Мы переходим теперь к рассмотрению общего случая неустановившихся движений, т. е. к случаю, когда правые части уравнений возмущенного движения содержат явно время $t$, по отношению к которому они, вообще говоря, не периодичны. Задача при этом делается значительно сложнее, чем в рассмотренных случаях периодических и установившихся движений. Однако к этой задаче приводятся многие важные технические вопросы, в связи с чем за последние годы она привлекает многих исследователей. В настоящей главе мы приводим основные результаты, полученные в теории неустановившихся движений как самим Ляпуновым, так и в последующих исследованиях.

В разделе А этой главы мы рассматриваем некоторые общие вопросы теории. Сюда относится проблема существования функций Ляпунова (проблема обращения теорем второго метода), устоичивость при постоянно действующих возмущениях и связанный с нею вопрос об опасных и безопасных границах области устойчивости.

В разделе Б рассматривается с точки зрения задачи устойчивости теория линейных уравнений с зависящими от $t$ коэффициентами, т. е. теория первого приближения.

В разделе В рассматриваются критерии устоичивости по первому приближению.

Наконец, в разделе Г рассматривается общая теория критических случаев. Эта теория затем прилагается к установившимся и периодическим движениям. Здесь дается решение задачи устоичивости установившихся движений в критических случаях двух нулевых корней, двух пар чисто мнимых корней, одного нулевого и пары чисто мнимых корнен характеристического уравнения. Аналогичные задачи рассматриваются и для периодических движений.