$, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка, причем коэффициенты разложений являются периодическими функциями периода $2 q \omega$.

Определяющее уравнение линеиной части системы (67.19) имеет двойной корень, равный нулю. Таким образом, задача сводится к исследованию критического случая двойного нулевого корня. Этот случай как для установившихся дзижений, так и для периодических движений будет исследован нами в следующей главе.