§ 12. Унитарные инварианты

При выводе оператора для количества движения и § 3 мы столкнулись со следующим обстоятельством. Не только операторы

но и операторы

удовлетворяли всем условиям, вытекающим из вида скобок Пуассона. При этом функции были связаны соотношением

а операторы соотношением

Вещественная функция оставалась произвольной. Сравнивая (2) и (3) и (11) и (13) § 11, мы видим, что формулы (2) и (3) представляют унитарное преобразование, с той особенностью, что оно не сопровождается заменой независимых переменных. Оператор этого преобразования имеет вид умножения на функцию от независимых переменных, по модулю равную единице, так что в нашем случае

Этот множитель называется фазовым множителем.

Как мы знаем, оператор для данной величины может быть выражен в разных независимых переменных, причем даже после того, как выбор независимых переменных сделан, остается еще произвольным фазовый множитель. Но как переход от одних независимых переменных к другим, так и введение фазового множителя производится посредством унитарного преобразования. Поэтому любые два представления данного оператора связаны между собой унитарным преобразованием. Таким образом, мы можем сказать, что вид оператора для данной физической величины определяется свойствами этой величины лишь с точностью до унитарного преобразования.

Так как свойства физической величины не могут содержать произвольных элементов, то они должны выражаться посредством таких математических соотношений, которые остаются

инвариантными по отношению к унитарным преобразованиям. Эти инварианты должны играть поэтому большую роль в теории.

Такими унитарными инвариантами являются прежде всего свойство самосопряженности и спектр собственных значений оператора. В самом деле, по формуле (13) § 11

откуда, по правилу перехода к сопряженному оператору,

так что из

вытекает

Далее, уравнения

эквивалентны, так как одно получается из другого подстановкой

Поэтому собственные значения у них одни и те же. Этот результат тесно связан с теоремой замкнутости, на основании которой

для двух любых пар функций связанных соотношениями вида (9). Выражение (10) представляет собой унитарный инвариант. Таким же инвариантом является, очевидно, выражение

физический смысл которого мы выясним в следующей главе.

Наконец, всякое алгебраическое соотношение между операторами, как-то:

или

является инвариантным, так как если над всеми тремя операторами произвести одно и то же преобразование, то преобразованные операторы будут связанными теми же соотношениями, как и первоначальные.

Например, при преобразовании операторов к любым переменным скобки Пуассона

останутся равными единице.