§ 6. Уровни энергии и радиальные функции точечного спектра для водорода

Обратимся теперь к нашей физической задаче. Найдем прежде всего уровни энергии для водорода. Параметр энергии в атомных единицах был связан с параметром Я нашей вспомогательной задачи соотношением

причем А равнялось

Параметр был связан с азимутальным квантовым числом I соотношением

а целое число равнялось числу нулей радиальной функции, т. е., по определению § 8 гл. IV, радиальному квантовому числу Поэтому параметр будет целым числом

которое мы условились называть главным квантовым числом. Уровни энергии в атомных единицах будут равны

Они зависят, таким образом, только от главного квантового числа. Эта особенность Кулонова поля имеет глубокие основания: она связана с той группой преобразований, какую допускает уравнение Шредингера для атома водорода, написанное в пространстве импульсов. Группа эта, характеризующая особого рода симметрию атома водорода, совпадает с группой вращения четырехмерного шара. К этому вопросу мы вернемся в конце части IV этой книги.

В обычных единицах уровни энергии атома водорода равны

где

есть так называемая постоянная Ридберга (Rydberg). Численное значение ее равно

Согласно замечанию, сделанному нами в § 2, чтобы принять во внимание конечную массу ядра, нужно заменить в наших формулах, и в частности в формуле (7), массу электрона приведенной массой

По правилу частот Бора частоты спектральных линий выразятся формулой

Если мы положим и будем давать значения мы получим ряд линий, составляющих так называемую серию Лаймана (Lyman). Аналогично, значения дают серию Бальмера (Balmer) и значения серию Пашена (Paschen).

Выразим теперь радиальные функции через обобщенные полиномы Лагерра. Аргумент х в этих полиномах связан с приведенным расстоянием соотношением

вытекающим из формул (1) § 3 (2) § 3 и (4). По формулам (9) § 2, (9) § 5, а также (2), (3) и (4) будем иметь

где нормировочный множитель, который нужно определять из условия

Для вычисления интеграла введем по формуле (10) переменную х. Мы получим

Если мы припомним связь между числами то входящий сюда интеграл выразится как отношение (20) к (21) § 4. Он будет равен

отсюда

так что нормированными радиальными функциями будут

Если ввести сюда выражение для через обобщенный гипергеометрический ряд и принять во внимание, что I есть целое

число, мы получим

где, согласно определению (16) § 3,

Отсюда можно легко вывести предельное выражение для весьма больших Предел ряда (16) будет

где символом обозначена Бесселева функция порядка Отсюда получаем без труда

Функции (18) принадлежат уже сплошному спектру. Функции как нормированные собственные функции оператора энергии обладают свойством ортогональности и нормальности

но они не образуют замкнутой системы, так как оператор энергии имеет кроме точечного также и сплошной спектр.

В заключение выпишем несколько первых функций