§ 15. Решение уравнений

Так как по условиям задачи ось играет особую роль, мы введем параболические координаты

Мы можем здесь воспользоваться вычислениями § 12 и заимствовать оттуда уравнение (16) § 12 со следующими изменениями. Во-первых, Кулонова энергия имеет у нас обратный знак, так что член нужно заменить на —1; во-вторых, мы должны положить в-третьих, принять во внимание, что не зависит от угла Имея это в виду, мы получим

Условие на бесконечности напишется в параболических координатах

при и всех значениях и.

Этому условию можно удовлетворить только, если

где не зависит от и и удовлетворяет предельному условию

Подставляя выражение (4) в (2), мы убедимся, что оно действительно будет решением, если только V удовлетворяет уравнению

Так как мы можем положить здесь

после чего получим

Это уравнение совпадает с тем, которое мы подробно исследовали в §§ 7 и 8, а именно,

В нашем случае

Полагая для удобства

мы можем, на основании (6) и (8) § 7, написать решение уравнения (8), конечное при в виде

Постоянную с нам нужно определить из условия (5), т. е.

Для этого мы должны воспользоваться асимптотическим выражением для ряда выведенным нами в § 8 (формула (10) § 8). Для наших значений параметров мы будем иметь

где суть формальные ряды, составленные по закону (9) § 8. Мы видим, что условие (12) будет приближенно выполняться, если мы положим,

Перейдем теперь к координатам и составим функцию На основании (1), (4) и (7) получаем для следующие выражения.

Для малых

и для больших

Заметим, что входящий в эти формулы параметр пропорционален длине волны.