Мы переходим к рассмотрению случая, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет два комплексных корня с модулями, равными единице. Как уже указывалось выше, мы ограничиваемся в этой главе системами второго порядка. Дифференциальные уравнения задачи установлены в § 65 и имеют вид
$$\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=-\lambda y+X(t,x,y),\\ \frac{dy}{dt}=\lambda x+Y(t,x,y),\end{array}$$

где $X(t,x,y)$ и $Y(t,x,y)$— аналитические функции переменных $x$ и $y$, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка и обладают коэффициентами, являющимися периодическими функциями времени.

Допустим сначала, что функции $X$ и $Y$ не зависят от $t$. Тогда мы будем иметь критический случай для установившихся движений, когда определяющее уравнение системы первого приближения имеет пару чисто мнимых корней $\pm \lambda l$, и порядок системы равен двум. Эта задача подробно рассматривалась нами в $\mathrm{\S }\mathrm{\$}36$ — 38. В этих параграфах было показано, что кроме особо исключительных случаев, которые мы сейчас не будем рассматривать, задача устойчивости решается конечным числом членов в разложениях правых частей уравнений возмущенного движения. Допустим для определенности, что задача устойчивости решается первыми $m$ членами, где $m$, как было показано, всегда нечетно, так что можно положить $m=2N-1$. Это значит, что если мы вместо уравнений (67.1), которые по предположению не зависят от $t$, рассмотрим уравнения
$$\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=-\lambda y+X_2(x,y)+\cdots +X_{2N-1}(x,y)+\phi ,\\ \frac{dy}{dt}=\lambda x+Y_2(x,y)+\cdots +Y_{2N-1}(x,y)+\psi ,\end{array}\}$$

где $X_k$ и $Y_k$ — совокупности членов $k$-го порядка в разложениях функций $X$ и $Y$, то невозмущенное движение будет устойчивым или неустойчивым при любом выборе функций $\phi$ и $\psi$, если последние являются аналитическими и их разложения начинаются членами не ниже $2N$-го порядка. При этом, как было показано в $\mathrm{\$}37$, существует функция Ляпунова $V(x,y)$ вида
$$V(x,y)=x^2+y^2+f_3(x,y)+\dots +f_{2N}(x,y),$$

производная которой, составленная в силу уравнений (67.2), имеет вид
$$\frac{dV}{dt}=G{(x^2+y^2)}^N+\dots$$

Здесь $f_k$ — формы $k$-го порядка, не зависящие от $\phi$ и $\psi ,G$ — постоянная и неналисанные члены имеют порядок, больший $2N$. Если $G>0$, то невозмущенное движение неустойиво, а если $G<0$, то оно устойчиво асимптотически. Это непосредственно вытекает из того обстоятельства, что $V$ есть функция определенно-положительная, а $\frac{dV}{dt}$ есть функция также знакоопределенная, знак которой совпадает со знаком $G$, каковы бы ни были функции $\phi$ и $\psi$, удовлетворяющие указанным для них условиям.

Из существования для уравнений (67.2) функции Ляпунова (67.3) можно сделать, однако, более общие выводы. Допустим, что функции $\phi$ и $\psi$ зависят также от $t$, по отношению к которому они ограничены, но не обязательно периодичны.

При указанных предположениях выражение (67.4) остается попрежнему знакоопределенным; следовательно, $V$ по-прежнему является функцией Ляпунова, удовлетворяющей всем условиям теоремы II § 46 или теоремы III § 47. Поэтому невозмущенное движение для уравнений (67.2) будет по-прежнему асимптотическим устойчиво или неустойчиво вне зависимости от функций $\phi$ и $\psi$, удовлетворяющих вышеуказанным условиям. Это непосредственно приводит нас к следующему заключению.

Допустим, что в уравнениях (67.1) все члены до некоторого порядка $m$ включительно имеют постоянные коэффициенты, так что время $t$ входит лишь в те члены, порядок которых превосходит $m$. Отбросив в этих уравнениях все члены выше $m$-го порядка, рассмотрим полученную таким образом систему уравнений с постоянными коэффициентами. Эта система представляет собой частный случай системы, рассмотренной в §§ $36-38$. Допустим, наконец, что задача устойивости для этой системы с постоянными коэффициентами решается членами порядка не выше $m$. Тогда если для этой системы получится неустойчивость, то и для системы (67.1) получится неустойчивость, а если для этой системы получится устоичивость (асимптотическая), то и для системы (67.1) будет также иметь место устойчивость (асимптотическая).

Рассмотрим теперь уравнения (67.1) в общем случае. Из вышесказанного следует, что если нам удастся при помощи подходящего преобразования привести уравнения (67.1) к такому виду, в котором $t$ содержалось бы только в членах достаточно высокого порядка, то задача сведется к исследованию системы с постоянными коэффициентами, которую получим, если эти члены высокого порядка, содержащие $t$, попросту отбросим. Что же касается последней задачи, то она может быть разрешена одним из тех трех приемов, которые были установлены в главе IV.

Таким образом, задача привсдится к разысканию такого преобразования переменных $x$ и $y$ в уравнениях (67.1), чтобы преобразованные уравнения сохранили такой же вид, но чтобы в них коэффициенты членов до сколь угодно высокого порядка $m$ были постоянными. Такое преобразование, как показал Ляпунов, может быть действительно выполнено, если только число $\frac{\lambda \omega }{\pi }$ иррационально, что мы и будем предполагать ${}^1$ ). Вычисления Ляпунов располагает таким образом, что задача устойчивости д.я преобразованных уравнений решается одновременно с выполнением самого преобразования. При этом задача устойчивости решается методом § 36 . Однако все вычисления значительно упрощаются, если следовать иному методу, представляющему собой непосредственное развитие метода $\mathrm{\S }42$. К изложению этого метода мы сейчас и переходим.

Так же как и в § 42 , мы будем предполагать, что линейная часть уравнений возмущенного движения приведена к комплексному каноническому виду, так что эти уравнения имеют вид
$$\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=i\lambda x+X^{(2)}(t,x,y)+X^{(3)}(t,x,y)+\dots ,\\ \frac{dy}{dt}=-i\lambda y+Y^{(2)}(t,x,y)+Y^{(3)}(t,x,y)+\dots \end{array}\}$$

где $X^{(k)}$ и $Y^{(k)}$ — формы $k$-го порядка переменных $x$ и у с периодическими коэффициентами. Если уравнения были заданы в форме (67.1), то, чтобы перейти к виду (67.5), достаточно будет принять в качестве новых переменных величины $x+iy$ и $x$ — $iy$. Переменные $x$ и $y$ будут в уравнениях (67.5) комплексно сопряженными, так что второе из этих уравнений получится из первого заменой $i$ на $-i,x$ на $y$ и $y$ на $x$.

Задавшись теперь числом $m$, преобразуем уравнения (67.5) при помощи подстановки
$$\begin{array}{l}x=u+u^{(2)}(t,u,v)+u^{(3)}(t,u,v)+\dots +u^{(m)}(t,u,v),\\ y=v+{\overline{u}}^{(2)}(t,v,u)+{\overline{u}}^{(3)}(t,v,u)+\dots +{\overline{u}}^m(t,v,u),\end{array}\}$$

где $u^{(k)}(t,u,v)$ и ${\overline{u}}^{(k)}(t,v,u)$ — формы $k$-го порядка с периодическими коэффициентами. При этом формы $\overline{{\overline{u}}^{(k)}}(t,v,a)$ комплексно сопряжены с формами $u^{(k)}(t,a,v)$ и могут быть, следовательно, получены из $u^{(k)}(t,u,v)$ заменой $i$ на $-i,u$ на $v$ и $v$ на $a$. Отсюда следует, что переменные $и$ и $v$ являются также комплексно сопряженными.

Преобразование (67.6) мы постараемся подобрать таким образом, чтобы в преобразованных уравнениях члены до порядка $m$ имели постоянные коэффициенты. Эти уравнения должны, следовательно, иметь вид
$$\begin{array}{l}\frac{du}{dt}=i\lambda u+U^{(2)}(u,v)+\dots +U^{(m)}(u,v)+U(t,u,v),\\ \frac{dv}{dt}=-\lambda \lambda v+{\overline{U}}^{(2)}(v,u)+\dots +{\overline{U}}^{(m)}(v,u)+\overline{U}(t,v,u),\end{array}\}(67.7)$$
1) Относительно этого предположения см. примечание в конце параграфа.

где $U^{(k)}(u,v)$ и ${\overline{U}}^{(k)}(v,u)$ — формы $k$-го порядка с постоянными коэффициентами, а функции $U(t,u,v)$ и $\overline{U}(t,v,u)$ имеют порядок, больший $m$, и зависят, вообще гсворя, от $t$, по отношению к которому они периодичны. При этом функции ${\overline{U}}^{(k)}(v,u)$ и $\overline{U}(t,v,u)$ комплексно сопряжены с $U^{(k)}(u,v)$ и $U(t,u,v)$.

Подставляя в первое уравнение (67.5) вместо $x$ и $y$ их выражения (67.6) и принимая во внимание (67.7), будем иметь:
$$\begin{array}{l}(1+\frac{\partial u^{(2)}}{\partial u}+\dots +\frac{\partial u^{(m)}}{\partial u})(i\lambda u+U^{(2)}+\dots )+\\ ++(\frac{\partial u^{(2)}}{\partial v}+\dots +\frac{\partial u^{(m)}}{\partial v})(-i\lambda v+{\overline{U}}^{(2)}+\dots )+\\ +\frac{\partial u^{(2)}}{\partial t}+\dots +\frac{\partial u^{(m)}}{\partial t}=\\ =i\lambda (u+u^{(2)}+\dots )+X^{(2)}(t,u+\dots ,v+\dots )+\dots \end{array}$$

Отсюда, приравнивая члены одинаковых порядков, получим для форм ${\mathit{u}}^{(k)}(t,u,v)$ следующие уравнения:
$$\begin{array}{c}\frac{\partial u^{(k)}}{\partial t}+i\lambda (\frac{\partial u^{(k)}}{\partial u}u-\frac{\partial u^{(k)}}{\partial v}v)+U^{(k)}(u,v)=\\ =i\lambda u^{(k)}+F^{(k)}(t,u,v)\\ (k=2,3,\dots ,m).\end{array}$$

Здесь $F^{(k)}$ — некоторые формы $k$-го порядка переменных $u,v$, зависящие от тех форм $u^{(i)},U^{(i)}$, для которых $i<k$. В частности, $F^{(2)}(t,u,v)=X^{(2)}(t,u,v)$. Уравнения (67.8) дают возможность последовательно определять как формы $u^{(k)}$, так и формы $U^{(k)}$. Покажем, как это делать.

Допустим с этой целью, что все $u^{(i)}$ и $U^{(i)}$, для которых $t<k$, уже вычислены и коэффициенты форм $u^{(i)}$ вышли при этом периодическими. Тогда $F^{(k)}$ будут известными формами $k$-го порядка с периодическими коэффициентами. Пусть
$$F^{(k)}=\sum _{\alpha +\beta =k}{f}_{\alpha \beta }(t)u^{\alpha }{v}^{\beta },$$

где $f_{\alpha \beta }(t)$ — известные периодические функции времени периода $\omega$. Положим
$$u^{(k)}(t,u,v)=\sum _{\alpha +\beta =k}{u}_{\alpha \beta }(t)u^{\alpha }{v}^{\beta },U^{(k)}(u,v)=\sum _{\alpha +\beta =k}{A}_{\alpha \beta }{u}^{\alpha }{v}^{\beta },$$

где $A_{\alpha \beta }$ — неизвестные постоянные, а $u_{\alpha \beta }(t)$ — неизвестные периодические функции времени. Тогда, приравнивая в уравнении для ${\mathit{u}}^{(k)}$

коэффициенты при подобных членах, получим следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:
$$\frac{d{u}_{\alpha \beta }}{dt}+(\alpha -\beta -1)i\lambda u_{\alpha \beta }=f_{\alpha \beta }-A_{\alpha \beta }.$$

Нам нужно найти периодическое решение этих уравнений. Здесь приходится различать два случая в зависимости от того, будет ли величина $\alpha -\beta -1$ равна нулю или нет. Допустим сначала, что $\alpha -\beta -1=0$. Это, очевидно, возможно только при $k$ нечетном. Пусть $k=2n+1$. Тогда из $\alpha -\beta -1=0$ следует: $\alpha =n+1$, $\beta =n$. Уравнение для $u_{\alpha \beta }(t)$ принимает вид
$$\frac{d{u}_{n+1,n}}{dt}=f_{n+1,n}-A_{n+1,n},$$

и для того чтобы оно имело периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы
$$A_{n+1,n}=\frac{1}{\omega }{\int }_0^{\omega }{f}_{n+1,n}(t)dt.$$

При этом для $u_{n+1,n}$ получаем:
$$u_{n+1,n}=\int f_{n+1,n}(t)dt-A_{n+1,n}t.$$

Входящую сюда постоянную интегрирования выберем по произволу.
Допустим теперь, что $\alpha -\beta -1eq0$. Рассмотрим уравнение
$$\frac{d\phi }{dt}=a\phi +\psi (t)$$

где $a$ — постоянная, а $\psi (t)$ — произвольная непрерывная периодическая функция $t$, периода $\omega$. Допустим, что $a\omega eqp\pi i$, где $p$-целое число. Тогда уравнение (67.11) имввт частное ,решение
$${\phi }^{\ast }=e^{at}\{\frac{e^{a\omega }}{1-e^{a\omega }}{\int }_0^{\omega }{e}^{-at}\psi (t)dt+{\int }_0^t{e}^{-at}\psi (t)dt\}.$$

Это решение является периодическим с периодом $\omega$. В самом деле, из периодичности $\psi (t)$ вытекает:
$${\int }_{\omega }^{t+\omega }{e}^{-at}\psi (t)dt\equiv {\int }_0^t{e}^{-a(t+\omega )}\psi (t+\omega )dt\equiv e^{-a\omega }{\int }_0^t{e}^{-at}\psi (t)dt$$

и, следовательно,
$$\begin{array}{rl}{\phi }^{\ast }(t+\omega )=& \frac{e^{a\omega }}{1-e^{a\omega }}{e}^{a(t+\omega )}{\int }_0^{\omega }{e}^{-at}\psi (t)dt+e^{a(t+\omega )}{\int }_0^{t+\omega }{e}^{-at}\mathrm{\Psi }(t)dt=\\ & =\frac{e^{a\omega }}{1-e^{a\omega }}{e}^{a(t+\omega )}{\int }_0^{\omega }{e}^{-at}\psi (t)dt+\\ & +e^{a(t+\omega )}({\int }_{\omega }^{t+\omega }{e}^{-at}\psi (t)dt+{\int }_0^{\omega }{e}^{-at}\psi (t)dt)=\\ & =\frac{1}{1-e^{a\omega }}{e}^{a(t+\omega )}{\int }_0^{\omega }{e}^{-at}\psi (t)dt+e^{at}{\int }_0^t{e}^{-at}\psi (t)dt={\phi }^{\ast }(t),\end{array}$$

что и доказывает справедливость нашего утверждения. При этом из условия относительно $a$ вытекает, что общее решение $\overrightarrow{\phi }=e^{at}$ однородной части уравнения (67.11) не может быть периодическим периода $\omega$, и поэтому формула (67.12) дает единственное периодическое решение уравнения (67.11).

Так как по условию число $\frac{\lambda \pi }{\omega }$ иррационально и, следовательно, $i\lambda (\alpha +\beta -1)eq\frac{p\pi i}{\omega }$, то уравнение (67.9) при $\alpha +\beta -1eq0$ имеет одно и только одно периодическое решение, какова бы ни была постоянная $A_{\alpha \beta }$. Мы будем полагать:
$$A_{\alpha \beta }=0(\alpha eq\beta +1).$$

Выбрав таким образом постоянную $A_{\alpha \beta }$, мы получим вполне определенное решение для $u_{\alpha \beta }$. Это решение может быть вычислено по формуле (67.12). На практике, однако, функции $f_{\alpha \beta }$ чаще всего бывают конечными тригонометрическими суммами. В этом случае функции $u_{\alpha \beta }$ проще всего определять методом неопределенных коэффициентов, так как эти функции также получатся конечными тригонометрическими суммами.

Таким образом, мы можем последовательно определить все формы $u^{(k)}$ и $U^{(k)}$. При этом из (67.13) вытекает, что все формы $U^{(k)}$ при $k$ четном будут тождественно равны нулю, а при $k$ нечетном в этих формах будут отличными от нуля лишь по одному коэффициенту вида (67.10). Следовательно, преобразованные уравнения будут иметь вид
$$\begin{array}{l}\frac{du}{dt}=\lambda iu+A_3{u}^{2}v+A_5{u}^3{v}^2+\dots +A_{2p+1}{u}^{p+1}{v}^p+U(t,u,v),\\ \frac{dv}{dt}=-\lambda iv+{\overline{A}}_{3}u{v}^2+{\overline{A}}_5{u}^2{v}^3+\dots +{\overline{A}}_{2p+1}{u}^p{v}^{p+1}+\overline{U}(t,v,u)\end{array}\}$$

где положено $A_{n+1,n}=A_{2n+1},m=2p+1$.
Отбрасывая в уравнениях (67.14) члены $U$ и $\overline{U}$, мы получим уравнения с постоянными коэффициентами:
$$\begin{array}{l}\frac{du}{dt}=\lambda iu+A_3{u}^{2}v+\dots +A_{2p+1}{u}^{p+1}{v}^p,\\ \frac{dv}{dt}=-\lambda iv+\overline{A_3}u{v}^2+\cdots +\overline{A_{2p+1}}{u}^p{v}^{p+1}.\end{array}\}$$

Как было показано выше, задача устойчивости для исходной системы (67.5) решается уравнениями (67.15), если для этих последних задача устоичивости решается членами не выше $(2p+1)$-порядка. Задача устойчивости для уравнений (67.15) решается сразу без каких бы то ни было дополнительных вычислений. Действительно, уравнения (67.15) имеют как раз вид уравнений (42.3), рассмотренных в $\mathrm{\S }42$. И как было показано в этом параграфе, если $A_k$ первый из коэффициентов $A_3,A_5,\dots$, вещественная часть которого отлична от нуля, то при $\mathrm{Re}\left(A_k\right)>0$ невозмущенное движение неустойчиво, а при $\mathrm{Re}\left(A_k\right)<0$ оно устоичиво асимптотически. Отсюда следует, что в преобразовании (67.6) можно положить $m=k$.

Таким образом, мы приходим к следующему правилу для решения задачи устойчивости в интересующем нас случае.
Делаем в уравнениях (67.5) подстановку
$$\begin{array}{l}x=u+u^{(2)}(t,u,v)+u^{(3)}(t,u,v)+\dots \\ y=v+{\overline{u}}^{(2)}(t,v,u)+{\overline{u}}^{(3)}(t,v,u)+\dots \end{array}$$

и стараемся формы $u^{(k)}$ подобрать таким образом, чтобы преобразованные уравнения приняли вид (67.15) и чтобы коэффициенты этих форм вышли периодическими. Такое преобразование всегда найдется, и при этом коэффициенты $A_j$ получатся вполне определенными. Эти коэффициенты определяем до тех пор, пока не встретимся с таким, пусть это будет $A_k$, — для которого $\mathrm{Re}\left(A_k\right)eq0$. Тогда при $\mathrm{Re}\left(A_k\right)>0$ невозмущенное движение неустоичиво, а при $\mathrm{Re}\left(A_k\right)<0$ оно устоћчиво асимптотически.

Может случиться, что при любом значении $k$, как бы велико оно ни было, $\mathrm{Re}\left(A_k\right)=0$. Этот исключительный случай мы здесь не рассматриваем.

Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+x=\phi (t){\left(\frac{dx}{dt}\right)}^3+F[t,x,{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2],$$

где $\phi (t)$ — периодическая функция времени, периода $\omega$, несоизмеримого с $\pi$, обладающая отличным от нуля средним значением, а $F$ аналитическая функция от $x$ и ${\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2$, разложение которой не имеет членов ниже третьего порядка относительно $x$ и $\frac{dx}{dt}$. Коэффициенты этого разложения являются периодическими функциями $t$, периода $\omega$. Полагая $\xi =x-i\frac{dx}{dt},\eta =x+i\frac{dx}{dt}$, получим следующую систему:
$$\begin{array}{l}\frac{d\xi }{dt}=i\xi -\frac{1}{8}\phi (t)(\xi -\eta {)}^3+if(t,\xi ,\eta ),\\ \frac{d\eta }{dt}=-i\eta +\frac{1}{8}\phi (t)(\xi -\eta {)}^3+if(t,\xi ,\eta ),\end{array}\}$$

где $f$ — вещественная функция.
Делаем далее подстановку
$$\begin{array}{l}\xi =u+u^{(3)}(t,u,v)+\dots \cdot \\ \eta =v+{\overline{u}}^{(3)}(t,v,u)+\dots \end{array}\}$$

Так как в уравнениях (67.16) нет членов второго порядка, то можно положить, что и в подстановке (67.17) эти члены отсутствуют. Эту подстановку стараемся подобрать таким образом, чтобы преобразованные уравнения имели вид (67.15). Из этого условия находим:
$$\begin{array}{l}\frac{\partial u^{(3)}}{\partial t}+\dots +(1+\frac{\partial u^{(3)}}{\partial u}+\dots )(iu+A_3{u}^{2}v+\dots )+\\ +(\frac{\partial u^{(3)}}{\partial v}+\dots )(-iv+{\overline{A}}_{3}u{v}^2+\dots )=i(u+u^{(3)}+\dots )+\\ +\frac{1}{8}\phi (t)(u-v+\dots {)}^3+if(t,u+\dots v+\dots ).\end{array}$$

Приравнивая члены третьего порядка, получим:
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u^{(3)}}{\partial t}+i(u\frac{\partial u^{(3)}}{\partial u}-v\frac{\partial u^{(3)}}{\partial v})+A_3{u}^{2}v& =\\ & =i{u}^{(3)}-\frac{1}{8}\phi (t)(u-v{)}^3+i{f}^{(3)}(t,u,v),\end{array}$$

где $f^{(3)}(t,u,v)$ — совокупность членов третьего порядка в функции $f(t,u,v)$. Пусть
$$u^{(3)}=u_{30}(t)u^3+u_{21}(t)u^{2}v+u_{12}(t)u{v}^2+u_{03}{v}^3.$$

Тогда приравнивая в (67.18) коэффициенты при $u^{2}v$, получим:
$$\frac{d{u}_{21}}{dt}+A_3=\frac{3}{8}\phi (t)+i\psi (t).$$

где $\psi (t)$ — коэффициент при $u^{2}v$ в $f^{(3)}(t,u,v)$.
Для того чтобы это уравненке имело периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы величина $A_3$ опрелелялась формулой
$$A_3=\frac{3}{8\omega }{\int }_0^{\omega }\phi (t)dt+t{\int }_0^{\omega }\psi (t)dt.$$

Так как по условию вещественная часть $A_3$ отлична от нуля, то в дальнейших вычислениях нет надобности. Невозмущенное движение будет неустойиво, если величина
$${\int }_0^{\omega }\phi (t)dt$$

положительна, и асимптотически устойчиво, если эта величина отрицательна.

Примечание. Мы предположили, что $\frac{\lambda \omega }{\pi }$ есть число иррациональное. Допустим теперь противное: пусть
$$\lambda =\frac{p\pi }{q\omega },$$

где $p$ и $q$-целые числа. Сделаем в уравнениях (67.1) преобразование переменных
$$\begin{array}{l}x=\xi \sin \frac{p\pi }{q\omega }t+\eta \cos \frac{p\pi }{q\omega }t,\\ y=-\xi \cos \frac{p\pi }{q\omega }t+\eta \sin \frac{p\pi }{q\omega }t,\end{array}$$

коэффициенты которого являются, очевидно, периодическими функциями периода $2q\omega$. Преобразованные уравнения, как легко видеть, примут вид
$$\begin{array}{l}\frac{d\xi }{dt}=\mathrm{\Xi }(t,\xi ,\eta )\\ \frac{d\eta }{dt}=\mathrm{{\rm Y}}(t,\xi ,\eta )\end{array}\}$$

где $\mathrm{\Xi }$ и $\mathrm{{\rm Y}}$-аналитические функции $\xi$ и $\eta$, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка, причем коэффициенты разложений являются периодическими функциями периода $2q\omega$.

Определяющее уравнение линеиной части системы (67.19) имеет двойной корень, равный нулю. Таким образом, задача сводится к исследованию критического случая двойного нулевого корня. Этот случай как для установившихся дзижений, так и для периодических движений будет исследован нами в следующей главе.