§ 3. Интегралы уравнений движения в задаче со сферической симметрией

Рассмотрим задачу об описании состояния электрона в поле с центральной симметрией по теории Дирака. Та же задача была разобрана нами по теории Шредингера в гл. IV и V ч. II; кроме того, в части III, посвященной теории Паули, мы изучили свойства момента количества движения электрона, обладающего спином. Теперь мы познакомимся с теми отличиями, которые вносятся теорией Дирака; эта теория объясняет наличие дублетов и дает полную картину расщепления уровней энергии в магнитном поле.

Подобно тому как это делается в классической механике, удобно сперва рассматривать задачу в прямоугольных декартовых координатах, а затем уже переходить к сферическим.

В прямоугольных координатах оператор энергии для нашего случая имеет вид

или

где

есть оператор, введенный нами при рассмотрении волнового уравнения Паули [формула (11) § 5 ч. III). Различие здесь только в том, что в теории Дирака операторы для составляющих спина представлены четырехрядными матрицами, а в теории Паули — двухрядными.

В теории Паули были введены операторы

для составляющих полного (т. е. орбитального плюс спинового) момента количества движения. Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям

а составленный из них оператор

который можно представить в виде

коммутирует с каждым из операторов Кроме того, как показано в § 5, ч. III, оператор антикоммутирует с оператором определяемым формулой (3):

В оператор энергии (2) теории Дирака входит оператор умноженный на матрицу кроме того, входят два члена, коммутирующие с Так как матрицы антикоммутируют, то отсюда непосредственно следует, что оператор

будет коммутировать с а тем самым и со всеми членами оператора энергии , так что мы имеем

а значит и

Таким образом, для поля со сферической симметрией величина, соответствующая оператору будет постоянной. Для произвольного поля производная по времени от этой величины была вычислена нами в § 10 гл. I (формула (11) § 10).

Мы убедились, что в задаче со сферической симметрией три оператора: коммутируют между собой; поэтому мы можем рассматривать совокупную систему уравнений

Последние два уравнения тесно связаны с уравнениями для шаровых функций со спином, которые мы изучали в части III этой книги.

Мы обозначили здесь целое число, пропорциональное собственному значению оператора той же буквой как целое число, пропорциональное собственному значению оператора теории Паули (формула (22) § I ч. III). Это не может вызвать недоразумений, поскольку число принимает в обоих случаях одни и те же значения и физический смысл операторов в соответствующих теориях аналогичен.