§ 6. Интеграл Стильтьеса и оператор умножения на независимую переменную
Напомним сперва обычное определение интеграла как предела суммы. Разобьем промежуток интегрирования от 
до 
на более мелкие промежутки, вставляя числа 
и будем беспредельно увеличивать их число так, чтобы даже наибольший из мелких промежутков стремился к нулю. Тогда интеграл от 
до X можно определить как предел суммы
где
Переходя к интегралу Стильтьеса (Stieltjes), положим, что 
есть некоторая монотонная возрастающая функция или разность двух монотонных функций, и составим сумму
где
Интеграл Стильтьеса определяется как предел этой суммы при бесконечном дроблении промежутка и записывается в виде
Когда функция 
непрерывна и имеет ограниченную производную, то с точностью до величины высших порядков малости относительно 
исчезающих при переходе к пределу, можно положить
Тогда выражение (2) переходит в
так что интеграл Стильтьеса переходит в обыкновенный интеграл. Но интеграл Стильтьеса может иметь смысл и тогда, когда
функция 
разрывна, т. е. имеет скачки. С таким именно случаем мы имеем дело при исследовании оператора умножения на независимую переменную, если эта переменная непрерывна.
Рассмотрим подробнее этот оператор. Уравнение для его собственных функций есть
Этому уравнению мы никакой функцией в собственном смысле слова удовлетворить не можем, так как пришлось бы предположить, что 
равно нулю при всех значениях х, кроме 
Вместо уравнения (4) рассмотрим интеграл от него, взятый (формально) по X
Положим здесь
и напишем (5) в виде
где интеграл следует понимать в смысле Стильтьеса. Этому уравнению можно удовлетворить, положив
В самом деле, все приращения
будут равны нулю, кроме одного, которое равно единице и соответствует тем значениям 
которые удовлетворяют неравенствам
При бесконечном дроблении промежутка это 
приближается к х, и в пределе выполняется уравнение (7).
Таким образом, собственная функция 
оператора умножения на непрерывную независимую переменную не существует, но существует функция 
, соответствующая интегралу от 
взятому по параметру 
Если независимая переменная х прерывна и принимает ряд значений
то уравнение (4), которое мы напишем в виде совокупности уравнений
имеет решение в обычном смысле. В самом деле, положим
Уравнение (9), очевидно, удовлетворится. Собственными значениями будут здесь, очевидно,
а собственными функциями будут
