§ 16. Связь канонического преобразования с касательным преобразованием классической механики

Для систем, имеющих классический аналог, каноническое преобразование операторов представляет аналогию с касатель преобразованием классической механики.

Пусть первоначальные координаты и импульсы (моменты) системы, а

— преобразованные координаты и импульсы. Рассмотрим случай, когда функция преобразования зависит от старых и новых координат

Касательное преобразование определяется соотношением между дифференциалами

из которого следует

Выражения для величин через величины и обратные выражения получаются решением уравнений (3). Это решение всегда существует, так как определитель

предполагается отличным от нуля.

В квантовой механике такому касательному преобразованию соответствует каноническое преобразование от представления, в котором «диагональными» являются величины к представлению, в котором «диагональными» являются величины Это каноническое преобразование имеет следующий вид. Обозначим для краткости через общие собственные функции операторов выраженные в переменных Пусть есть преобразуемый оператор. Тогда ядро или матрица преобразованного оператора будут иметь вид

где под разумеется произведение дифференциалов

Собственную функцию можно рассматривать как ядро унитарного оператора писать формулу (5) в виде

При формула (5) приводится к условиям ортогональности, причем слева должно получиться ядро единичного оператора в переменных т. е.

где есть дельта-функция Дирака (формула (7) может служить ее определением).

В полуклассическом приближении мы можем взять в качестве выражение

которое представляет обобщение выражения, полученного в предыдущем параграфе.

Здесь для краткости положено

а под корнем в (8) стоит абсолютное значение этого определителя. Постоянная с равна

Проверим, что эти функции приближенно удовлетворяют условию ортогональности. Подстановка выражений (8) в интеграл (5) при дает под интегралом быстропеременный показательный множитель где 5 получается из заменой на Этот множитель перестает быть быстропеременным, только если близко к Только при таком условии интеграл будет заметно отличен от нуля. Поэтому мы можем заменить в показателе разность выражением

или

где имеет значение (3). Формулу (12) можно для краткости записать в виде

Во всех множителях при показательной функции мы можем положить Тогда получим

Но если имеет значение (3), то определитель под интегралом в (14) есть якобиан преобразования от к так что

Поэтому формулу (14) можно записать в виде

Но оставшийся интеграл (умноженный на есть просто произведение дельта-функций (7). Отсюда окончательно

и, следовательно, условие ортогональности и нормировки выполняется.

Рассмотрим теперь матрицу для произвольного оператора выраженного через Пусть

Результат действия такого оператора на показательную функцию будет в рассматриваемом приближении равен произведению этой функции на

То же справедливо и по отношению к функции (8). Поэтому в формуле (5) мы можем подразумевать под не дифференциальный оператор, а функцию, стоящую в правой части (19). Полагая, как и раньше, в множителях при показательной функции будем иметь

В качестве переменных интегрирования возьмем, как и в (16), величины Преобразуя к ним функцию будем иметь

где под и разумеются классические выражения (3). Вследствие приближенного равенства (13) мы можем написать

Чтобы вычислить этот интеграл, заметим, что умножение содержащейся в нем показательной функции на равносильно

применению к ней оператора Поэтому

Вынося оператор за знак интеграла и пользуясь результатами (16) и (17), получим

Здесь (как, впрочем, и в предыдущих формулах) можно было бы взять в качестве первого, аргумента величину Так как результат применения оператора к некоторой функции определяется формулой

то, пользуясь выражением (24) для элемента матрицы, мы будем иметь

Таков будет вид преобразованного оператора (с точностью до членов, зависящих от порядка множителей в нем).

Наши вычисления можно резюмировать следующим образом. Применение приближенного равенства (19) позволило нам перейти от оператора к функции затем эта функция была выражена по классическим формулам для касательного преобразования через новые переменные От полу ченной новой функции , мы затем вновь перешли к оператору когда применяли метод дифференцирования по параметру к вычислению интеграла.

Таким образом, мы пришли к следующему результату. Пусть дан оператор

выраженный в переменных После канонического преобразования к переменным оператор переходит в Пусть оператор выраженный аналогично (27), имеет вид

Предположим, что собственные функции, при помощи которых совершается каноническое преобразование от имеют в полуклассическом приближении вид (8), так что их фаза равна

Тогда вид функции может быть получен из с точностью до членов, зависящих от порядка множителей, путем простого алгебраического преобразования при помощи равенств

где — функция, входящая в фазу унитарного преобразования. Последние формулы представляют касательное преобразование классической механики.