§ 14. Гейзенберговы матрицы

Тот способ представления операторов, в котором зависимость от времени переносится на самый оператор (мы его называли в § 13 вторым способом представления), может быть осуществлен следующим образом. Пусть

представляют замкнутую, ортогональную и нормальную систему функций, например, собственных функций какого-либо оператора. Найдем решение волнового уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

Можно показать, что полученные решения

будут представлять замкнутую, нормальную и ортогональную систему функций для всех значений Это справедливо даже и в том случае, когда оператор энергии Я зависит явно от времени.

Разложим функцию 0), описывающую начальное состояние системы, в ряд по функциям (1)

Тогда состояние в момент времени будет описываться функцией

где те же постоянные, что и в формуле (5). Если мы примем за независимую переменную число (номер функции то в этих переменных состояние как в начальный, так и в любой последующий момент времени будет описываться одной и той же функцией от а именно:

Следовательно, в этих переменных вся зависимость от времени переносится на вид операторов, так что для получения искомого их представления достаточно перейти к переменным

Нетрудно найти матрицу (ядро) какого-либо оператора в переменных По общей формуле (13) § 9 мы будем иметь

Такое представление операторов обладает тем свойством, что элемент матрицы для оператора представляющего скорость изменения оператора во времени, равен производной по времени от элемента матрицы для оператора

Это вытекает из того, что вся зависимость от времени перенесена на вид оператора. Формулу (9) можно, впрочем, доказать и непосредственно (см. аналогичное доказательство в § 4 гл. IV).

В наших рассуждениях мы предполагали, что функции образуют дискретный ряд, например, являются собственными функциями какого-либо оператора с точечным спектром. Это предположение, однако, не существенно. Функции могут быть собственными функциями оператора со сплошным спектром, а роль целого числа может играть непрерывный параметр.

Положим, например, что решение волнового уравнения, которое при приводится к

может быть представлено в виде

Тогда формула (11) заменяет формулу (6), причем функция играет роль параметр роль целого числа и функция - роль Сравнение формулы (11) с определением (3) § 13 оператора показывает, что функция есть ядро Заметим, что в некоторых простейших случаях (свободный электрон, электрон в однородном электрическом поле, вибратор) функция выражается в конечном виде

Особенно важную роль играет, ввиду его простоты, а также применения к вычислению излучения атомов, то представление операторов, которое получается, если в качестве функций (1) взять собственные функции оператора энергии Я (мы предполагаем, что не зависит от времени). Пусть

Решением волного уравнения (2) с начальными условиями (3) будет, очевидно,

Выраженные через эти функции элементы матрицы будут иметь вид

Гейзенберг в своей первоначальной «матричной» формулировке квантовой механики 1925 г.) сопоставлял, не вводя понятия об операторах, физические величины матрицам вида (14). Мы будем поэтому называть эти матрицы Гейзенберговыми матрицами, а тот способ представления операторов, в котором вся зависимость от времени перенесена на самый оператор, — Гейзенберговым представлением операторов.

Из формулы (13) следует, что состояния с определенной энергией суть стационарные состояния. В самом деле, функция (13) остается собственной функцией оператора энергии для

всех так что если в начальный момент энергия имела определенное значение, то она будет иметь то же значение и в последующее время. Это есть не что иное, как новое выражение закона сохранения энергии.

В заключение этого параграфа сделаем одно замечание исторического характера. Волновая функция была впервые введена в рассмотрение в 1925 году де Бройлем (de Broglie), который ввел понятие о «волнах материи» и тем самым положил основание волновой механике. Идеи де Бройля были затем развиты Шредингером, который в 1926 году нашел математическую формулировку задачи о стационарных состояниях атома, приведя ее к нахождению собственных значений и функций некоторого оператора (оператора энергии). В том же 1926 году Шредингер показал также эквивалентность «волновой» механики «матричной» механике Гейзенберга. Правильное физическое толкование волновой функции выработалось, однако, лишь впоследствии.