§ 10. Другой вывод правила отбора

Ввиду важности правила отбора, мы приведем здесь другой его вывод, менее элементарный, но не требующий знания шаровых функций. Идея этого вывода принадлежит Дираку. Рассмотрим оператор

с собственными значениями

Матрица этого оператора будет диагональной относительно квантового числа Если мы будем писать только это квантовое число, подразумевая остальные, то мы будем иметь

Рассмотрим теперь матрицы для координаты с элементами

Из равенства между операторами

вытекает следующее равенство между элементами матриц:

или

Следовательно, только те элементы матрицы для отличны от нуля, для которых В этом заключается, как мы уже знаем, правило отбора для относительно квантового числа

Заметим теперь, что правила отбора для х, у, z те же, что для сраох, сраоу, поэтому мы вместо координат х, у, z можем оперировать с матрицами

что в некоторых случаях бывает проще. Например, из равенства

или

вытекает

т. е. прежний результат.

Выведем правило отбора для х и у или, что то же, для х и у. Имеем

или

и аналогично

или

Умножая (6) на и складывая с (5), будем иметь

Переходя к элементам матрицы, получим

т. е. тот же результат, какой вытекает из (16) § 9. Аналогично получается

Отсюда условие, чтобы элементы матрицы для х и для у были отличны от нуля:

Этот вывод можно несколько видоизменить. Из (5) и (6) следует

Переходя к элементам матриц, будем иметь

или

откуда получается прежний результат (10).

Выведем теперь правило отбора относительно квантового числа Величина есть собственное значение оператора

где

есть рассмотренное в § 3 обобщение оператора теории Паули. Согласно формуле (18) § 1 ч. III, оператор удовлетворяет соотношению

Рассмотрим оператор

В силу формулы (13) и вытекающего из нее равенства

оператор может быть написан в виде

Вследствие того, что матрица коммутирует с и антикоммутирует с мы можем написать выражение для 3? в виде

Но из формулы (15) вытекает равенство

Пользуясь им, мы можем написать вместо (19)

Здесь члены вида сокращаются и мы получаем

и после повторного применения равенства (20)

Возвращаясь к оператору Дирака и учитывая антикоммутативность мы будем иметь

Приравнивая исходное и окончательное выражения (16) и (23) для оператора мы получим равенство

Перейдем от операторов к матрицам в том представлении, в каком оператор диагонален. Элемент матрицы для каждого члена в (24) получится из элемента матрицы для умножением на собственные значения или оператора в соответствующей степени (на если стоит слева, и на если стоит справа от ). Сокращая на будем иметь

или

откуда вытекает правило отбора относительно k:

которое мы уже выводили иным путем.