§ 7. Ортогональность и нормировка собственных функций

Рассмотрим оператор, обладающий точечным спектром, и выпишем уравнения для собственных функций соответствующих двум различным собственным зачениям

По определению самосопряженности оператора имеем

Пользуясь уравнениями (1), получаем отсюда

Так как по предположению то отсюда следуют

Это свойство называют ортогональностью. Таким образом, собственные функции, относящиеся к различным собственным значениям оператора, обладают свойством ортогональности.

Так как собственные функции оператора удовлетворяют однородному уравнению, то, будучи умноженными на

произвольный множитель, они будут также ему удовлетворять. Этот множитель можно выбрать так, чтобы выполнялось равенство

Такой выбор множителя называется нормировкой, а самые функции, удовлетворяющие условию (5), называются нормированными. Нормировочный множитель остается не вполне определенным, так как если заменить где вещественно, то заменится на и условие (5) будет по-прежнему выполняться.

Свойства ортогональности и нормировки можно записать в виде одной формулы

Собственному значению оператора может соответствовать либо одна, либо несколько собственных функций, а именно, столько, сколько линейно-независимых решений имеет для данного уравнение

Число решений (обозначим его через может зависеть от Пусть эти решения будут

Тогда, очевидно, любая линейная комбинация их

будет тоже решением этого уравнения. Функции (7) могут и не быть ортогональными друг к другу, но мы их всегда можем заменить такими линейными комбинациями вида (8), которые были бы ортогональны, а также и нормированы. Предположим, что это уже сделано: тогда будут для удовлетворять условию

Иногда удобно обозначать всю совокупность функций (7) одним символом Тогда условие (9) можно по-прежнему записывать в виде (5), причем под обеими частями равенства нужно разуметь матрицы с элементами (9).

Условие (9) не вполне определяет выбор функций В самом деле, если мы положим

где удовлетворяют уравнениям

то условия (9) будут по-прежнему выполняться. Матрица А с элементами удовлетворяющими условиям (11), называется, как мы знаем, унитарной. Тем же именем называется подстановка, произведенная посредством унитарной матрицы. Пользуясь этим термином, мы можем сказать, что в случае кратного собственного значения собственные функции определены с точностью до унитарной подстановки.

Рассмотрим теперь оператор, обладающий сплошным спектром. Напишем уравнение для собственных функций

и возьмем интеграл от обеих частей по сперва по участку от до а затем по участку от до Полагая, как это мы делали при рассмотрении интеграла Стильтьеса,

получим

и

где мы положили для краткости

Величины называются собственными дифференциалами. Рассматриваемые как функции от х собственные дифференциалы будут обладать интегрируемым квадратом, тогда как самые функции им не обладают.

Умножим уравнение (14) на уравнение, сопряженное с (14, на вычтем их друг из друга и проинтегрируем. Слева мы получим нуль, а справа

Это уравнение справедливо для каких угодно значений Предположим теперь, что промежутки разделены конечным интервалом, и будем считать их бесконечно малыми. С точностью до бесконечно малых мы можем заменить тогда разность на Так как эта величина отлична от нуля, мы можем на нее сократить и получим

Таким образом, собственные дифференциалы, соответствующие различным промежуткам, обладают свойством ортогональности.

Предположим теперь, что участки и совпадают, и рассмотрим интеграл

Выберем произвольно два числа так, чтобы участок лежал внутри промежутка т. е.

В силу ортогональности собственных дифференциалов, относящихся к различным промежуткам, величина интеграла не изменится, если мы прибавим к нему выражение

Следовательно, интеграл равен

Отсюда видно, что интеграл будет первого порядка малости относительно а не второго, как это можно было думать. Его можно нормировать так, чтобы было

В этом и состоит обычное условие нормировки для сплошного спектра. Оно выполняется, например, функцией рассмотренной в § 6.