§ 8. Оператор энергии

В классической теории для обширного класса механических систем закон изменения состояния во времени (уравнения движения) может быть задан при помощи Гамильтоновой функции, представляющей энергию системы. Подобно этому, в волновой механике задание оператора Гамильтона (оператора энергии)

определяет, как мы увидим ниже (§ 10), закон изменения состояния во времени. Поэтому выбор оператора энергии является существенным шагом в построении теории. Когда этот шаг сделан, то выбор операторов для других физических величин (например, момента количества движения) уже не связан с особым произволом. Подобно тому как в классической механике из простейших величин (координат и моментов) строятся различные комбинации, которые обладают «удобными» свойствами (например, остаются во время движения постоянными), так и в квантовой механике из простейших операторов составляются такие комбинации, которые обладают простыми свойствами и допускают наглядное толкование. Говоря о свойствах операторов, мы имеем главным образом в виду коммутативность их с другими операторами и закон их изменения во времени. Так как этот закон связан с видом оператора энергии (см. ниже § 13), то ясно, что выбор «удобных» комбинаций простейших операторов находится в зависимости от выбора этого основного оператора.

Классическая Гамильтонова функция имела различный вид, смотря по тому, принималась ли во внимание теория относительности или нет. При этом Гамильтонову функцию, удовлетворяющую требованиям теории относительности, удалось построить лишь для задачи одного тела; для многих тел это оказалось невозможным. Такое же положение вещей мы имеем и в волновой механике. И здесь оператор энергии для теории относительности удалось построить лишь для одного тела, причем он коренным образом отличается от нерелятивистского. Изучением его мы займемся в пятой части этой книги, посвященной теории Дирака; здесь же мы рассмотрим оператор энергии без поправки на теорию относительности.

В классической теории кинетическая энергия, выраженная через прямоугольные составляющие количества движения, имела вид

Если здесь рассматривать как операторы (6) § 3, то выражение (1) будет представлять собой оператор, который мы можем толковать как оператор для кинетической энергии. Заметим, что если бы мы написали кинетическую энергию не в прямоугольных, а, например, в сферических координатах

и здесь толковали бы как мы получили бы другой оператор не совпадающий с Мы предположим, что переход от классической

функции к квантовым операторам нужно делать именно в прямоугольных координатах, а не в каких-либо других. Если классическое выражение в прямоугольных координатах не содержит множителей, которые, будучи истолкованы как операторы, были бы некоммутативны, то переход к операторам будет однозначным. Однако необходимо еще убедиться, путем сравнения теории с опытом, насколько аналогия между классической и квантовой теорией законна.

Оператор (1) для кинетической энергии может быть выражен через оператор Лапласа. Если мы заменим их выражениями (6) § 3, мы получим

где А — оператор Лапласа. После того как вид оператора установлен, можно, разумеется, перейти к любым переменным, например, к тем же сферическим координатам. Производя для этого случая замену переменных, получим

Если мы введем операторы

мы можем оператор (4) написать в виде

Это выражение отличается от (2) только порядком некоммутативных множителей: если бы они были коммутативны, то оба выражения совпали бы.

Мы знаем, что собственные значения оператора Лапласа отрицательны: следовательно, собственные значения кинетической энергии положительны, как это и должно быть.

В качестве собственных функций кинетической энергии можно взять, например, общие собственные функции операторов которые, как мы знаем, имеют вид

Любая функция вида (7), в которой сумма квадратов параметров имеет определенное значение

а также любая линейная комбинация таких функций (сумма или интеграл) есть собственная функция кинетической энергии, соответствующая собственному значению Следовательно,

эти собственные значения бесконечной кратности. Из функций вида (7) можно составить такие комбинации, которые бы в то же время были собственными функциями других операторов, коммутирующих между собой и с оператором кинетической энергии. Физически это соответствует тому, что заданием кинетической энергии состояние электрона еще не вполне определяется, так что можно, кроме нее, задать также и значения некоторых других величин, например, количества движения.

Для свободного электрона оператор кинетической энергии является вместе с тем и оператором Гамильтона. Для электрона в поле с потенциальной энергией мы можем по аналогии с классической теорией написать оператор Гамильтона в виде суммы операторов для кинетической и потенциальной энергии

разумея под оператором действующим над функцией от координат, умножение на . Уравнение для собственных функций оператора напишется

где характеризует энергию. Это уравнение было предложено Шредингером в 1926 году и носит название уравнения Шредингера. Мы займемся подробным исследованием его и решением для ряда случаев во второй части этой книги; но мы укажем уже сейчас, что следствия из него, за исключением некоторых деталей, хорошо оправдываются на опыте, что служит подтверждением законности сделанных при его выводе гипотез.

Уравнение Шредингера может служить для описания состояния электрона в электростатическом поле; естественно поэтому пытаться обобщить его на случай наличия магнитного поля. Оказалось, однако, что классическая модель электрона как заряженной материальной точки недостаточна для объяснения поведения его в магнитном поле и что необходимо приписать ему некоторый магнитный момент. Обобщение уравнения Шредингера на случай магнитного поля мы выведем в пятой части книги на основании теории Дирака.