§ 5. Собственные значения и собственные функции операторов

Основной задачей в теории операторов является исследование уравнения

где К есть постоянная. Оператор предполагается здесь

«нормальным», т. е. удовлетворяющим условию

Самосопряженный оператор является, очевидно, частным случаем нормального.

Линейное уравнение, которому можно удовлетворить, положив неизвестную функцию равной нулю, называется линейным однородным уравнением; в частности, таковым является наше уравнение (1). При исследовании его приходится рассматривать также и предельные условия для функции причем эти условия тоже однородны, т. е. таковы, что им удовлетворяет Однородное уравнение с однородными предельными условиями составляют так называемую однородную задачу.

При произвольном значении параметра К однородная задача, вообще говоря, не имеет решения, отличного от очевидного решения: тождественно. Решение существует лишь при некоторых определенных значениях эти значения могут представлять либо ряд отдельных чисел либо все числа в некотором сплошном промежутке. Эти исключительные значения параметра Я мы будем называть собственными значениями оператора, а соответствующие им решения однородной задачи — собственными функциями. В математической литературе приняты другие термины, а именно, «характеристические числа» и «фундаментальные функции»; эти термины не являются, однако, удобными для физических приложений. Совокупность собственных значений данного оператора называется его спектром, при этом ряд отдельных собственных значений называется точечным спектром, а собственные значения, лежащие в сплошном промежутке, — сплошным спектром. Собственные функции, принадлежащие к точечному спектру, обладают тем свойством, что сумма

или интеграл

распространенные на все значения независимых переменных, сходятся и представляют конечные числа, тогда как для собственных функций, принадлежащих к сплошному спектру, эти выражения обращаются в бесконечность. В последнем случае рассматривают, вместо самих собственных функций, их интегралы по параметру Я, взятые по бесконечно малому участку сплошного спектра; если в предыдущих формулах подставить

вместо такой интеграл, то получатся выражения, которые остаются конечными.

Докажем следующую общую теорему.

Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

Пусть есть решение уравнения (1). Умножим обе части уравнения на и возьмем сумму или интеграл по всем значениям независимых переменных. Мы получим

или

откуда

или

Знаменатель дроби для К есть, очевидно, вещественное положительное число. Покажем, что и числитель его — число вещественное. В самом деле, мнимая часть числителя равна

или

а это выражение, по определению самосопряженного оператора, равно нулю. Следовательно, числитель, а значит, и все выражение для X вещественно, что и требовалось доказать.

В некоторых случаях формула (3) позволяет судить и о знаке собственных значений оператора. Выпишем формулу (3 для оператора Лапласа. Имеем

Оба интеграла в последней дроби положительны, а перед дробью стоит знак минус. Следовательно, собственные значения оператора Лапласа отрицательны.

Примеры нахождения собственных значений и функций операторов будут постоянно встречаться на протяжении всей книги, так что нет необходимости рассматривать их здесь отдельно.