§ 9. Уравнение Дирака при наличии поля. Уравнения движения

Выведенное в предыдущих параграфах волновое уравнение для свободного электрона имело вид

где оператор энергии Я был равен

Нам нужно обобщить это уравнение на случай наличия электромагнитного поля. Классическая Гамильтонова функция для поля (9) § 2 получается из функции без поля, если к этой

последней прибавить потенциальную энергию и заменить «моменты» составляющими количества движения по формулам (7) § 2. Подобную замену мы делали уже в теории Паули. Попробуем сделать такую замену и в нашем релятивистском квантовом операторе (2) и положим

где

и под мы по-прежнему разумеем операторы

Главным обоснованием такого перехода от уравнения без поля к уравнению для электрона в электромагнитном поле являются следующие соображения. Непосредственно наблюдаемыми физическими величинами являются электрическое и магнитное поля Потенциалы же являются вспомогательными математическими величинами, определяемыми лишь с точностью до преобразования

которое оставляет поле без изменения. Мы должны поэтому потребовать, чтобы все физические следствия, вытекающие из волнового уравнения, оставались без изменения при замене на Это требование будет выполняться в том случае, если такой замене будет соответствовать унитарное преобразование операторов и волновых функций. Покажем, что последнее действительно будет иметь место, если оператор энергии будет иметь вид (3).

Обозначим через Я оператор вида (3), в котором заменены на по формуле (5). На основании равенств вида

нетрудно показать, что если удовлетворяет уравнению (1), то функция

будет решением уравнения

Таким образом, прибавке градиента к вектор-потенциалу соответствует введение фазового множителя в волновую функцию, т. е. частный вид унитарного преобразования.

Очевидно, что волновое уравнение (1) с оператором энергии (3) остается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, так как вектор-потенциал преобразуется по тому же закону, как градиент, а скалярный потенциал, как Кроме того, как нетрудно проверить, по-прежнему будет иметь место равенство (6) § 8.

Формальной поверкой нового волнового уравнения могут служить уравнения движения. Припоминая формулу (22) § 13 гл. III ч. I, для полной производной некоторого оператора по времени

подставим в нее вместо последовательно и посмотрим, получатся ли у нас классические уравнения движения, подобно тому, как они получались из теории Шредингера. Полагая

получаем

Таковы операторы для составляющих скорости электрона. Они не коммутируют между собой, и квадрат каждого из них равен т. е. квадрату скорости света. Собственные значения каждого из них равны Таким образом, выходит, что каждая из составляющих скорости электрона может, будучи измеренной, принимать только значения Вопрос о том, имеет ли этот парадоксальный результат физический смысл, остается открытым. Автор склонен видеть в нем недочет теории Дирака. Положим теперь

и вычислим Для этого находим сперва

На основании этого имеем

или

Введем теперь операторы х, у, z по формуле (10) и присоединим к (12) уравнения для и Мы получим её

Эти уравнения в точности совпадают с классическими уравнениями (2) § 2.