§ 7. Прохождение частицы сквозь барьер потенциальной энергии

Рассмотрим задачу, которую в терминах классической механики можно было бы назвать задачей о прохождении частицы сквозь барьер потенциальной энергии. Задача эта, по существу, является нестационарной, но в качестве вспомогательных величин мы будем рассматривать также волновые функции, которые являются собственными функциями оператора энергии.

Предположим, что потенциальная энергия зависит только от расстояния до некоторого притягивающего центра, так что задача обладает сферической симметрией. Будем рассматривать лишь те состояния, в которых волновая функция зависит (кроме времени) только от координаты

(общий случай будет рассмотрен в следующей главе). Если мы положим

то уравнение Шредингера

приведется к следующему:

Для состояний с определенной энергией мы можем положить

и уравнение (4) примет вид

Чтобы функция оставалась всюду конечной, необходимо выполнение предельного условия

Сделаем теперь определенные предположения о виде потенциальной энергии Пусть сперва монотонно возрастает, начиная с некоторого конечного значения (или даже начиная с как это будет для потенциальной энергии электрона в Кулоновом поле ядра). Пусть затем достигает максимума, после чего начинает неограниченно убывать. Мы будем рассматривать значения меньшие максимума Разность обратится в нуль в двух точках до и после максимума скажем, при Таким образом, область изменения подразделяется на три участка, характеризуемых неравенствами

Выясним общий характер функции на соответствующих участках. На первом участке, где функция будет иметь колебательный характер. Если мы положим

то при меньшем (и не слишком близком к будет в полуклассическом приближении, рассмотренном в § 15 гл. III ч. I,

где с и а постоянны. Для второго участка положим

Тогда будет приближенно

Наконец, на третьем участке будет

где

а величины с и а — новые постоянные. Согласно формуле (2), функция отличается от множителем стремящимся к нулю на бесконечности; поэтому поведение функции на первом и на третьем участках будет различным и будет стремиться к нулю на бесконечности.

В переходной области, где коэффициент в уравнении Шредингера (6) меняет знак (т. е. вблизи ), предыдущие выражения неприменимы, и там приближенные решения могут быть выражены через функции Эйри представляющие решения простейшего уравнения

в котором коэффициент при неизвестной функции проходит через значение нуль. На применении функций Эйри к нашей задаче мы останавливаться не будем.

Наибольший интерес представляет случай высокого барьера потенциальной энергии. Он характеризуется тем, что величина

будет весьма велика по сравнению с единицей. В этом случае поведение функции а следовательно, и будет существенно зависеть от значения коэффициента в формуле (12). Если то первый член в (12) отсутствует и функция будет быстро убывать при возрастании от до так что амплитуда в области III будет гораздо меньше, чем в области Это значит, что вероятность (точнее, плотность вероятности) обнаружения частицы в области внутри барьера будет гораздо больше, чем для области вне его.

При произвольном значении параметра энергии нельзя сделать так, чтобы постоянная обращалась в нуль. Требование выделяет некоторые значения подобно тому, как в обычной задаче теории Шредингера выделялись собственные значения оператора энергии. Пусть одно из таких значений. Обозначим соответствующую функцию через

Поскольку эта функция отлична от нуля и вне барьера, мы не можем рассматривать ее как описывающую состояние частицы внутри барьера. Для описания такого состояния мы можем ввести близкую к ней функцию положив

Мы можем наложить на нее условие нормировки

В состоянии, описываемом функцией частица находится внутри барьера, но состояние это не стационарно, поскольку функция не удовлетворяет при условию непрерывности, необходимому для собственной функции оператора энергии. Состояние системы будет, однако, приближенно стационарным в том смысле, что если в начальный момент времени оно описывалось функцией Для которой вероятность нахождения частицы внутри барьера равна единице, то в последующие моменты эта вероятность будет медленно убывающей функцией от времени. Закон убывания этой вероятности можно назвать законом распада системы, находящейся в почти стационарном состоянии.

По классической механике распад системы был бы связан с прохождением частицы через барьер потенциальной энергии. Если бы можно было всегда локализовать частицу в пространстве, то пришлось бы сказать, что в области над барьером ее кинетическая энергия проходит через отрицательные значения, что невозможно. С другой стороны, такие явления, как выбрасывание -частиц из ядра атома или ионизация атомов во внешнем электрическом поле, убедительно показывают, что распад систем такого типа действительно может происходить. Сопоставление этих двух заключений неизбежно приводит к выводу, что к перечисленным явлениям классические понятия неприемлемы и что истолкование их требует введения новых, а именно, квантовых понятий. Но согласно механике утверждение о том, что частица находится над барьером, лишено смысла, пока не указано, каким образом это может быть констатировано. Констатация же нахождения частицы в области над барьером требует сообщения ей недостающей энергии. Тем самым устраняется упомянутый выше парадокс.